Доброхотов
.pdf1.Лекция. Метод ВКБ. Канонические системы: уравнения Гамильтона-Якоби и переноса.
1.1.Метод ВКБ для уравнения Шредингера
Рассмотрим задачу Коши для уравнение Шредингера с малым параметром 0 < h << 1:
ih |
∂ψ |
= − |
h2 ∂2ψ |
+ V (x)ψ, |
(1.1) |
|||||
|
|
|
|
|||||||
∂t |
2 ∂x2 |
|||||||||
ψ|t=0 = ψ0(x) = A0 |
|
iS0(x) |
|
|||||||
(x)e |
|
, |
(1.2) |
|||||||
h |
здесь V (x), S0(x), A0(x) гладкие функции, условия на их поведение мы сформулируем
позднее.
Согласно методу ВКБ решение этой задачи ищем в виде
|
|
|
iS(x;t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ψ = A(x, h)e |
|
|
|
, |
|
|
|
A(x, t) = A0(x, t) + hA1(x, t) . . . + hA0k(x, t). |
(1.3) |
||||||||||||||||||||||||||
|
h |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя ψ âèäà |
|
WKB |
|
|
|
|
Sch1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(1.3) â |
|
(1.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых сте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
пенях h к нулю, получим уравнение Гамильтона-Якоби для функции S(x, t) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂S |
+ |
1 |
( |
∂S |
)2 + V (x) = 0, |
(1.4) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
2 |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S|t=0 = S0(x), |
|
|
|
|
|
(1.5) |
|||||||||||||
и уравнения переноса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂A0 |
∂S ∂A0 |
|
|
|
1 ∂2S |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
A0 = 0, |
(1.6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
∂x ∂x |
2 |
∂x2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0|t=0 = A0(x), |
|
|
|
|
|
(1.7) |
|||||||||||||
|
|
|
|
∂Aj |
|
+ |
|
∂S ∂Aj |
+ |
1 |
|
∂2S |
Aj = |
i |
|
∂2Aj−1 |
, |
(1.8) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∂t |
|
|
∂x ∂x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ∂x2 |
|
2 ∂x2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aj|t=0 = 0, |
|
|
|
|
|
(1.9) |
Sch1
Sch2
WKB
HJ1
HJ2
TR1
TR2
TR3
TR4
1.2.Интегрирование уравнений Гамильтона-Якоби и переноса.
Уравнения Гамильтона-Якоби и переноса могут быть проинтегрированы с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений системы Гамильтона. Приведем
соответствующий алгоритм и формулы. В общем случае уравнением Гамильтона-Якоби â Rnx называется уравнение для функции S(x, t)
∂S |
+ H( |
∂S |
, x, t) = 0. |
|
|
|
|
(1.10) |
HJ0 |
||||||
∂t |
∂x |
||||||
|
|
|
|
|
Здесь под x понимается n мерный вектор столбец с компонентами xi è ïîä ∂S∂x ≡ Sx
вектор-столбец n мерного градиента с компонентами ∂S . Функция H(p, x, t), заданная
∂xi
â 2n- мерном фазовом пространстве R2p,xn называется гамильтонианом, пока она предполагается гладко-зависящей от (p, x, t). Уравнение Гамильтона-Якоби часто встречается
1
вместе с линейным уравнением первого порядка-уравнением переноса для амплитуды
A(x, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂A |
|
∂H |
|
|
∂A |
1 |
|
∂2H ∂2S |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
tr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A + GA = 0. |
(1.11) |
|
|
|
|
∂t |
|
|
∂p |
∂x |
2 |
∂ |
|
2 ∂ |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
Tr0 |
∂p |
|
|
|
|
|
|
∂2H ∂2(S |
p |
|
|
|
|
p |
|
|
) |
|
||||||||||
|
|
∂p |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь G(p, x, t) гладкая функция, tr |
∂p2 ∂p2 |
след произведения матриц вторых про- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
изводных, аргументы у ∂H , ∂2H2 , G ñóòü (p = |
∂S , x, t). Наряду с однородным уравнением |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.11) иногда приходится рассматривать и неоднородные уравнения переноса: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂A |
|
|
|
∂H |
|
∂A |
1 |
|
∂2H ∂2S |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
, |
|
|
+ |
|
tr ( |
|
|
|
)A + GA = F, |
(1.12) |
|||||||||||
|
|
|
|
∂t |
∂p |
∂x |
2 |
∂p2 |
