Пособие по формулам Тейлора
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2.2.3.ƒ¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¥ äã-ªæ¨¨ . . . . . . . . 22
2.2.4.’ਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ äã-ªæ¨¨ . . . . . . . 23
2.2.5.‘⥯¥-- ï äã-ªæ¨ï . . . . . . . . . . . . 24
2.2.6.„஡-®-à 樮- «ì- ï äã-ªæ¨ï . . . . . . 26
2.2.7.‹®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï äã-ªæ¨ï . . . . . . . . 27
2.3.•à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ä®à¬ã«®© ’¥©«®à .
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3
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37 |
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38 |
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3.3. |
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58 |
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61 |
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63 |
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66 |
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¯à¨ x ! x0.
„«ï ⮣® ç⮡ë äã-ªæ¨ï f (x) ¡ë« íª¢¨¢ «¥-â- äã-ªæ¨¨ g (x) ¯à¨ x ! x0, -¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç-®, çâ®¡ë ¨¬¥« ¬¥áâ®
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f (x) ¡ g (x) = o(g (x)) |
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x0)n) ¯à¨ |
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5
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|
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(2) |
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|
|
|
C ¢ o(f) = o(f) ; |
|
|
(3) |
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|
|
|
|
o(f) + o(f) = o(f) ; |
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
o(o(f)) = o(f) ; |
|
|
(5) |
|||
|
|
|
|
o(f + o(f)) = o(f) ; |
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
o(f) ¢ o(g) = o(fg) ; |
|
|
(7) |
|||
|
|
|
|
fn¡1 o(f) = o(fn) ; |
|
|
(8) |
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fn) |
|
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o( |
|
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= o¡fn¡1¢; |
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(9) |
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= o(f ) ; ® > 0: |
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(7) |
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«î¡®£® í«¥¬¥-â |
® (x) |
¨§ ª« áá |
äã-ªæ¨© o(f) |
¨ ¯ (x) ¨§ ª« áá äã-ªæ¨© o(g) ï¥âáï í«¥¬¥-⮬ ª« áá
äã-ªæ¨© o(fg).
‡ ¬¥ç -¨¥ 2. •à¨¢¥¤¥--ë¥ ä®à¬ã«ë á«¥¤ã¥â ç¨â âì ⮫쪮 á«¥¢ - ¯à ¢®, ãç¨âë¢ ï, çâ® ¢ «¥¢ëå ç áâïå 㪠§ - ª®-ªà¥â-ë© ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ì ª« áá , ¢ ¯à ¢ëå | ª« áá äã-ªæ¨©. •¥ª®â®àë¥ ¨§ 㪠§ --ëå ä®à¬ã« -¥¢¥à-ë ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ -¨¨ ¨å á¯à ¢ - «¥¢®.
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|
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|
|
|
|
|
(x ¡ x0) + : : : + |
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|
|
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|
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(x ¡ x0)k + o((x ¡ x0)n) ¯à¨ x ! x0: (11) |
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f(k) (x ) |
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X |
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|
|
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äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ â®çª¥ x0. |
”ã-ªæ¨ï rn (x) = f (x)¡Pn (x), £¤¥ rn (x) = o((x ¡ x0)n) ¯à¨ x ! x0, - §ë¢ ¥âáï ®áâ â®ç-ë¬ ç«¥-®¬ n-£® ¯®à浪 ä®à¬ã«ë
’¥©«®à .
”®à¬ã« (11) - §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ’¥©«®à n-£® ¯®à浪
¤«ï äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0 á ®áâ â®ç-ë¬ ç«¥-®¬ ¢ ä®à¬¥ •¥ -®.
