Zadanie-2_2011
.pdfСправочные формулы и задания весеннего семестра по курсу " Введение в механику сплошных сред" 2 курс ФАКИ
Составители: член-корр. РАН, проф. Э.Е.Сон, доц. Э.Н.Вознесенский, доц. В.А. Сеченов , ст.преп. К.Э.Сон
Москва 2011
Содержание
1Справочные формулы
1.1Единицы измерения . . . . .
1.2Несжимаемые жидкость или
газ при M2 1 . . . . . . .
1.3Газовая динамика (сжимаемый газ) . . . . . . . . . . . .
1.3.1Адиабатические течения газа . . . . . . . .
1.3.2Газодинамические функции изэнтропического потока . . . .
1.3.3Течения в каналах переменного сечения . .
|
|
1.8 Вязкопластические течения |
10 |
1 |
2 |
Задание 2 |
11 |
1 |
3 |
Литература |
15 |
|
|||
2 |
|
|
|
Введение
2
Задания состоят из нескольких вариантов.
2Студенты, сдавшие задания и лабораторный практикум, допускаются к дифферен-
цированному зачету.
3
4 1 Справочные формулы
1.3.4Форма сверхзвуково- го сопла . . . . . . . . 4 Все приводимые ниже формулы получены
1.3.5 |
Течения с теплоподво- |
|
|
|
дом . . . . . . . . . . |
5 |
|
1.3.6 |
Сила тяги реактивно- |
|
|
|
го двигателя . . . . . |
5 |
|
1.3.7 |
Течение |
сжимаемого |
|
|
газа с |
трением на |
|
|
стенках канала . . . . |
5 |
|
1.3.8 |
Простые волны Римана |
5 |
|
1.3.9 |
Ударные волны . . . . |
6 |
|
1.3.10 |
Наклонные ударные |
|
|
|
волны . . . . . . . . . |
7 |
|
1.3.11 |
Течение |
Прандтля- |
|
|
Майера (ПМ) . . . . . |
8 |
|
1.4 Динамика вязкой жидкости |
8 |
||
1.4.1 |
Течение в трубе . . . |
8 |
1.5Критерии подобия, автомо-
|
дельность . . . . . . . . . . . |
9 |
1.6 |
Устойчивость течений . . . . |
9 |
1.7 |
Турбулентность . . . . . . . |
10 |
в лекциях [1].
1.1Единицы измерения
•Газовая постоянная для газа с молярной массой m[кг/кмоль]
R = Rунив m
• Газовая постоянная воздуха
R = |
Rунив |
= |
8314 |
= 287 |
Дж |
m |
29 |
кг · K |
Единицы измерения давления
•1 бар = 105 Па
•1 атм = 101325 Па
•1 мм.рт.ст.=33.3 Па.
1
|
• 1 |
psi=1 |
|
|
|
|
|
|
pound/square |
inch |
1.3 |
Газовая динамика (сжимаемый |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(фунт/кв.дюйм) = 6895 Па. |
|
|
газ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Коэффициент |
|
вязкости |
воздуха |
1.3.1 |
Адиабатические течения газа |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
при нормальных условиях (T1 = 273 K, |
Скорость звука в среде (газ, жидкость, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p=1атм) |
η1 = |
17.5 · |
10−6 Пуаз, |
Пуаз = |
твердое тело) определяется формулой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Н · c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
м·с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Зависимость |
|
|
коэффициента |
вязкости |
|
|
2 |
|
|
∂p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
воздуха от температуры (формула Сазер- |
|
a |
|
= ( |
|
|
)S |
= √k |
|
= |
|
√kRT |
(5) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ρ |
ρ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ленда): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость |
|
звука в |
газе |
при |
нормальных |
||||||||||||||||||
|
|
η = η1 (T1 ) |
|
|
|
|
( T1 + 110.4K ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
aвозд |
= √1.4 · 287 · 300 = 347 м/c. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
3=2 |
|
T + 110.4K |
условиях (300 K) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Параметры |
воздуха для стандартной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Скорость звука в воде составляет около |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
атмосферы приведены в таблице 1. |
1500 м/c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Движение газа |
определяется |
числом |
|||||||||||||||||||
1.2 Несжимаемые жидкость или газ |
Маха |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
при M2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||
Для течений жидкости или газа при малых |
При M < 1 течение является дозвуковым, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числах Маха (M < 0.3) плотность можно |
при M > 1 – сверхзвуковым. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