∂p2 |
|||||||||||||||||||||
где аргументы у F ñóòü (p = ∂S |
, x, t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры. Гамильтониан, отвечающий уравнению Шредингера (c массой m = 1 и потенциалом V (x)) имеет вид
|
p2 |
|
|
H = |
|
+ V (x). |
(1.13) |
|
|||
2 |
|
|
Гамильтонианы, отвечающие волновому уравнению (cо скоростью c(x)) имеют вид в
одномерном случае (x R) |
|
||
H± = ±(x)p, |
(1.14) |
||
и в многомерном случае (x Rn, n ≥ 2) |
|
||
H± = ±(x)|p|, |p| = √ |
|
. |
|
p12 + . . . + pn2 |
(1.15) |
Эти уравнения называют также уравнениями эйконала. В многомерном случае функции H±- не гладкие при p = 0, поэтому их решения изучают для S, удовлетворяющих
условию Sx ̸= 0. |
|
HJ0 |
|
Tr0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим для уравнений ( |
|
1.10),(1.11) задачи Коши: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
S|t=0 = S0(x), |
(1.16) |
|||||
|
|
|
A|t=0 = A0(x), |
(1.17) |
|||||
ãäå (S0(x), A0(x)) -гладкие функции. Уравнения ( |
HJ0 |
|
Tr0 |
|
|||||
1.10),(1.11) первого порядка, поэтому |
они интегрируются методом характеристик. Замечательный и не случайный факт состоит в том, что система характеристик (или бихарактеристик) одна и та же для обоих уравнений. Она имеет вид системы Гамильтона в фазовом пространстве:
p˙ = − |
∂H |
∂H |
|
|
||
|
, x˙ = |
|
, |
(1.18) |
||
∂x |
∂p |
|||||
|
∂S0 |
|
|
|
||
p|t=0 = p0(α) = |
|
(α), x|t=0 = α Rn. |
(1.19) |
|||
∂x |
Cau1
Начальные условия здесь выбраны соответствующими условиям ( 1.16). Мы име-
Ham0
ем семейство задач, зависящих от n параметров α. Обозначим их решения (1.18)
P (α, t), X(α, t). Геометрический смысл этих решений ясен: в фазовом пространстве
p = P (α, t), x = X(α, t) определяют траектории выпущенные из начальных точек x0 = α с начальными импульсами p0 = ∂S∂x0 (α).
Tr0
TrInh
HJSchr
HJW1
HJWm
Cau1
Cau2
Ham0
2
Обозначим через J(α, t) = det X∂α(α,t) якобиан перехода от эйлеровых координат x к лагранжевым координатам α. Очевидно, при t = 0 J(α, t) = 1. Переход от координат
x к координатам α является взаимнооднозначным (диффеоморфизмом) до тех пор, пока J(α, t) ≠ 0. В этом случае разрешимо (векторное) уравнение
X(α, t) = x. |
(1.20) |
alpha1 |
Равенство J(α′, t′) нулю означает, что траектории |
|
|
X(α, t) в конфигурационном про- |
странстве с разными α, близкими к α′ пересекаются в моменты времени t, близкие к t′. Точки x = X(α, t), для которых J(α, t) обращается в ноль называются особыми или фокальными. Первый момент времени tcr, при котором J(α, t) обращается в ноль (то есть
первого появления фокальных точек) часто называют критическим . За критическими
alpha1
временами решение уравнения (1.20), а вместе с ним и фаза S(x, t) становятся много-
значными. Заметим, что в отличие от X(α, t), траектории p = P (α, t), x = X(α, t) либо не пересекаются, либо совпадают для всех t. Именно этот замечательный факт делает
целесообразным и даже необходимым |
выход из конфигурационного пространства в |
||||||||||||
|
HJ0 |
|
Tr0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фазовое при интегрировании системы ( |
1.10),(1.11). |
|
HJ0 |
|
Cau1 |
|
Tr0 |
|
Cau2 |
|
|||
Пусть t [0, tcr]. Тогда решения обеих задач Коши ( |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1.10),(1.16), |
(1.11),(1.17) ñóùå- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ствует и единственно, они определяются формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x, t) = S0(α) + |
∫0 t |
( p, Hp − H)(P (α, τ), X(α, τ), τ)dτ |
α=α(x,t) |
||||||||||
0 |
(α) exp |
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
A |
|
|
|
|
G)(P(α, τ), X(α, τ), τ) dτ |
|
||||||
A(x, t) = |
|
|
|
∫0 |
( |
2 trHpx − |
|
|
) |
|
α=α(x,t). |
||
|
|
|
J(α, t) |
|
|||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
∂2H |
|
|
|
tr Hpx =
j=1 ∂pj∂xj
(1.21) Act0
(1.22) Ampl0
выражение (P (α, τ), X(α, τ), τ) означает, что аргументы p, x, t ó H, Hp |