1.3.2. ”®à¬ã« ’¥©«®à á ®áâ â®ç-ë¬ ç«¥-®¬ ¢ ä®à¬¥ ‹ £à -¦
…᫨ äã-ªæ¨ï f (x) ¨¬¥¥â ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨
x0 ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¤® (n + 1)-£® ¯®à浪 ¢ª«îç¨â¥«ì-®, â® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ x ¨§ í⮩ ®ªà¥áâ-®á⨠- ©¤¥âáï â®çª », «¥¦ é ï
¬¥¦¤ã x ¨ x0 (x < » < x0 ¨«¨ x0 < » < x), ¨ â ª ï, çâ®
7
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f(n+1) (») |
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(x ¡ x0)k + |
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(x ¡ x0)n+1 : (12) |
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(n + 1) ! |
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(12) - §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ’¥©«®à á ®áâ â®ç-ë¬ |
||||||
|
|
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(n+1) |
|
|
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ç«¥-®¬ rn (x) = f |
(n+1)!(») (x ¡ x0)n+1 ¢ ä®à¬¥ ‹ £à -¦ . |
1.3.3.’¥®à¥¬ ¥¤¨-á⢥--®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ä®à¬ã«®© ’¥©«®à
•ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â fn (x0). ’®£¤ |
äã-ªæ¨ï f (x) ¥¤¨-á⢥--ë¬ |
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®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ |
¢ ¢¨¤¥ |
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|
|
|
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x ! x0; |
(13) |
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|
|
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|
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X |
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|
|
|
|
|
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¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï |
(13) |
®¯а¥¤¥«повбп |
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ä®à¬ã« ¬¨ ak = |
f(k)(x0) |
; |
k = 0; 1; : : : ; n: |
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k! |
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Œ ª«®à¥- |
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|
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…᫨ x0 = 0, â® ä®à¬ã« |
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’¥©«®à |
¯à¨-¨¬ ¥â ¢¨¤ |
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X |
f(k) (0) |
k |
n |
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n |
|
|
|
|||||||
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f (x) = |
|
|
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k! |
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x + o(x ) |
¯à¨ x ! 0 |
(14) |
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|
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k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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¨ - §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- . |
||||||
•à¨¢¥¤¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- ®á-®¢-ëå |
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|
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|
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xn |
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n! |
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|
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X |
|
|
|
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ex = |
k! |
+ o(xn) ¯à¨ x ! 0: (15) |
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|
|
|
|
k=0 |
|
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ch x = 1 + |
x2 |
|
|
+ |
x4 |
|
|
+ : : : + |
|
x2n |
|
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+ o x2n+1 |
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
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2! |
|
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4! |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
ch x = |
|
|
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+ o x2n+1 |
|
|
¯à¨ |
x ! 0: (16) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
(2k)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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¡ |
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¢ |
|
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|
|
|
|
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X |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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sh x = x + |
x3 |
|
+ |
x5 |
|
+ : : : + |
|
x2n+1 |
+ o x2n+2 |
|
¨«¨ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2n + 1)! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
x2k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
sh x = |
|
|
+ o x2n+2 |
|
|
¯à¨ |
x ! 0: (17) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2k + 1)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x4 |
¡ : : : + (¡1)n |
x2n |
|
|
|
|
|
¢ |
¨«¨ |
||||||||||||||||
cos x = 1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
+ o x2n+1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
4! |
(2n)! |
||||||||||||||||||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
k x2k |
