Пособие по формулам Тейлора

•à¥¤áâ ¢¨¬

ä®à¬ã«®©

Œ ª«®à¥-

¢â®à®©

ç«¥-

§- ¬¥- ⥫ï. ’ ª ª ª

x+1 » 1

¯à¨

x !

0

, â® £¨¯¥à¡®«¨ç¥áªãî

2

5x

äã-ªæ¨î ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¤® o x3

: ch

p5x

= 1 +

+ o x3

:

¡

¢

5x¡2

¢

2

¢

(x + 1) ch

p5x = (x + 1) µ1 +

+ o x3

¶

=

2

³

´

¡

2¢

3

= 1 + x +

5x

+

5x

+ o¡x3¢:

5x2

49x3

2

2

g (x) = µ1 + x +

+

+ o x3

¢

¶

¡

2

6

¡ µ1 + x +

5x2

5x3¡

¶

=

17x3

+ o x3

:

2 +

2

+ o x3

3

¡

¢

¡

¢

•à¥¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

ç¨á«¨â¥«ì

¤à®¡¨

¤®

o x3

. ’ ª

ª ª

«®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï

äã-ªæ¨ï

¯à¥¤áâ ¢¨¬

ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- ¢

®ªà¥áâ-®áâ¨

â®çª¨ 1,

-¥

â®çª¨

¡

¢

e, â® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï «®£ à¨ä¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï:

ln (e (1 + 2x)) = ln e + ln (1 + 2x) =

(2x)2

(2x)3

8x3

= 1 + 2x ¡

+

+ o¡x3¢ = 1 + 2x ¡2x2 +

+ o¡x3¢:

2

3

3

1=4

x

41

¢

¡43

x2

41

¢

43

¢

47

x3

3

(1 + x)

= 1+

+

¡ 2

¢

+

¡¡

¢6

¡¡

¢

+o x

¢

=

4

x

3x2

7x3

¡

= 1 +

¡

+

+ o¡x3¢:

4

32

128

x3

1=4

(ln (e (1 + 2x)))1=4 = µ1 + 2x ¡ 2x2

¶

+

8

+ o x3

¢

=

3

³2x ¡ 2x2

+

8x

3

+ o x3

´

¡

2

= 1 +

3 2x ¡ 2x2 + o x2

3

+

4

¡

¢

¡

¢¢

¡

32

¡

+

7 (2x + o(x))3

+ o¡x3¢ =

128

43

x

x2

2x3

3x2

3x3

7x3

= 1 +

¡

+

+ o¡x3

¢ ¡

+

+ o¡x3

¢ +

+ o¡x3

¢:

2

2

3

8

4

16

’ ª ª ª ãç¥â ªã¡¨ç¥áª®£® ç«¥-

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ª®à-ï

ª¢ ¤à â-®£®

§- ç¨â¥«ì-® ã¯à®áâ¨â

¯à¨¢¥¤¥-¨¥ ¯®¤®¡-ëå

á« £ ¥¬ëå, â® ¯®ª

-¥ ¯à¨¢®¤¨¬ ¯®¤®¡-ë¥ á« £ ¥¬ë¥.

p

x

x2

x3

3

x2

3

1 ¡ x = 1 ¡

¡

¡

+ o¡x

¢;

cos x = 1 ¡

+ o¡x

¢:

2

8

16

2

‚®á¯®«ì§ã¥¬áï â ¡«¨ç-®© § ¯¨áìî ¤«ï ¯à¨¢¥¤¥-¨ï ¯®¤®¡-ëå ç«¥-®¢ (á¬. § ¬¥ç -¨¥ 7, á. 14).

f (x) = (ln (e (1 + 2x)))1/4 + p1 ¡ x ¡ 2 cos x =

=x1

+1

¡2+

x

+ 2

2

2

¡22

+

+ ¡x2

¡ 3x8

´

¡x8

+x2+

³

2x3

+

3x3

7x3

x3

3

+ ³

3

4

+

16

´

¡16

+ o x =

2

3

3

¡ ¢43

= µ

+

+

¶x3 + o x3

¢

=

x3 + o x3

:

3

4

8

24

f (x)

43

3

3¡

43

¡

¢

lim

= lim

24 x

+ o x

=

:/

17x3

x!0 g (x)

x!0

+ o(¡x3)¢

136

3

2x

p6

4

lim

ch x + cos

¡ 2

1 + 3x

•à¨¬¥à 3.5. • ©â¨

2+x2

:

x

0

³

´

x2

!

x arctg x ¡ exp ³

´ + 1

1+x2

. €àªâ -£¥-á | -¥ç¥â- ï äã-ªæ¨ï, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¥£®

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥

ä®à¬ã«®©

Œ ª«®à¥-

ᮤ¥à¦¨â

⮫쪮

-¥ç¥â-ë¥ á⥯¥-¨.

•®á«¥

ã¬-®¦¥-¨ï

-

x

¯®«ã稬

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥, ᮤ¥à¦ 饥 ⮫쪮 ç¥â-ë¥ á⥯¥-¨. €à£ã¬¥-â ¯®ª § ⥫ì-®© äã-ªæ¨¨ | ç¥â- ï äã-ªæ¨ï, §- ç¨â, á«®¦- ï

44

äã-ªæ¨ï | ç¥â- ï, ¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ⮦¥ ¡ã¤¥â ᮤ¥à¦ âì

⮫쪮 ç¥â-ë¥ á⥯¥-¨.

‚ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨

§- ¬¥- ⥫ï

ç«¥-ë -ã«¥¢®£® ¯®à浪

¢§ ¨¬-® ã-¨ç⮦ âáï. „ «¥¥, x ¢ arctg x » x

2

,

x2

» x

2 ¨

1+x2

1 ¡ exp

x2

» x

2

¯à¨ x ! 0. ˆâ ª, ç«¥-ë ¢â®à®£® ¯®à浪

1+x2

â ª¦¥ ¢§³

¨¬-´® ã-¨ç⮦ âáï. •à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ §- ¬¥- â¥«ï ¤®

o x3

-¥¤®áâ â®ç-®, â ª ª ª ¨¬¥¥â ¢¨¤ o x3

¨ -¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â

« ¢-ãî ç áâì.

¡

¢

£¡

¢

•à¥¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

§- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¨ ¤®

o x5

. ’ ª ª ª

àªâ -£¥-á ã¬-®¦ ¥âáï - x, â® ¥£® ¤®áâ â®ç-®

4

x3

4

¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤®

o x

, â® ¥áâì

arctg x = x

+ o x .

3

¡

¢

x2

¡

‡- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¨

3

¡

¢

¤®áâ â®ç-® ¯à¥¤áâ

¢¨âì ¤®

o x

:

1+x2

¡

¢

¢

x2

¡

= x2 ¡1 ¡ x2 + o¡x3¢¢ = x2 ¡ x4 + o¡x5¢:

1 + x2

’®£¤

exp µ

x2

¶ = exp x2 ¡ x4 + o x5

¢¢2

=

1 + x2

¡ 1

¡

2

4

5

2

3

+ o x5

=

= 1 + ¡x ¡ x + o¡x ¢¢ + 2

¡x + o¡x

¢¢2

¢

1

¡4

5

= 1 + x

x

+ o x

:

‚ ¦-®:

á« £ ¥¬®¥

¢

¢¨¤¥

1

x2

¡

2

2

¡¢¬¥¢áâ®

+ o x2

2

2

21 x2 + o x3

¯à¨¢¥¤¥â

ª

¯®-¨¦¥-¨î

â®ç-®áâ¨

4 .

¡

¡ ¢¢

¯à¡¥¤áâ

¢«¥-¨ï ¤®

o x

¡

¢¢

2

x4

5¡

2

x4

5

¶+1 =

x4

5

g (x) = x ¡

3 +o x ¡µ1 + x ¡

2

+ o x

6 +o x :

¡

¢

¡

¢

¡

¢

ƒ« ¢- ï

ç áâì

§- ¬¥- ⥫ï

- ©¤¥- .

’®ç-®áâì

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ¢ë¡à -

¯à ¢¨«ì-®.