, G и т.д. заменя- |
|||||||||||||||||||||||||||
þòñÿ íà (P (α, τ), X(α, τ), τ), α(x, t) решение (векторного) уравнения ( |
alpha1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.20). Напомним, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
что выражение L(p, x, t) = p, Hp − H называется лагранжианом. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Замечание. Обычно фаза S(x, t) и амплитуда A(x, t) встречаются в виде ВКБ- |
||||||||||||||||||||||||||
комбинации |
A(x, h)e |
iS(x;t) |
. Поэтому выполнения неравенства |
J(α, t) |
|
̸= 0 |
и существо- |
|
||||||||||||||||||||
h |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
alpha1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вания решения уравнения ( |
|
|
достаточно требовать |
на (замыкании) |
множества |
|
||||||||||||||||||||||
|
1.20) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
{x R|A0(x) ̸= 0}, которое называется носителем функции A0(x) и обозначается supp A. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение неоднородного уравнения переноса находится по формуле |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
t |
( |
|
η |
|
1 |
|
|
|
) |
[ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A(x, t) = |
|
J(α, t) |
exp{∫0 |
|
|
2 |
trHpx − G)(P(α, τ), X(α, τ), τ dτ} A0(α)+ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.23) Amp20 |
|||
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
)( |
|
|
|
|
) |
] |
] |
|
|
∫0 |
|
|
J(α, η)F (P (α, η), X(α, η), η) exp{− ∫0 |
|
|
trHpx − G |
|
|
|
|
|
|
dτ} dη |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
P(α, τ), X(α, τ), τ |
|
α=α(x,t). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
1.3.Формулы для решения уравнений Гамильтона-Якоби и переноса для уравнения Шредингера.
В предыдущем пункте был объяснен алгоритм решений этих уравнений. Они выражается через семейство решений (траекторий) гамильтоновой системы
|
− |
∂H |
−Vx, |
|
|
H |
|
|
|
|
||||
p˙ = |
|
|
= |
x˙ = |
|
= p, |
|
(1.24) |
||||||
∂x |
∂p |
|
||||||||||||
p|t=0 = p0(α) = |
∂S0 |
(α), x|t=0 = α R. |
|
(1.25) |
||||||||||
∂x |
|
|||||||||||||
Обозначим эти решения P (α, t), X(α, t). Предположим, что при t [0, T ] якобиан |
||||||||||||||
|
|
|
J(α, t) = |
∂X |
̸= 0. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂α |
|
|
|
|
||||||||
Тогда при таких t решения S(x, t), Aj(x, t) |
существуют, единственны и определяются |
|||||||||||||
формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x, t) = S0(α) + ∫0 t(pHp − H)(P (α, τ), X(α, τ))τ |
α=α(x,t) |
(1.26) |
||||||||||||
Здесь α(x, t) решение уравнения (1.20). |
A0(α) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
A |
x, t) = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(1.27) |
|||
|
0( |
alpha1 |
|
J(α, t) α=α(x,t) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры
Сначала рассмотрим примеры, когда гамильтониан зависит лишь от p: H = H(p), а начальная функция (фаза) S(x) имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
√ |
π |
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
S = x + |
|
|
e−y |
/2 d y = x + |
|
erf(√ |
|
). |
(1.28) |
||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
Ham1 |
|
Ham1a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда задача |
|
(1.24),(1.25) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p˙ = 0, x˙ = Hp, p|t=0 = p0(α) = 1 + e−α2/2, x|t=0 = α R, |
(1.29) |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
а ее решение есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= P (α, t) ≡ p0(α) ≡ 1 + e−α2/2, x = X(α, t) = α + tHp(p0(α)). |
(1.30) |
||||||||||||||||||||||
Якобиан J(α, t) = 1 + H |
(p |
(α))dp0 (α) = 1 |
− |
αe−α2 |
/2H |
pp |
(p |
(α)). Изучим решения, соот- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
pp |
0 |
|
dp0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ветствующие нескольким конкретным функциям гамильтона H.