считать постоянной ρ = const, в этом слу- |
В стационарном случае для адиабати- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чае уравнение непрерывности имеет вид |
ческого течения сжимаемого газа имеет ме- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
· v = 0, |
|
сто уравнение Бернулли или сохранение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1) |
" полной энтальпии" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
где v(u, v, w) - вектор скорости, а вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h + |
2 |
= h0. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
( |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
) . |
|
Энтальпия совершенного газа |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂y |
∂z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = cpT = |
|
|
a2 |
. |
|
(8) |
|||||||||||
В компонентах уравнение непрерывности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k − 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорости звука в критическом сечении |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂u |
+ |
∂v |
|
|
+ |
|
∂w |
= 0, |
(2) |
и состоянии торможения связаны соотно- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
шением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для квазиодномерного течения газа в канале переменного сечения с площадью A(x) для несжимаемого течения уравнение непрерывности имеет вид
u(x)A(x) = const. |
(3) |
Для стационарного течения несжимаемой жидкости имеет место интеграл Бернулли
ρu2 |
(4) |
||
|
+ p + ρgz = const. |
||
2 |
|||
|
|
2 |
|
|
a = √k + 1a0 |
= 0.833 a0 |
при k=1.4. (9) |
Скорость звука и скорость потока связаны соотношением
(a0 ) |
|
+ |
(umax ) |
= 1, |
(10) |
||
|
a |
2 |
|
|
u |
2 |
|
где максимальная скорость газа
|
√ |
|
|
|
|
|
umax = a0 |
|
2 |
. |
(11) |
||
|
||||||
|
|
|
k − 1 |
|
2
|
o |
|
кг |
|
3 |
Дж |
|
Вт |
|
|
6 |
м2 |
|
cp |
|||
t |
|
; C |
,м3 |
cp · 10− |
|
,кг·K |
, |
|
|
· 10 |
|
, |
с |
P r = |
|
|
|
|
|
м·K |
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
999.8 |
4.218 |
0.559 |
|
1.789 |
|
13.49 |
|
|||||||
|
10 |
999.6 |
4.193 |
0.579 |
|
1.306 |
|
9.43 |
|
|
|||||||
|
20 |
998.2 |
4.192 |
0.598 |
|
1.006 |
|
7.02 |
|
|
|||||||
|
30 |
995.6 |
4.178 |
0.613 |
|
0.805 |
|
5.47 |
|
|
|||||||
|
40 |
992.2 |
4.179 |
0.627 |
|
0.659 |
|
4.35 |
|
|
|||||||
|
50 |
988.0 |
4.181 |
0.640 |
|
0.556 |
|
3.59 |
|
|
|||||||
|
60 |
983.2 |
4.184 |
0.650 |
|
0.478 |
|
3.02 |
|
|
Таблица 1: Физические свойства воды (температура, плотность, удельная теплоемкость, теплопроводность, кинематическая вязкость и число Прандтля)
В газовой динамике кроме числа Маха M вводится коэффициент скорости λ:
λ = |
u |
, |
(12) |
|
|||
|
a |
|
где a обозначена критическая скорость звука.
Связь между числом Маха и коэффициентом скорости λ:
|
1 |
|
= |
k + 1 |
|
|
k − 1 |
. |
(13) |
|||||||||
|
|
M2 |
2λ2 − |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
= |
|
|
2 |
|
|
|
+ |
1 |
, |
(14) |
|||||
2 |
|
|
(k + 1)M |
2 |
|
2 |
||||||||||||
|
λ |
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
k + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
γ |
2 = |
. |
|
|
|
(15) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k − 1 |
|
|
|
|
Для двухатомного газа и воздуха k = 1.4,
γ2 = 6.
Газодинамический напор может быть выражен через давление и число Маха
2 |
= kp ( |
2 |
) |
, |
(16) |
|
ρu2 |
|
M |
2 |
|
|
|
Число Маха можно выразить через давление
|
k |
|
1 |
|
( p ) |
k−k 1 |
− |
1 |
|
|
|
M2 = |
|
2 |
|
|
p0 |
|
, |
(17) |
|||
|
− |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в результате газодинамический напор выражается через отношение давлений
2 |
|
k 1 |
|
|
( p ) |
k−k 1 |
− |
1 . |
|
|
ρu2 |
= |
k |
p |
|
p0 |
|
(18) |
|||
|
− |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.2Газодинамические функции изэнтропического потока
Для одномерного потока текущие значения параметров можно относить к параметрам заторможенного потока (u = 0, p = p0, T = T0, ρ = ρ0, a = a0) или к параметрам сечения, в котором достигается скорость звука (u = a , p = p , T = T , ρ = ρ , a = a ).