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|||||||||
cos x = |
(¡1) |
|
+ o x |
|
|
¯à¨ |
x ! 0: (18) |
||||||||||||||||||||||||||
(2k)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
x5 |
|
: : : + ( 1)n |
x2n+1 |
|
+ o x2n+2 |
¢ ¨«¨ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3!n+ 5! ¡ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
sin x = x ¡ |
|
2k+1¡ |
|
|
(2n + 1)! |
|
|
¡ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = |
(¡1) |
|
|
+ o x |
|
|
¯à¨ |
x ! 0: (19) |
|||||||||||||||||||||||||
(2k + 1)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x)® = 1 + ®x + |
® (® ¡ 1) |
x2 + |
|
® (® ¡ 1) (® ¡ 2) |
x3 |
+ : : : + |
||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
||
|
|
+ |
® (® ¡ 1) : : : (® ¡ (n ¡ 1)) |
xn + o(xn) |
¨«¨ |
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
|
|
|
|
x ! 0; ® 2= N; ® 6= 0; |
|
||||
(1 + x)® = |
C®kxk + o(xn) ; ¯à¨ |
|
(20) |
||||||||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£¤¥ C0 = 1; Ck |
= |
®(®¡1):::(®¡(k¡1)) ; k = 1; 2; : : : ; ¢ ç áâ-®áâ¨, |
|||||||||||
® |
® |
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
X |
(¡1)k xk + o(xn) |
¯à¨ |
x ! |
0; |
(21) |
||||||
|
|
||||||||||||
|
1 + x |
k=0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
¡ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
= |
|
|
xk |
+ o(xn) |
|
|
¯à¨ |
|
|
x |
! |
0: |
(22) |
||||||||||
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
n¡1 xn |
|
n |
¨«¨ |
|
|||||
|
ln (1 + x) = x ¡ |
2 |
+ |
|
3 |
¡ : : : + (¡1) |
|
n |
+ o(x ) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ln (1 + x) = |
|
|
|
|
(¡1)k¡1 |
|
k |
+ o(xn) ¯à¨ |
x ! 0; |
(23) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ln (1 ¡ x) = |
|
X |
|
|
|
|
|
+ o(xn) |
|
|
¯à¨ |
|
|
|
0: |
(24) |
||||||||
|
¡ |
|
|
|
k |
|
|
|
|
x |
! |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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¯à¥¤áâ ¢«¥-¨© |
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ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
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|
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¥¥ ä®à¬ã« |
Œ ª«®à¥- ¯à¨¬¥â ¢¨¤ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
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(2k) (0) |
|
2k |
¡ |
2n+1 |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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n f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f (x) |
= |
|
(2k) ! |
|
|
x |
+ o x |
|
|
¯à¨ |
x |
! 0: |
(25) |
||||||||||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•ãáâì f (x) | -¥ç¥â- ï äã-ªæ¨ï ¨ áãé¥áâ¢ã¥â f(2n+2) (0), ⮣¤ ¥¥ ä®à¬ã« Œ ª«®à¥- ¯à¨¬¥â ¢¨¤
X |
f(2k+1) (0) 2k+1 |
¡ |
2n+2 |
¢ |
|
|
n |
|
|
|
|||
f (x) = |
(2k + 1) ! |
x |
+ o x |
|
¯à¨ |
x ! 0: (26) |
k=0 |
|
|
|
|
|
|
‡ ¬¥ç -¨¥ 3. •®à冷ª ®-¬ «®£® ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ïå (25) ¨ |
||||||
(26) - ¥¤¨-¨æã ¢ëè¥ á⥯¥-¨ ¯®á«¥¤-¥£® ç«¥- |
¬-®£®ç«¥- , |
|||||
â ª ª ª ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ïå |
á« £ ¥¬®¥, á«¥¤ãî饥 § |
|||||
áâ à襩 á⥯¥-ìî ¬-®£®ç«¥- |
’¥©«®à , à ¢-® -ã«î. |
10
1.4.Ž¯¥à 樨 - ¤ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï¬¨ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-
‡ ¬¥ç -¨¥ |
4. |
€à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¥ |
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¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï¬¨ ä®à¬ã«®© ’¥©«®à |
¢ ®ªà¥áâ-®á⨠|
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||||||
x0 ¢ë¯®«-ïîâ |
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Œ ª«®à¥- . |
‚ ¦-®, |
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çâ® à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¥ |
®¯¥à 樨 |
¯à¨¬¥-¨¬ë ⮫쪮 ª |
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¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï¬ |
ä®à¬ã«®© ’¥©«®à |
¢ ®ªà¥áâ-®á⨠|
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|
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¯à¥¤áâ ¢«¥-¨© |
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Œ ª«®à¥- |
®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯ã⥬ |
|||||
¢ë¯®«-¥-¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¯¥à 権 - ¤ ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨ |
||||||||
¯à¨ ®¤¨-nª®¢ëå á⥯¥-ïå. …᫨ |
n |
|
|
|
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X |
|
|
|
n |
X |
|
|
|
f (x) = |
akxk |
+ o(xn) ; g (x) = |
bkxk + o(xn) ; x ! 0; â® |
|||||
k=0 |
|
|
|
X |
k=0 |
|
|
|
1) f (x) § g (x) = |
|
|
|
|
||||
(ak § bk)xk + o(xn) ; x ! 0; |
||||||||
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
k |
|
|
|
X |
|
|
|
|
X |
aibk¡i: |
2) f (x) g (x) = |
|
ckxk + o(xn) ; x ! 0; £¤¥ ck = |
||||||
|
|
k=0 |
|
|
|
|
i=0 |
|
‡ ¬¥ç -¨¥ 5. “¬-®¦¥-¨¥ ¨ ¢®§¢¥¤¥-¨¥ ¢ á⥯¥-ì ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨© ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯® áâ -¤ àâ-ë¬ ä®à¬ã« ¬ ã¬-®¦¥-¨ï ¨ ¢®§¢¥¤¥-¨ï ¢ á⥯¥-ì ¬-®£®ç«¥-®¢, -® á ãç¥â®¬ ¯à ¢¨« ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¢ëà ¦¥-¨©, ᮤ¥à¦ é¨å ®-¬ «®¥ ((2) | (10), á. 6).