Пример 1. Пусть H = p2/2. Такой гамильтониан описывает движение свободной частицы с массой m = 1 Тогда
= P (α, t) ≡ p0(α) ≡ 1 + e−α2/2, x = X(α, t) = α + tp0(α) ≡ α + (1 + e−α2/2), J = . (1.31)
При каждом фиксированном t уравнения = P (α, t), x = X(α, t) задают гладкие кривые на двумерной (фазовой) плоскости Rpx
Λt = { = P (α, t), x = X(α, t), α R}, |
(1.32) |
Ham1
Ham1a
Act1
Ampl1
Cauchy1
Ex1
Sol1
Sol1
Lagr1
4
которые сначала проектируются на ось x взаимнооднозначно, а затем, начиная с некоторого момента времени tcr уже не однозначно, накрывая некоторый интервал (x−, x+) íà îñè x тремя листами. Нетрудно сообразить, что время tcr- это первый момент вре- мени, когда якобиан J обращается в ноль. До момента tcr мы можем написать ВКБ асимптотику решения соответствующей задачи Коши:
При каждом фиксированном t èç [0, tcr) эта формула определяет волновую функцию, заданную параметрически (параметром является α) и легко реализуется с помощью программы "Mathematica". При подходе к времени tcr в окрестности некоторой точки xf якобиан принимает очень маленькие значения а фаза S теряет гладкость, асимп-
тотика решения становиться очень большой. Говорят, что в этом случае происходитградиентная катастрофа . Решение рассматриваемой задачи тем не менее существует и с точки зрения асимптотического подхода, это означает, что простое использование ВКБ-асимптотитки при подходе к временам t = tcr не правомерно. Поэтому как
в окрестности t = tcr, òàê è ïðè t > tcr следует использовать другие асимптотические
представления.
Пример 2. Рассмотрим пример, гамильтониан H = p3/3 + p, c = const, возникаю-
щий при описании движения волновых пакетов линеаризованного уравнения Кортевегаде Фриза. Все рассуждения предыдущего примера остаются в силе, в результате соответсвующих вычислений получаем следующие рисунки и формулы √
Пример 3. Рассмотрим пример, когда гамильтониан H равен H = |p|. Такой
гамильтониан описывает в линейном приближении динамику гравитационных волн на поверхности жидкости над (бесконечно) глубоким дном. Хотя эта функция H является
не гладкой в точке p = 0, тем не менее простой анализ проведенных выше рассуждений,
основанный на сохранении функции Гамильтона H на траекториях, показывает, что все (общие) формулы остаюся справедливыми, если производная ∂S0
∂x не обращается в ноль
на носителе начальной амплитуды A0. Вычисления дают
= P (α, t) ≡ p0(α) ≡ 1 + e−α2/2, x = X(α, t) = α + tp0(α) ≡ α + (1 + e−α2/2), J = . (1.33) Sol1
Тогда все рассуждения предыдущего примера остаются в силе, в результате получаем следующие рисунки и формулы √
Пример 4. Пусть теперь гамильтониан H равен H = g |p| tanh(pD), ãäå g > 0, D > 0-параметры (физические константы). Такой гамильтониан описывает в линейном при-
ближении динамику гравитационных волн на поверхности жидкости в бассейне с дном конечной глубины. В этом случае g− ускорение свободной падения, D− глубина. При
малых D после разложения функции H в ряд Тэйлора с сохранением кубического чле-
на, мы получаем (с точностью до констант) гамильтониан из примера 2, а полагая D = ∞- гамильтониан примера 3.
Замечание. Задачи в которых гамильтониан H зависит от x не решаются так про-
сто. Получение явных формул связано с возможностью интегрирования в элементарных функциях гамильтоновой системы. Если H не зависит от t, то на траеториях этой систе-
мы функция H сохраняется. Это свойство позволяет проинтегрировать гамильтонову
систему в квадратурах и часто достаточно эффективно качественно описать поведение траекторий, поскольку тpaeктории суть линии уровня функции H. Аналитическое опи-
сание свойств кривых Λt может представлять довольно сложную задачу, но в настоящее время кривые Λt, и ВКБасимптотики решений рассматриваемых задач Коши легко строятся с помощью программ типа Mathematica и Matlab .
5
В некоторых важных случаях системы Гамильтона интегрируются в элементарных функциях, когда V зависит от x.
Пример 5. Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора |
|
Ðàñ- |
|||||||||
|
|||||||||||
смотрим пример гармонического осциллятора. Тогда V (x) = x2 |
/2 и уравнение |
|
Sch1 |
||||||||
|
(1.1) |
||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
= − |
h2 ∂2ψ |
x2 |
|
|
|
||||
ih |
|
|
|
|
+ |
|
ψ. |
(1.34) |
|||
∂t |
2 |
∂x2 |
2 |
Предположим, что на носителе suppA0 функции A0(x) ∂∂x2S2 ≠ 0. Изучим асимптотику решения на временах t [0, ±π/2].