T0 |
= 1 + |
u2 |
= 1 + |
k − 1 |
M2 |
. (19) |
|
2cpT |
|
||||
T |
|
2 |
|
|
Газодинамические функции изэнтропического потока определяются отношениями параметров в данном сечении к параметрам торможения:
|
|
|
T |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
λ2 |
(20) |
||||||
τ = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 1 |
|
. |
|
|||||||||||||
T0 |
1 + k−2 |
1 M2 |
γ2 |
||||||||||||||||||||||
π = p = |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
kk 1 |
= |
(1 − γ2 ) |
. |
|||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
k |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
||||||||
0 |
|
|
|
(1 + |
−2 M2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− |
|
(1 − γ2 ) |
(21) |
|||||||||||||||||||
ε = ρ = |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
k1 1 |
= |
. |
|||||||||||||||
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
||||||||
|
|
|
(1 + |
−2 |
M2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
Сжимаемость газа определяется параметром M2, поэтому при M2 1 газ является несжимаемым.
3
Рис. 1: Параметры воздуха для стандартной атмосферы
1.3.3Течения в каналах переменного сече- Функция безразмерного расхода на едини-
ния
Ускорение потока в канале переменного сечения
1 du |
= |
1 1 dA |
(23) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u dx |
M2 − 1 A dx |
|||||||||
|
|
Если канал расширяется, то дозвуковой поток тормозится, такое устройство называется дозвуковым диффузором, а сверхзвуковой поток ускоряется, это
сверхзвуковое сопло. Для сужающегося канала дозвуковой поток разгоняется, такое устройство называется дозвуковым соплом, а сверхзвуковой поток тормозится, это сверхзвуковой диффузор.
Для канала переменного сечения A(x) сохраняется массовый расход
G = ρ(x)u(x)A(x) = ρ a A . |
(24) |
и полный импульс
[]
J = p(x) + ρ(x)u2(x) A(x) = (p +ρ a2)A .
цу площади |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(λ) = |
ρu |
= |
ρ u ρ0 |
= |
λε(λ) |
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ρ0 a ρ |
|
||||||||
|
ρ a |
|
ε(1) |
|
() 1
|
|
|
|
|
|
= |
k + 1 k−1 |
λε(λ). |
(25) |
||
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1.3.4Форма сверхзвукового сопла
Массовый расход через сопло
G = ρuA = ρ a Aq(λ) =
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ρ0 |
kRT0 |
k + |
1 |
Aq(λ) = const, (26) |
|||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
ρ a |
|
|
= ρ a |
ε(1) |
a0 |
= |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k + 1 |
. |
||||
|
|
= ρ0 |
|
kRT0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
2 |
|
|
|
4
|
|
M < 1 |
M>1 |
поток |
|
торможение |
ускорение |
→ |
|
du < 0 |
du > 0 |
|
dA > 0 |
dp > 0 |
dp < 0 |
|
|
дозвуковое сопло |
сверхзвуковой диффузор |
поток |
dA > 0 |
du > 0 |
du < 0 |
→ |
|
dp < 0 |
dp > 0 |
|
|
дозвуковой диффузор |
сверхзвуковое сопло |
1.3.5 Течения с теплоподводом |
|
Уравнение осредненного движения газа в |
|||||||||||||||
Полный импульс газа в канале переменного |
трубе c учетом трения о стенки канала |
||||||||||||||||
сечения |
|
|
|
|
|
du |
|
dp |
4f ρu2 |
(31) |
|||||||
|
k − 1 |
|
|
(27) |
ρu |
|
= |
− |
|
− |
|
|
|
. |
|||
J = |
Ga |
z(λ). |
dx |
dx |
D |
2 |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
2k |
|
|
|
|
Для течения сжимаемого газа коэффици- |
|||||||||||
где функция |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ент трения является функцией числа Маха, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z(λ) = λ + |
1 |
. |
(28) |
числа Рейнольдса и качества канала (шеро- |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
λ |
|
ховатости стенок) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для задачи с подводом или отводом |
f = f(M, Re, ε). |
|
тепла к трубе с переменным сечением. |
||
|
J1 = J2, |
G1 = G2, |
отсюда следует
√√
T01z(λ1) = T02z(λ2),
λ2 = f(λ1).