•à¥¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

ç¨á«¨â¥«ì

¤à®¡¨

¤®

o¡x5

¢:

ch x = 1 +

x2

+

x4

+ o x5

:

2

4!

¡

¢

45

’ ª ª ª 2x

» x ¯à¨ x ! 0, ª®á¨-ãá | ç¥â- ï äã-ªæ¨ï

2+x2

¨ ¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ᮤ¥à¦¨â ç«¥-ë ⮫쪮 ç¥â-ëå á⥯¥-¥©,

â® ¥£® à£ã¬¥-â ¤®áâ â®ç-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤®

o x4

¢:. ’® ¥áâì

§- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¨ ¤®áâ â®ç-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤® o¡x3

2x

x

x2

¶

= x ¡

x¡3

¢

:

2 + x2

= 1 + x22 = x µ1 ¡

2

+ o x3

¢

2 + o x4

¢

¡

¡

cos µ

¶ = cos µx ¡

¶ =

2x

x3

¢

’®£¤

+ o x4

2 + x2

2

1

x3

2

1

¡

4

= 1 ¡

µx ¡

+ o x4

¢

¶

+

x + o x2

¢¢

+ o x5

¢

=

2

2

24

2

4

¡ 4

¡

¡2

4

¡

= 1 ¡

x

+

x

+

x

+ o¡x5¢ = 1 ¡

x

+

13x

+ o¡x5¢:

2

2

24

2

24

x4

¶

= 2 + x4 + o x5

2 6 1 + 3x4

:

= 2 µ1 + 36

+ o x5

¢

p

¡

¡

¢

x2

x4

+ o x5

+ µ1 ¡

x2

13x4

+ o x5

¢

¶

f (x) = 1 +

+

+

¡

2

24

2

24

¡

¢

4¡

+ x4 + o x5

¢¢

=

5x

+ o x5

:

f (x)

¡ ¡2 5x4

¡5

¡

12

¡

¢

lim

= lim

¡

12

+ o x

=

5

:/

x4

¢

¡

x 0 g (x)

x

!

0

x5)

2

!

6 + o(¡

p

e(x3+x2 1)

e

1¡2x +

¡

•à¨¬¥à 3.6. • ©â¨

lim

x+1

:

¢¢ ¡ sin ¡ln ¡1 + x2

¢¢

x!0 sh ¡ln ¡1 + x2

. €à£ã¬¥-âë £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¨ âਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª®£®

á¨-ãá ¢ §- ¬¥- ⥫¥ ¤à®¡¨ ᮢ¯ ¤ îâ. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ç«¥-ë ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¢§ ¨¬-® ã-¨ç⮦ âáï. ‚ ᨫã -¥ç¥â-®á⨠®¡¥¨å äã-ªæ¨© ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ᮤ¥à¦ â ⮫쪮 ç«¥-ë -¥ç¥â-®© á⥯¥-¨. •à¨ç¥¬ ç«¥-ë âà¥â쥣® ¯®à浪

46

®â«¨ç îâáï ⮫쪮 §- ª®¬. •®í⮬㠯।áâ ¢¨¬ §- ¬¥- ⥫ì

¤à®¡¨ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

¤® o x3 .

3

:

¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¤®

o x

‹®£ à¨ä¬¨ç¥áªãî äã-ªæ¨î ¡

¢

x

x

1

x

2

1 x

3

3 ¡ ¢

ln ³1 +

´

=

¡

³

´

+

³

´

+ o x

:

2

2

2

2

3

2

x

x

1

x

2

1

x

3

¡

¢

sh ³ln ³1 +

´´ =

µ

¡

³

´

+

³

´

+ o x3

3¢

¶

+

2

2

2

2

3

2

1

x

¡

+

³

+ o(x)´

+ o¡x3¢:

6

2

•¥à¢ãî ᪮¡ªã ¬®¦-® -¥

à áªàë¢ âì,

â ª

ª ª

®-

¢§ ¨¬-® ã-¨ç⮦ ¥âáï á â ª®© ¦¥ ᪮¡ª®© ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨

âਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª®£® á¨-ãá .