Решение гамильтоновой системы имеет вид
P (α, t) = −α sin t + p0(α) cos t, X(α, t) = α cos t + p0(α) sin t. |
(1.35) |
Osc1
C точки зрения кривых λt уравнения (1.35) описывают поворот начальной кривой Λ0
íà óãîë t ( с учетом знака t). Якобиан J |
= cos t + |
∂p0(α) |
sin t. Равенство J |
= 0 имеет |
||||||||||||||||||||
|
∂α |
|||||||||||||||||||||||
место в точках α, в которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂p0(α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ctg t = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.36) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если якобиан не обращается в ноль, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S(x, t) = [S0(α) − αp0(α) sin2 t + |
1 |
((p0(α))2 − α2)sin 2t] α=α(x,t), |
|
(1.37) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
∂p0(α) |
|
|
∂2S0 |
|
|
|
|
|
|
|
Osc2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поскольку |
|
|
|
= |
∂x2 (α), то правая часть в ( |
|
1.36) имеет постоянный знак. Отсюда |
|||||||||||||||||
∂α |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
следует, что J ̸= 0 |
ïðè |
t [0, π/2] |
, åñëè |
|
íà |
|
|
|
|
0 |
|
|
∂2S0 |
|
è |
t [0, −π/2] |
, åñëè |
|||||||
(a) |
suppA |
|
|
|
∂x2 > 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(b) íà suppA0 |
|
|
∂ |
S |
< 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы для моментов времени t = ±π/2. Для дальнейшего важно изучить
построенные асимптотики решения в моменты времени |
|
t = |
± |
π/2. Положим в случае |
|||||||||||||||||||||||||||
(a) t = π/2 и в случае (b) t = −π/2. Тогда уравнение |
alpha1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(1.20) принимает вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
p0(α) = q, |
|
ãäå |
|
q = x |
в случае |
|
|
(a) |
è |
|
q = −x, |
|
в случае |
(b) |
(1.38) |
|||||||||||||||
ïðè ýòîì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂p0(α) |
|
|
|
∂2S0 |
|
|
|
|||||||
и окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
S(x, ±π/2) = Φ(q) = [S0(α) − αp0(α)]|α=α(q), J = ± ∂α |α=α(q) = ∂x2 |
|
(α(q)) , |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ψ(x, ±π/2) = |
|
|
A0(α(q)) |
|
|
|
|
i (q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
h |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.39) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |
∂2S0 |
(α(q)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример с квадратичной2 |
|
фазой. Рассмотрим |
|
|
|
пример |
конкретной функции |
||||||||||||||||||||||||
S0(x) = k(x |
− |
ξ) + |
b(x−ξ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
k, ξ |
. Тогда |
0 |
(α) = k + b(α |
− |
ξ), |
||||||||||||||
|
∂p0 |
|
2 |
|
, зависящей от параметров |
|
|
|
|
|
p |
||||||||||||||||||||
|
= b. Ïðè ýòîì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (α, t) = −α sin t + (k + b(α − ξ)) cos t, |
X(α, t) = α cos t + (k + b(α − ξ)) sin t, |
(1.40) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J = cos t + b sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.41) |
Sch3
Osc1
Osc2
Act1
alpha20
psi5
Osc1a
Jac2
6
|
|
|
|
|
|
|
|
Osc1a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Уравнения |
(1.40) определят на фазовой плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
px прямые, которые со временем |
||||||||||||||||||
t вращаются вокруг начала координат. Якобиан |
|
J |
обращается в ноль когда cot t = b- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тогда кривая Λt становится вертикальной. Решение уравнение для α äàåò |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) = |
x − (k − bξ) sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t + b sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x(k − bξ) + (b(x2 + ξ2) − |
2kξ) cos t − (x2 + k2) sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x, t) = |
|
|
|
|
|
|
|
(1.42) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(cos t + b sin t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A0( |
x−(k−bξ) sin t |
) |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
2x(k − bξ) + (b(x |
2 |
+ ξ |
2 |
) |
− 2kξ) cos t − (x |
2 |
+ k |
2 |
) sin t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ψ = |
|
|
|
|
|
|
cos t+b sin t |
exp |
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
] |
|
|
(1.43) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
√cos t + b sin t |
|
|
|
|
|
{h |
|
|
|
|
|
|
|
|
2(cos t + b sin t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Это асимптотика работает |
на промежутке |
[0, T ] |
, ïîêà |
J ̸= 0 cot t |
̸= b. |
Заметим, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ïðè A |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 и формула |
psi2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(3.8) дает точное решение задачи Коши. Действительно, J íå |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зависит от α, и, следовательно, производные от |
A0 |
по переменной x равны 0. Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TR3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
как правые |
|
части, так и начальные условия в ( |
1.8) равны 0 и в разложении для A â |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
WKB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле |
|
(1.3) остается только одно слагаемое. Выпишем это точное решение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ψ = |
|
1 |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
i |
[ |
2x(k − bξ) + (b(x2 + ξ2) − 2kξ) cos t − (x2 + k2) sin t |
] |
|
|
. |
(1.44) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√cos t + b sin t |
|
|
|
|
{h |
|
|
|
|
|
|
|
2(cos t + b sin t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Групповая и фазовая скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iS(x;t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение вида A(x, h)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