•à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- á«®¦-®© |
äã-ªæ¨¨ |
F (x) = f (' (x)) ¤® o(xn), £¤¥ ' (x) = o(1) ¯à¨ x ! 0, ¯®«ãç ¥¬ |
|
á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: |
¤® o(xn); |
1) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ äã-ªæ¨î ' (x) ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
|
2) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ äã-ªæ¨î f (y) ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
¤® o(yn); |
3) § ¬¥-塞 y ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
äã-ªæ¨¨ |
' (x); |
|
11
4)à áªàë¢ ¥¬ ᪮¡ª¨, á®åà -ïï ç«¥-ë á⥯¥-¨ -¥ ¢ëè¥ n.
‚ç áâ-®áâ¨, ¥á«¨ ' (x) = Axm, m 2 N, f (y) = Pn akyk +
k=0
+ o(yn), â®
F (x) = f (Axm) = Xn Akakxmk + o(xmn) ; x ! 0:
k=0
•à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ä®à¬ã«®© |
Œ ª«®à¥- |
ç áâ-®£® |
¤¢ãå |
|||
äã-ªæ¨© |
¯®«ãç î⠨ᯮ«ì§ãï |
|
¯à ¢¨«® |
¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï |
||
á«®¦-®© |
äã-ªæ¨¨. •ãáâì f (x) |
|
= |
®(x) |
= ® (x) ¢ |
1 |
|
1+¯(x) |
1+¯(x) , |
£¤¥ ¯ (x) ! 0. ‚â®à®© ¬-®¦¨â¥«ì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®©
Œ ª«®à¥- |
¯® ¯à ¢¨«ã ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï á«®¦-®© äã-ªæ¨¨ ¤«ï |
|||||
¢-¥è-¥© äã-ªæ¨¨ 1 |
|
|
|
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ᮬ-®¦¨â¥«¥©. |
1+y . ‡ ⥬ ¯¥à¥¬-®¦ ¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï |
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|
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„«ï ¯®«ãç¥-¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ç áâ-®£® |
¤¢ãå |
äã-ªæ¨© |
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ä®à¬ã«®© |
Œ ª«®à¥- |
¨á¯®«ì§ã¥âáï |
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-¥®¯à¥¤¥«¥--ëå ª®íää¨æ¨¥-⮢. |
|
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g (x) |
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•ãáâì f (x) = |
g(x) |
|
|
|
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|
|
h(x) ¨ ¨§¢¥áâ-ë ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï äã-ªæ¨© |
|
¨ h (x) ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- , â® ®â à ¢¥-á⢠f (x) h (x) = g (x)
¯¥à¥å®¤¨¬ ª |
à ¢¥-áâ¢ã |
ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å |
¯à¥¤áâ ¢«¥-¨© |
|
ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- , ¯à¨ç¥¬ ¤«ï |
äã-ªæ¨¨ f (x) ¡¥à¥¬ |
|||
¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ |
á -¥®¯à¥¤¥«¥--묨 |
ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨. ‚ |
||
«¥¢®© ç á⨠|
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¯à ¢¨«ã ã¬-®¦¥-¨ï |
|
¯à¥¤áâ ¢«¥-¨© ¨ ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢-¥-¨©. •à¨à ¢-¨¢ ¥¬ |
||||
ª®íää¨æ¨¥-âë ¯à¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å á⥯¥-ïå ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨© |
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¢ «¥¢®© ¨ ¯а ¢®© з бвпе. •¥и¥-¨п б¨бв¥¬л п¢«повбп |
||||
ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨ ¨áª®¬®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï äã-ªæ¨¨ f (x). |
||||
‘¢ï§ì ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨© ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
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¯à®¨§¢®¤-®©. |
|
|
|
|
•ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â f(n+1)(0) ¨ ¨§¢¥áâ-®, çâ® |
|
12