Šã¡¨ç¥áª®¥

á« £ ¥¬®¥

¢

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨

âਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª®£®

á¨-ãá

®â«¨ç ¥âáï

⮫쪮 §- ª®¬. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®,

x3

1

³

x

3

+ o x3

=

:

g (x) = 2 ¢ 6

2 + o(x)´

¢

24 + o x3

¢

¡

¡

€- «®£¨ç-®

¯à¥¤áâ ¢¨¬ ç¨á«¨â¥«ì

¤à®¡¨

ä®à¬ã«®©

Œ ª«®à¥- ¤® o¡x3¢:

2

3

p

(2x)

(2x)

(2x)

3

1 ¡ 2x = 1 ¡

¡

¡

+ o¡x x¢2=

2

8

16

x3

= 1 ¡ x ¡

¡

+ o¡x3¢:

2

2

= exp ½1 ¡ x ¡

x2

x3

¾

exp

©

p1 ¡ 2x

¡

+ o x3

=

2

2

ª

x2

¡

x3¢

= e ¢ exp ½¡x ¡

¡

+ o¡x3¢¾ =

2

2

Ã1 ¡ x +

x2

x3

1

x2

¢¶

2

= e

+

+

x +

¡

2

2 + o x3

2

2 + o x2

µ

¡

¢¶

µ

¡

o(x))3

+ o x3

!

=

¡ (x + 6

¡

¢

47

= e Ã1 ¡ µx +

x2

x3

x2

+ x3 + o x3

¢¢¡

2 +

2 + o x3

¶ + ¡

2

¡

¡

¢

x3

¢

¶ = e ¡ ex ¡

ex3

¡

+ o x3

+ o x3

:

6

6

1

¡

2

3

3

¡

¢

1

= 1 ¡ x + x ¡ x + o¡x ¢:

e x3

+ x2

1 + x

¡

x + 1 ¡

¢

= e x3 + x2 ¡ 1 1 ¡ x + x2 ¡ x3 + o x3

¢¢¤

=

= e

3£ ¡

2¢¡

¡

x (1 + o(1)) + x

(1 ¡ x + o(x)) ¡

¡ ¡1 ¡ x +£¡x2 ¡ x3 + o¡x3¢¢¢¤ = ¡e + ex + ex3 + o¡x3¢:

ex3

3

3

+ o x3

=

f (x) = e ¡ ex ¡ 6 + o¡x

¢ +

¡¡e + ex + ex

5ex3¡

¢¢

=

+ o¡x3¢:

f (x)

5ex3 + o x3

6

lim

= lim

6

= 20e:/

x3

+ o(¡x3)¢

x!0 g (x)

x!0

24

•à¨¬¥à 3.7. • ©â¨

ln

³(1 ¡ 3x)2=3 ¡ (1 + 3x)2=3 + ch p

¡ 38 x2

´

:

lim

8x

x!0+0

sin (sin x) ¡ arctg (arctg x)

¢:

¢¨¬ §- ¬¥- ⥫ì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

3

. •à¥¤áâ

t3

3

t3

3

¤® o¡x

sin t = t ¡

+ o¡t

¢; arctg t = t ¡

+ o¡t

¢;

t ! 0:

3!

3

x3

(x + o(x))3

sin (sin x) = µx ¡

+ o x3

¢

¶

¡

+ o x3

¢

=

6

6

¡

¡3

= x ¡

x

+ o¡x3¢:

3

48

arctg (arctg x) = µx ¡

x3

¡

¢

¶ ¡

(x + o(x))3

¡

¢

+ o x3

+ o x3

=

3

3

x3

= x ¡

2

+ o¡x3

¢:

3

g (x) = µx ¡

x3

+ o x3

¶¡µx ¡

2x3

+ o x3

¢

¶

=

x3

+o x3

¢

:

3

3

3

¡

¢

¡

¡

’ ª ª ª ¢ ¯¥à¢ëå ¤¢ãå á« £ ¥¬ëå ç«¥-ë ç¥â-ëå á⥯¡¥-¥¢©.