в случае когда A(x, h) финитная функция называют волно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вым пакетом. Изучим случай, когда амплитуда A0 вещественна и имеет вид шапочки , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
локализованной в окрестности некоторой точки |
|
|
x0. Рассмотрим вещественную часть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ВКБ-решения Re A(x, t)e |
iS(x;t) |
|
= A(x, t) cos |
S(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x, t) ïî- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
h |
|
|
. На множествах, где фаза |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
стоянна и равна πkh/ , функция A |
x, t |
) cos |
S(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
h |
|
|
имеет нули, минимумы и максимумы. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Точки x = xph(t) S(xph(t), t) = const |
называются точками постоянной фазы. Вычис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лим скорость{ |
движения| |
этих множеств.} |
Имеем |
|
|
dS |
= ∂S + |
∂S |
dxph |
|
= 0. Íî ∂S |
|
= p, à |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
∂x dt |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
dxph |
|
|
∂x |
|
|
|||||||||||
∂S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для фазовой скорости |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
∂t = −H(p, x). Отсюда получаем выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
iS(x;t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
= H(p, x)/p |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Изучим скорость движения максимума |
|A(x, t)e |
|
|
|
h |
|
|
| = A(x, t) |
. В силу выбора функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ampl1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
öèè A(x, t) и формулы |
|
(1.27), |
ее максимум есть точка xmax(t) определяемая уравнением |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
α(xmax(t), t) = x0, или в силу определения α(x(t), t) |
xmax(t) = X(x0, t). Скорость движе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
0 |
, t) = Hp. Эта скорость Hp определяет |
|||||||||||||||||||||||
ния точки xmax(t), очевидно, равна x˙max(t) = X(x |
движение волнового пакета или группы волн, она называется групповой скоростью.
2.Одномерные лагранжевы мноообразия и канониче- ские преобразования gHt
Сделаем еще одно очень важное замечание. Хотя асимптотика ВКБ задачи Коши
Sch1 Sch2
(1.1),(1.2) работает только до времени t = tcr, кривые Λt определены для любых (ко- нечных) времен t. Более того на кривых Λt корректно определены фаза, якобиан и
act1
psiosc0
psiosc
7
амплитуда (как функции параметра α), è íà Λt можно построить ВКБ-функции
|
A(α) |
exp |
iS(α, t) |
|
|
|
||
|
(2.1) |
WKBLag1 |
||||||
|
|
|
|
|||||
√ |
|
| |
h |
|||||
|J(α, t) |
||||||||
|
|
|
|
там, где якобиан J(α, t) не обращается в ноль. Проблемы написания асимптотических формул возникают тогда, когда мы пытаемся опустить эти функции с кривых Λt íà îñü x. Поэтому кажется чрезвычайно разумным, предположить что кривые Λt è ôóíê- ции на них -это фундаментальные объекты, которые и определяют асимптотику на лю-
бых конечных (не зависящих от параметра h временах). Это замечательное наблюдение
MaslovAsMet
принадлежит В.П. Маслову [?], оно дало импульс большому количеству исследований и создало целый раздел современной науки. Вопрос состоит в написании формул задающих проекцию этих функций на ось x. Различные соображения показывают, что
такая проекция оказывается различной с областей или листов кривых Λt, проек- тирующихся на ось x взаимнооднозначно, и листов содержащих окрестности точек, в которых якобиан J обращается в ноль, и очевидно, взаимнооднозначно проектирущихся на ось p. Точки, в которых якобиан J обращается в ноль называются фокальными, та-
кой термин возникает потому, что они связаны с хорошо известным в оптике явлением фокусировки. В первом случае (фокальные точки отсутствуют) мы имеем по-существу те же ВКБ-формулы (или их линейную комбинацию), что и до критического времени, с учетом того факта, что корень из якобина J можно можно извлекать различным
способом. Именно, якобиан может принимать как положительные, так и отрицальные значения, и корень извлекать можно двумя способами. Отсюда возникают четыре возможных множителя ±1, ±i перед ВКБ-асимптотикой, которые можно записать в виде
e−iπm/2, ãäå m целые числа, определенные по mod4, то есть с точностью до 4k равные 0, 1, 2, 3. Число m (точнее, целочисленная функция) возникает и в многомерных
задачах, оно имеют топологическую природу и называется индексом Маслова. Для построения аимптотики соответсвующих листам , плохо проектирующимся на ось x (òî
есть содержащим фокальные точки), можно воспользоваться следующим соображени-
ем. В тех точках, где якобиан J ≡ = 0, очевидно, не обращается в ноль якобиан
J(0) ≡ ∂P WKBLag1
∂α , поэтому вместо ВКБ-функций (2.1) мы можем использовать ВКБ-функции, соответсвующие координатам p (в p-представлении )
|
A(α) |
exp |
iS(α, t) |
, |
|
|
|
||
|
(2.2) |
WKBLag2 |
|||||||
√ |
|
| |
h |
||||||
|J(0)(α, t) |
|||||||||
|
|
|
|
|
с подправленным проектированием на ось x и учетом индекса Маслова. Возможность написания асимптотики решения, основанная на координате p имеет глубокий физи-
ческий смысл: в гамильтоновой механике описания поведения системы в координатах и скоростях (или обощенных импульсах) равноправны. Правда, функция действия при
переходе от координат x к координатам p преобразуется с помощью преобразования Ле-
WKBLag2
жандра, но этот факт фактически будет учтен при построении проектирования ( 2.2) на ось x. Точные формулы мы приведем несколько ниже, а сейчас напомним некоторые
определения, связанные с кривыми Λt и их динамикой.