При известных значениях M и dM/dx коэффициент трения может быть рассчитан по формуле
4f |
= |
|
1 − M2 |
|
dM2 |
. |
(32) |
|||
|
|
(1 + |
|
M2) |
|
|||||
D |
|
kM4 |
k−2 |
1 |
|
dx |
||||
|
|
1.3.8 Простые волны Римана
1.3.6Сила тяги реактивного двигателя
Одномерные нестационарные течения сжи-
маемого газа описываются уравнениями R = Gвозд(u − U) + Ggu + (p − pa)A. (29) непрерывности
1.3.7Течение сжимаемого газа с трением на стенках канала
Сила трения на стенках для отрезка трубы диаметром D и длиной x
F = τwπD x.
F = 4f ρu2 . A x D 2
Коэффициент трения определяется отношением напряжения трения к газодинамическому напору потока
f = |
τw |
(30) |
|
ρu2/2 |
|||
|
|
|
|
∂ρ |
+ ρ |
∂u |
+ |
|
∂ρ |
|
= 0 |
(33) |
|||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|||||||||
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|||||||
и движения (уравнения Эйлера) |
|
||||||||||||||
|
∂u |
|
+ u |
∂u |
|
+ |
1 ∂p |
= 0 |
(34) |
||||||
|
∂t |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ρ ∂x |
|
Уравнение адиабаты p/p0 = (ρ/ρ0)k связывает давление и плотность. Из уравнений (33) и (34) следуют уравнения
∂J+ |
∂J+ |
(35) |
||||
|
|
+ (u + a) |
|
= 0, |
||
|
|
∂x |
||||
∂t |
|
|
|
|||
∂J− |
∂J− |
(36) |
||||
|
+ (u − a) |
|
|
= 0, |
||
∂t |
∂x |
|
5
где инварианты Римана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол наклона линии, проходящей через |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
точки до и после ударной волны на плос- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
J± = u ± |
|
|
|
. |
|
|
(37) |
кости (p, v) выражается через поток массы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
− |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вдоль характеристик |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через разрыв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j2 = |
|
|
|
|
[p] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 − p1 |
|
|
|
|
(47) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
C+ : |
|
|
dx |
= u + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[v] |
|
|
|
|
|
|
−v2 − v1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение изменения энтальпии до и после |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сохраняются инварианты J+, аналогично, |
ударной волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
вдоль характеристик |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 − h1 = |
1 |
(p2 |
− p1)(v2 + v1). |
(48) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C− : |
|
|
dx |
= u − a |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ударная адиабату для совершенного газа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сохраняются инварианты J−. |
|
(адиабата Гюгонио) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1.3.9 Ударные волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
= |
|
|
γ2ε − 1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
(49) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
γ2 − ε |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
В системе координат, связанной с фронтом |
где γ2 = (k + 1)/(k − 1), ε = ρ2/ρ1 = v1/v2 - |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ударной волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степень сжатия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
j = ρu = const, |
|
|
|
(38) |
ли |
Ударная волна называется сильной, ес- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[p] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
J = p + ρu2 = const, |
(39) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
h0 = h + |
= const. |
(40) |
противоположном случае она называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слабой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В лабораторной системе координат: |
|
|
|
Связь с параметрами торможения |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[ρ(u − D)] = 0, |
|
|
|
(41) |
|
|
p1 |
= |
p0 |
− |
k − 1 |
|
u12 |
|
|
= RT0 |
|
− |
k − 1 |
|
|
u12 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ρ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[p + ρ(u − D)2] = 0, |
(42) |
|
|
ρ1 |
|
|
|
2k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1u2 = a2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(50) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[h + |
( |
u |
|
|
|
|
D |
2 |
] = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
− |
) |
|
|
(43) |
Связь коэффициентов скорости до и после |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Скорость фронта ударной волны в газе, |
ударной волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(51) |
||||||||||||||||||||||
движущемся со скоростью u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1λ2 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D = u2 ± a2, |
|
|
|
(44) |
Увеличение |
статического |
|
|
давления |
за |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ударной волной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где скорость распространения возмущений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(52) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a2 = v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
M12 − |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
k + 1 |
γ2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(p1 − p2) ρ1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
u(ρ1 |
|
|
|
|
ρ2) ρ2 |