•à¥¤áâ ¢¨¬ ç¨á«¨â¥«ì

ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

¤® o x3

ᮢ¯ ¤ îâ, -¥ç¥â-ëå á⥯¥-¥© ®â«¨ç îâáï §- ª®¬, â®

(1 ¡ 3x)2=3 ¡ (1 + 3x)2=3

=

¢ (3x) +o x =¡4x¡3x +o x ;

=¡2¢3 (3x)¡2¢

¡3

¢¢¡¡6¢¢¡¡

2

2

1

4

3

¡

3

¢

8

3

¡

3

¢

3

3

ch p8x = 1 +

¡

¢

¡

¢

+

¡24

¢

=

p8x 2 +

p8x 4

p8x

6 + o x3

¡

¢

2

24

¢

30

8x2

32x3

= 1 + 4x +

+

+ o¡x3

¢:

3

45

f(x) = ln µµ¡4x ¡ 8x33 + o¡x3¢¶ + 1 + 4x + 8x32 +

+3245x3 + o¡x3¢¡ 8x32 ¶=ln µ1¡ 8845x3 + o¡x3¢¶=¡8845x3+o¡x3¢;

x!0+0 g (x)		= x!0+0			x33 + o(x¡3)		¢		¡15
lim	f (x)	lim	¡	4588 x3 + o x3				=	88	:/

arctg ¡3 + x2¢ ¡ arctg (2 + cos x) •à¨¬¥à 3.8. • ©â¨ lim ln (1 + x) ¡ ex + 1 :

x!0

49

¤áâ ¢¨¬ §- ¬¥- ⥫ì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

2

¢:

. •à¥

x2

¡µ1 + x +

x2

+ o x2

¤® o¡x

g (x) = x¡

2 +o x2

2

¶+1 = ¡x2 +o x2

:

¡

¢

¡

¢

¡

¢

€à£ã¬¥-âë

àªâ -£¥-á ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¤à®¡¨ -¥ áâ६ïâáï

ª -ã«î ¯à¨ x ! 0. •à®¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 arctg

3 + x2

¢

¨

¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- ¤® o¡(x):

¡arctg ¡3 + x2¢¢0

2x

1

x

x

=

=

¢

=

+ o(x) :

1 + (3 + x2)2

5

1 +

3x

+

x2

5

5

10

x2

’®£¤ (á¬. á. 8) arctg ¡3 + x2¢ = arctg 3 +

+ o¡x2¢:

10

€- «®£¨ç-®

(arctg (2 + cos x))0 =

¡ sin x

=

1 + (2 + cos x)2

=

¡ sin x

=

¡x + o(x)

=

x

+o(x) :

5 + 4 cos x + cos2 x

5 + 4 + o(x) + 1 + o(x)

¡10

’®£¤

arctg (2 + cos x) = arctg 3 ¡

x2

+ o¡x2¢:

20

x2

2

arctg 3

x2

+ o x2

¶

=

x2

+o x2

:

10 +o x

¡

¡

f (x)=arctg 3+

¢

µ

x

2

20

¡

20

¡

¢

¡

2

1

¢

lim

f (x)

= lim

20 + o x

=

¡

:/

2

x

0

x 0

2

o(x )

20

! g (x)

! ¡x + ¡ ¢

arcsin

1

+ 1 x

arctg 1 + xp

2

³p2

2

•à¨¬¥à 3.9. • ©â¨

lim

´ ¡

:

(cos 2x)

ctg x

¡

2=5

¢

x

!

0

¡ (1 ¡ th 5x)

. •à¥¤áâ ¢¨¬ §- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¨ ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à

¤®

o¡x2

¢:

(2x)2

3

2

+ o x

3

2

3

:

ln cos 2x=lnÃ1¡

2

+ o x

!=ln 1¡2x

¢¢

=¡2x +o x

¡

¢

¡

¡

¡

¢

50

(cos 2x)ctg x = exp ½

ln cos 2x

¾ =

cos x ¢

sin x

¢¢

©

¡

¢ª

¡

¡

2

= exp (

(1 + o(x)) ¡2x2 + o x3

) = exp

¢

¡2x + o x

=

(x + o(x2))