Рассмотрим 2-мерную плоскость R2px с координатами x (координатой) и p (импульсом). Точки на плоскости R2px будем обозначать буквой r. Предположим, что при t = 0
задана (пока незамкнутая) гладкая кривая Λ0, точки r(α) на которой задаются с помощью глобальной координаты (параметра) α R. Тогда эта кривая определяется с
8
помощью уравнений p |
|
P 0 |
|
α |
, x |
|
X0 |
|
α |
, α |
0 |
R |
. Точки на кривой обозначаем r(α). |
|||||||
|
= |
|
( |
) |
|
|
= |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
0; будем называть ее |
||
Зафиксируем на кривой Λ0 некоторую точку r |
с координатой α |
|
||||||||||||||||||
центральной точкой |
Λ0. Теперь мы можем определить (функцию) действия на Λ0, |
|||||||||||||||||||
удовлетворяющую соотношению dS0(α) = P 0 dX0: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0(α) = ∫α0 |
P 0(α) dX0(α) |
|
|
(2.3) |
||||||||||||
и якобианы |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂X0 |
|
|
|
∂P 0 |
|
||||||
|
|
|
|
(1) |
|
|
≡ |
|
(0) |
|
||||||||||
J0(α) = J0 |
(α) |
|
|
(α), J0 |
(α) = |
|
(α). |
(2.4) |
||||||||||||
|
∂α |
∂α |
Точки r(α) íà Λ0 называются не особыми, если J(α) ≠ 0 и особыми или фокальными в
противном случае. Наконец предположим, что на Λ0 задана гладкая финитная функция A(α), которую будем называть амплитудой. Все эти объекты определяются независимо
от дифференциального уравнения, и, по-существу, связаны с начальными условиями. Пусть далее в пространстве R2px × Rt задана гладкая (пока) функция H(p, x, t).
Функция H(p, x, t), называемая функцией |
|
Гамильтона или (классическим) гамильто- |
|||||||
|
|
|
Ham0 |
|
|
|
|
|
|
нианом, порождает гамильтонову систему ( |
|
1.18) и фазовый поток (каноническое пре- |
|||||||
|
|||||||||
образование) gHt . Преобразование gHt |
переводит каждую точку r0 |
|
= (p0, x0) èç Rpx2 |
â |
|||||
|
|||||||||
точку rt = (pt, xt)- конец в момент времени траектории системы ( |
|
Ham0 |
|
|
|||||
|
1.18), выпущенной |
||||||||
|
|||||||||
из точки r0 = (p0, x0) ïðè t = 0. Действуя потоком gt |
на кривую Λ0 мы получа- |
||||||||
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
ем семейство зависящих от времени t кривых Λt = gHt Λ0, задаваемых уравнениями Λt = {p = P (α, t), x = X(α, t), ãäå P (α, t), X(α, t) - решения задачи Коши
p|t=0 = P 0(α), x|t=0 = X0(α), α R |
(2.5) |
Ham0
системы Гамильтона (1.18). В качестве координаты на Λt по-прежнему удобно исполь- зовать параметр α, который называют лагранжевой координатой. Тогда центральной
точкой на Λt будет точка r0t = (P (α0, t), P (α0, t)), которая получена в результате действия gHt на точку r0.