|
или через коэффициент скорости |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При распространении ударной волны по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
= λ2 |
γ |
|
|
− λ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
(53) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ2 − λ−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неподвижному газу |
|
|
(u2 |
= 0) |
скорость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
фронта ударной волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Степень сжатия в ударной волне |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D = √ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(46) |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= λ12 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 . |
(54) |
||||||||||||||||||||||||||
ρ |
|
|
− ρ |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
p2 |
ρ1 |
|
|
|
|
|
ρ2 |
|
|
u1 |
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k + 1)M2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − 2 2 |
|
|
|
|
|
ρ1 |
|
|
u2 |
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + (k − 1)M1 |
|
6
Нагрев газа за ударной волной
T2 |
= 1 + |
2 |
(kM12 + 1)(M12 − 1). |
(55) |
|
T |
1 |
γ2M2 |
|||
|
|
1 |
|
|
Потери полного давления в ударной волне
p02 |
|
|
γ2 |
λ2 |
1 |
|
|
||
|
|
k−1 |
|
||||||
|
= λ2 |
( |
γ2 |
|
− |
) |
. |
(56) |
|
p01 |
|
λ−2 |
|||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
Формула Релея для определения скорости сверхзвукового потока
p |
|
|
( |
k + 1 |
) |
|
M2 |
( |
− 2kM2 ) |
1 |
|
||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
k − 1 |
|
|
||||
p1 = |
2 |
k |
k−1 |
1 |
|
k−1 |
. |
||||||||
|
02 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
(57) Изменение энтропии при переходе через слабую ударную волну (теорема ЖугеЦемплена)
s = 12 |
(∂p2 ) |
( p)3 ≥ 0. (58) |
||||
1 |
|
|
∂2v |
|
||
|
|
|
|
|
|
s |
1.3.10Наклонные ударные волны
Изменение нормальных компонент при прохождении через наклонную ударную волну
|
un = u sin α, |
u = u cos α, |
|
||||||||||
un′ |
= u′ sin β, |
u′ |
= u cos β. |
|
|||||||||
Для касательных компонент |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
u = u′ |
|
|
|
|
|
|||
Законы сохранения |
для нормальных |
||||||||||||
компонент |
|
|
ρun = ρ′un′ , |
(59) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
p + ρun2 = p′ + ρ′un′2, |
(60) |
||||||||||
|
|
cpT + |
u2 |
= cpT |
′ + |
u′2 |
, |
(61) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
соотношения на скачке |
|
||||||||||||
|
p′ − p |
= unu′ |
, λnλ′ = 1, |
|
|||||||||
|
ρ′ |
− ρ |
n |
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p′ − p |
= k |
p′ |
+ p |
. |
(62) |
|||||
|
|
|
ρ′ − ρ |
ρ′ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
+ ρ |
|
Увеличение давления за ударной волной
|
|
|
|
|
|
|
p′ |
|
|
2k |
|
|
M2 sin2 α − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(63) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
k + 1 |
γ2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Степень сжатия в ударной волне |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ′ |
|
|
(k + 1)M2 sin2 α |
|
|
|
|
|
|
|
(64) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + (k − 1)M2 sin2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
α |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
нагрев газа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
T ′ |
= 1 + |
k − 1 |
M2 sin2 |
|
|
|
|
ρ |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
(ρ |
) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||
падение статического давления |
|
|
|
|
|
|
|
(65) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(66) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 |
= p |
(γ2 |
|
−1/λ2 ) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p′ |
|
|
|
p′ |
|
|
|
|
γ |
2 |
|
λn2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Скорость за ударной волной |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
λ′2 = λ2 cos2 α + |
(1 − λ2 cos2 α/γ2)2 |
. |
(67) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 sin2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нагрев газа за косым скачком |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
T |
′ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(kM2 sin2 α+1)(M2 sin2 α−1). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
= 1+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
T |
|
γ2M2 sin2 α |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Угол поворота скачка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(68) |
||||||||||||||||||||
|
|
1)M2 sin2 α) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
γ2 tg β = tg α (1 + (k |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−
(69) Связь угла наклона ударной волны и угла наклона клина
2 ctg α(M2 sin2 α − 1)
tg ϑ = M2(k + cos 2α) + 2 . (70)
Это уравнение может быть преобразовано к уравнению третьего порядка относительно (вывести и проверить)
|
|
at3 + bt2 + ct + 2 |
= 0, |
|
|
(71) |
|||
где |
t = tg α |
, |
a = tg ϑ[(k |
− |
1)M2 + 2] |
, |
b = |
||
2 |
|
|
2 |
|
|
||||
−2(M |
−1), c = 2 tg ϑ[(k + 1)M |
+ 2]. Реше- |
ние этого уравнения может быть построено графически и найдено по формулам Кардано, решая которое, можно найти условия, когда решение является двузначным, вырождается в однозначное (соответствует образованию отошедшей ударной волны) и не имеет решения.