= 1+¡¡2x +2=o5¡x

¢¢+ 2

¡¡2x +2o¡

2=¢¢5

¡

¡

¢

2

1

x2

2 = 1

2x+2x2 +o x2

:

(1 ¡ th 5x2

¡

¡

¡

2

3 ¢¢

=

2

2

o x2 =

) =

1

5x + o x

= 1 +

¡¡5x + o¡x ¢¢ ¡

¡¡5x + o¡x ¢¢ +

2¡ ¢

5

25

2

¢:

g (x) = 1 ¡ 2x + 2x2 + o x2

¡

= 1 ¡ 2x ¡ 3x + o¡x

¡

¡

1

¡

2¢¢

¡

¢¢

¡

¢

¡

¡

x

¡

3x2 + o x2

= 5x2 + o x2

:

•à¥¤áâ ¢¨¬ ç¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨

ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- ¤®

o x2

. „«ï í⮣® -¥®¡å®¤¨¬® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ®¡®¨å

á« £

¢¥¬ëå ¤® o(x):

¡

1

x

0

1

1

arcsin µp

+

¶

=

=

=

2

2

1

x

2

2 21

x

+ o(x)

2r1 ¡

³p

2

+ 2

´

q

¡ p2

1

1

µ1 +

x

+ o(x)¶:

=

= p

4p

p

1

px

+ o(x)

2

2

2

q

¡

2

2

¼

x

2

1

x

+

x

+ o x2

:

arcsin µp2 +

2 ¶ =

4 + p2

16

¢

€- «®£¨ç-®

¡

1

1

arctg³1+xp2´0 = p

³1¡p2x+ o(x)´:

1+p

x+ o(x)

= p

2

2

2

¡

¼

x ¢

x2

+ o x

2

:

arctg ³1 + xp2´ =

4 + p2 ¡

2

¢

¡

51

f (x) =

µ4

+ p2 +

16 + o x2

¶¡

¼

x

x2

¡

¢

2

¡

¢

2

¡ ¢

¼

x

2

x

x

¡ µ

+ p

¡

+ o x2

¶ =

9

+ o x2 :

4

2

16

2

x!0 g (x)

x!0 5x2

+ o¡(x2¢)

80

f (x)

9x

2

9

lim

= lim

=

:/

1

3.3. •à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¢¨¤ f (x)g(x)

‡ ¬¥ç -¨¥

19.

‚

¤ --®¬ à §¤¥«¥

¢®

¢á¥å ¯à¨¬¥à å ¬ë

¨á¯®«ì§ã¥¬ ®¡®§- ç¥-¨¥ f (x) ¤«ï ®á-®¢ -¨ï ¨

g (x) ¤«ï

¯®ª § ⥫ï á⥯¥-¨.

p

!

1

x4

•à¨¬¥à 3.10. • ©â¨

lim

1 ¡ x2

:

x!0

à cos x

. ’ ª

ª ª

§- ¬¥- ⥫ì

¯®ª § ⥫ï

¢ëà ¦¥-¨ï

¨¬¥¥â

ç¥â¢¥àâãî

á⥯¥-ì, â®

¯à¥¤áâ ¢¨¬

®á-®¢ -¨¥

ä®à¬ã«®©

Œ ª«®à¥-

¤® o x4

¢

(á¬. á. 13).

1

¡2

1 4

4

f (x) =

1 ¡ 2 x ¡

8 x + o x

=

1 ¡ 21 x2 +

1

x4 + o¡(x4¢)

24

x2

x4

x2

x4

= µ1 ¡

¡

+ o x4

¢

¶µ1 ¡ µ¡

+

+ o x4

¢

¶

+

2

8

2

24

¡

x2

2

¡

+ µ¡

+ o¡x2¢¶

+ o¡x4¢! =

2

x2

x4

x2

5x4

+ o x4

¶=1¡

x4

:

=µ1¡ 2 ¡

8 + o x4 ¶µ1 +

2

+ 24

¢

6 +o x4

¡

¢

¶

¡

¡

¢

4

1

1

x4

limf (x)g(x) = lim

x

4

= exp

+ o x

x!0

x!0 µ1 ¡ 6

¢

½¡6¾:/

¡

52