На каждой из кривых Λt мы опять можем определить функцию действия, якобианы и амплитуду. Действие S(α, t) попрежнему является решением уравнения dS = P dX. Но такое решение определено с точностью до функции, зависящей от времени t, мы будем выбирать эту функцию так, чтобы в переменных x действие было решением уравнения Гамильтона-Якоби и положим
α |
P dX + ∫0 t(pHp −H)|p=P (α0,t),x=X(α0,t) dt ≡ S0(α) + ∫0 t(pHp −H)|p=P (α,t),x=X(α,t) dt. |
S = ∫α0 |
Ham0 (2.6) Последнее равенство основано на применении формулы Грина и учета ( 1.18) при вы-
числении интеграла от формы pdx − Hdt по пути на поверхности {p = P (α, η), x = X(α, η), t = η|α R, η [0, t]}, соединяющему точки с координатами (α = α0, t = 0) è
(α, t). Напомним, что |
функция |
(pHp −H)(p, x, t) называется лагранжианом или функци- |
||
|
Actt |
|||
ей Лагранжа. Формула |
|
отражает тот факт, что изменение действия на траектории |
||
(2.6) |
связано с интегрированием лагранжиана. Якобианы на кривых Λt определяются равен-
ствами |
∂X |
|
∂P |
|
|
|
J(α, t) = J(1)(α, t) ≡ |
(α, t), J(0)(α, t) = |
(α, t). |
(2.7) |
|||
|
|
|||||
∂α |
∂α |
action1
Jac1
InHam
Actt
Jac2
9
По прежнему, точки r(α, t) называются неособыми, если J(α, t) ≠ 0 и особыми или фо-
кальными в противном случае. Амплитуда (α, t) на семействе кривых Λt может, вообще говоря, изменяться со временем (при движении по траекториям). Это изменение свя-
зано с функцией Hpx(p, x, t) и некоторой функцией G(p, x, t), которая возникает из-за
Ampl0
возмущений в исходном дифференциальном уравнении. Она имеет вид (ср. с ( 1.22))
t |
[ |
|
1 |
] |
|
|
A(α, t) = A0(α) exp ∫0 |
|
( |
Hpx − G)(P (α, τ), X(α, τ), τ) dτ. |
(2.8) |
AmplLagr |
|
|
|
|||||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
Подчеркнем, что эта амплитуда не содержит корня из якобиана в знаменателе, и тем
Ampl0
самым, в отличие от (1.22), является гладкой функцией на семействе Λt. Теперь вопрос
состоит в проектировании фазы, амплитуды и других объектов на Λt в пространство
функций на оси так, чтобы это проектирование давало в конечном итоге асимптотику задачи Коши исходного дифференциального уравнения. Это проектирование представляет собой зависящий от Λt и параметра h линейный оператор по отношению к
действию на амплитуду A(α, t). Этот оператор KΛht называется каноническим операто- ром Маслова, ниже мы приведем соображения и явные формулы его определяющие.
Заметим, что канонический оператор определяется как объект из теории функций и может быть определен независимо от дифференциальных уравнений, хотя, разумеется именно для решения дифференциальных канонический оператор и создан.
Поскольку канонический оператор линеен по амплитуде, то естественно определять его последовательно на различных листах Λt, сузив сначала носитель амплитуды на
соответствующий лист , а потом провести суммирование по всем листам. Такое cу-
жение хорошо известно в геометрии и теории функций. Именно, известно, что любую гладкую кривую Λ на плоскости R2px можно покрыть счетным числом областей ( ли-
, I = 0, 1, называемых картами, так что во всех точках карт Ω(1)j не обращается
в ноль якобиан J = J(1), а во всех точках карт Ω(0)
j не обращается в ноль якобиан Карты с индексом I = 1 называются неособыми, а карты с индексом I = 0 -особыми или фокальными. Далее, покрытию {Ω(jI)} можно сопоставить (не единственный) набор
неотрицательных не превышающих единицу гладких функций ej, таких, что носитель ej принадлежит карте {Ω(jI)}, а их сумма ∑ej ïî âñåì j равна 1. Набор {ej} называется
разбиением единицы (подчиненным покрытию {Ω(jI)}) см. []. Теперь умножая амплитуду A íà ej мы получаем набор функций Aj, носители которых лежат в картах Ω(jI).
Теперь мы можем определить канонический оператор, действующий в каждой карте Ω(jI). В неособой карте положим KΩhj
3.Лекция. Функция Грина для гармонического осциллятора и метод стационарной фазы
3.1.Функция Грина для задачи Коши для уравнения Шредингера
Sch1
Напомним, что функцией Грина для задачи Коши для уравнения Шредингера ( 1.1) называется такое его обобщенное решение G(x, ξ, t), зависящее также от параметра ξ,
÷òî ïðè t = 0
G(x, ξ, 0) = δ(x − ξ), |
(3.1) |
psi5 |
10