7
1.3.11Течение Прандтля-Майера (ПМ)
M1>1 |
Vr |
|
|
δ1 |
r Vj |
M>1 |
M0=1
|
|
а |
)$ |
*нк |
δ0 |
|
||
$и%ная |
|
|
!ик
Рис. 2: Течение Прандтля-Майера при потока с произвольным числом Маха M (вводится угол поворота от числа M0=1 до данного числа M, затем этот поток поворачивается дальше у тупого угла)
Вводятся следующие углы:
•α = arcsin(1/M) - угол наклона звуковой линии потока с числом Маха М,
•δ - обратный угол поворота к M0 = 1,
•φ - полярный угол течения ПрандтляМайера,
связанные соотношениями
α − δ + φ = π2 .
Для начального и конечного потоков
π
α1 − δ1 + φ1 = 2 ,
π
α2 − (δ1 + δ0) + φ2 = 2 ,
π
δ2 = δ1 + δ0; α2 + φ2 = 2 + δ2
В результате получаем следующий порядок расчетов.
1. |
α = arcsin(1/M), |
|
|
|
|
φ1 = γ arcsin √ |
|
|
|
2. |
k−2 |
1 (λ¯12 − 1), |
3.δ1 = α1 + φ1 − 2 ,
4.δ2 = δ1 + δ0,
5.α2 + φ2 = 2 + δ2,
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
6. |
arcsin |
1 |
+ γ arcsin |
k−1 |
(λ¯2 |
− |
1) = + |
||
|
|||||||||
δ2. |
M2 |
2 |
2 |
2 |
Из последнего уравнения определяются λ2, затем φ2 и α2 и p2, T2, ρ2.
|
π |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− µ = arctg |
M |
2 |
− 1 |
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
√ |
|
|
arctg √ |
|
|
|
|
||||||
Θ (M) = γ arctg |
M2 − 1 |
|
|
|
||||||||||
|
− |
M2 |
− |
1, |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(72) |
Θ (M2) = Θ (M1) + Θ
Угол поворота потока определяется по формуле
Θ = Θ (M2) − Θ (M1).
Параметры газа за поворотом у тупого угла определяются по формулам
T0 |
= 1 − γ2 |
, |
|
p0 |
= (1 − γ |
2 ) |
k |
, (73) |
||||||||
T |
|
λ¯2 |
|
|
p |
|
|
|
|
λ¯2 |
|
k−1 |
|
|||
|
|
|
|
ρ0 |
= (1 − γ2 ) |
1 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
λ¯2 |
|
k−1 |
|
|
|
1.4Динамика вязкой жидкости
1.4.1Течение в трубе
В цилиндрических координатах (x, r, φ) градиент давления и вектор скорости v = (U, 0, 0) направлены по оси x. Уравнение движения
−∂x |
= −µr dr |
(r dr ) . |
(74) |
|||
|
∂p |
|
1 d |
|
dU |
|
Граничные условия прилипания и симметрии профиля скоростей
U(R) = 0, ∂U∂r (0) = 0
решение |
(1 − R2 ) |
|
4Lµ . |
|||
U(r) = U0 |
, U0 = |
|||||
|
|
r2 |
|
|
R2∆p |
|
8
Напряжение трения на стенке можно вычислить двумя способами
()
τw = −µ |
dU |
= p |
D |
, |
|
|
|
|
|||
dr r=R |
4L |
или из баланса сил давления, действующих на площади входного и выходного сечений и трения на поверхности трубы
|
τw · πDL = p · |
πD2 |
|
|
|
||
|
|
. |
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|||
Расход жидкости определяется форму- |
|||||||
лой Пуазейля-Хагена |
|
|
|
8Lµ . |
|||
Q = ∫ |
ρUdA = 2πρ ∫0 |
U(r)rdr = |
|||||
|
R |
|
|
|
π∆pρR |
4 |
|
|
|
|
|
|
(75) |
Средняя скорость течения в трубе определяется объемным расходом
¯ |
|
Q |
|
U0 |
|
U |
= |
ρA |
= |
2 |
. |
Число Рейнольдса для течения в трубе
¯
Re = ρUµD .
Коэффициент сопротивления трубы определяется как отношение напряжения трения к динамическому напору.
|
2τw |
|
2∆p D |
|||||
λ = |
|
|
= |
|
|
|
|
(76) |
¯ |
2 |
¯ |
2 |
|
||||
|
ρU |
|
|
ρU |
|
|
L |
Закон сопротивления трубы при ламинарном течении
λ = |
64 |
. |
(77) |
|
|||
|
Re |
|
|
На начальном участке трубы |
тече- |
ние является неустановившимся. Длина начального участка в ламинарном режиме определяется числом Рейнольдса
lin = 0.03DRe
При критическом числе перехода от ламинарного к турбулентному режиму (Recr = 2300), длина начального участка составляет lin = 69 D. При развитой турбулентности длина начального участка уменьшается и составляет lin = (25 − 40)D.
1.5Критерии подобия, автомодельность
Π - теорема. Возможные размерные параметры, от которых может зависеть решаемая задача (a, b, c, ...), предполагается, что существует безразмерная комбинация
Π = a b c , ...
C учетом размерности величин
a = MaM LaLT aT , ...
получаем систему уравнений
aM α + bM β + cM γ + ... = 0,
aLα + bLβ + cLγ + ... = 0,
aT α + bT β + cT γ + ... = 0.
Если эта система уравнений имеет решение для α, β, γ, ..., то каждое решение дает безразмерный параметр.
1.6Устойчивость течений
Неустойчивость Кельвина-Гельигольца
Неустойчивость Кельвина-Гельгольца для плоскопараллельного течения со скоростями U1, U2 имеет фазовые скорости
c = U1 + U2 |
± |
i |
|U1 − U2| |
, |
(78) |
|
|
2 |
|
2 |
|
где вещественная часть фазовой скорости
(c = c′ + ic′):
c′ = |
U1 + U2 |
. |
(79) |
|
|||
2 |
|
|
Фазовая скорость возмущений лежит в интервале между максимальной и минимальной скоростями. Инкремент неустойчивости Кельвина-Гельмгольца
γ = k |U1 − U2|
2
.
9
Неустойчивость Релея-Тейлора Рассматривается неустойчивость двух слоев жидкости с плотностями ρ1 и ρ1 в поле тяжести. Фазовая скорость возмущений
c2 = |
− |
ρ2 − ρ1 |
g |
|
|
(80) |
||
ρ2 + ρ1 k |
||||||||
|
||||||||
Инкремент неустойчивости |
Релея- |
|||||||
Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
γ = c′k = √ |
|
|
(81) |
|||||
Agk, |
||||||||
где число Атвуда |
|
|
|
|
|
|
|
A = ρ2 − ρ1 . ρ2 + ρ1
Неустойчивость Релея-Тейлора носит абсолютный, а не конвективный характер.
1.7Турбулентность
Турбулентное движение жидкости описывается уравнениями для средних величин, совпадающими с ламинарным течением с добавлением турбулентных напряжений Рейнольдса, так что общее напряжение
τ = τS + τR,
где напряжения Рейнольдса для плоскопаралелльного течения имеют вид
τR = µT ∂U∂y ,
где U - продольная скорость, y поперечная к стенке канала или трубы координата. Турбулентная вязкость определяется формулой Прандтля
∂U µT = ρlw, w = l ∂y
где w - пульсационная скорость, l = κy - длина смешения Прандтля, κ = 0.4 - постоянная Кармана.
Для слоя постоянного трения в канале или трубе имеет место логарифмический профиль скоростей.
1.8Вязкопластические течения
Реологическое уравнение состояния для простого случая бингамовсой среды приведено на рис. 3.
Движение жидкости в цилиндре представляет недвижимую жидкость в центральной части, обтекаемую вязкой жидкостью и внешнюю, Пуазелевскую.
τ |
Bingam (n=1) |
|
|
|
Visco Plastic (n<1) |
|
(Herschel - Buckley) |
|
Dilatant (n>1) |
τ0 |
Newton (n=1) |
|
|
|
Pseudo plastic (n<1) |
0 ε |
S ~ |
dU |
|
dr |
Рис. 3: Реологическое уравнение состояния - S для модели Бингама-Шведова
10