5. Передаточные функции систем управления (су)

5.1. Правила преобразования алгоритмических структур

Для оценки точности, устойчивости и качества управления замкнутых СУ (см. главы 6, 7, 8) необходимо знать их уравнения динамики и статики. Уравнение динамики замкнутой СУ можно получить на основе совокупности уравнений отдельных элементов, образующих систему, путём последовательного исключения промежуточных переменных. Однако, если СУ состоит из большого количества элементов, этот метод оказывается достаточно трудоёмким. Наиболее удобным для решения этой задачи является метод структурных преобразований, согласно которому по структуре системы находят эквивалентную ПФ, а затем – соответствующие уравнения динамики и статики.

Информация о структуре СУ и передаточных свойствах её элементов может быть задана в виде обычной алгоритмической схемы (см. раздел 1.2).

Для упрощения сложных алгоритмических схем применяют три г л а в -

н ы х п р а в и л а п р е о б р а з о в а н и я , с помощью которых определяют эквивалентные ПФ типовых соединений звеньев (см. также раздел 2.8).

Эквивалентная ПФ последовательно соединённых звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение.

Например, для соединения двух звеньев (рис. 5.1,а)

(5.1)

Эквивалентная ПФ параллельно соединённых звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение.

Например, для соединения двух звеньев (см. рис. 5.1,б)

(5.2)

Эквивалентная ПФ соединения с отрицательной (положительной) обратной связью равна ПФ прямой цепи, делённой на единицу плюс (минус) произведение передаточных функций прямой цепи и цепи обратной связи.

Так, для соединения из двух звеньев (см. рис. 5.1,в)

(5.3)

а

Рис. 5.1. Алгоритмические схемы соединений звеньев

С помощью изложенных трёх главных правил удаётся преобразовать любую исходную алгоритмическую схему, не содержащую перекрёстных связей, к одноконтурной схеме (рис. 5.2,а).

Алгоритмическую схему замкнутой СУ (и саму систему) называют одноконтурной, если при её размыкании в какой-либо точке образуется цепь, не содержащая параллельных соединений и внутренних обратных связей. На рис. 5.2,б показана цепь, полученная при размыкании замкнутой СУ (см. рис. 5.2,а) между точками А и В. Она не содержит параллельных соединений и обратных связей.

Получаемая при размыкании одноконтурной СУ цепь последовательно соединённых элементов, стоявших внутри замкнутого контура, называется разомкнутым контуром СУ. В соответствии с этим определением ПФ разомкнутого контура W_рк(р) одноконтурной системы равна произведению ПФ всех элементов, стоящих внутри контура системы. ПФ элементов, стоящих вне замкнутого контура, никогда не входят в произведение W_рк(р).

Например, для системы на рис. 5.2,а

(5.4)

при этом учтён сумматор (перед звеном W₃), в котором знак сигнала в контуре меняется на противоположный, т. е. главная ОС в данном случае является отрицательной. ПФ W₅(p) и W₆(p) не входят в произведение (5.4), так как эти элементы стоят вне замкнутого контура.

ПФ разомкнутого контура является одной из важнейших характеристик замкнутой СУ. От неё зависят устойчивость и показатели качества процесса управления (см. главы 7 и 8). Она обязательно входит в выражение ПФ замкнутой системы.

Рис. 5.2. Алгоритмические схемы одноконтурной СУ (а)

и её разомкнутого контура (б)

В общем случае на замкнутую СУ могут влиять несколько внешних воздействий (задающих и возмущающих), а при анализе и оценке её свойств часто возникает необходимость рассматривать несколько выходных переменных. Например, в СУ на рис. 5.2,а четыре внешних воздействия (x₅, x₂, x₆, x₄) и четыре выходных переменных (у₁, у₂, у₃, у₄). Для каждой пары «вход-выход» замкнутой системы может быть записана своя ПФ по следующему правилу:

Передаточная функция Ф_lk(p) одноконтурной СУ между k-м входом x_k и

l-м выходом у_l равна ПФ прямой цепи W_lk(p), делённой на единицу плюс ПФ разомкнутого контура, т. е.

(5.5)

при этом предполагается, что обратная связь в системе отрицательная. Знак обратной связи в одноконтурной СУ устанавливают с учётом всех перемен знака, происходящих в сумматорах при прохождении сигнала по замкнутому контуру.

Например, для системы на рис. 5.2,а ПФ по каналу «x₅-y₃»

(5.6)

где W_рк(р)=W₁(p)W₂(p)W₃(p)W₄(p).

При записи (5.6) учтено, что в схеме на рис. 5.2,а знак внутри контура изменяется только один раз (в сумматоре после звена W₃), т. е. что обратная связь отрицательная. Эта перемена знака происходит и с сигналом в прямой цепи и учтена в числителе (5.6) в виде минуса.

ПФ по любому из каналов x_k-y_l записывается по правилу (5.5), независимо от остальных каналов, в предположении, что остальные входные воздействия равны нулю.

Если исходная алгоритмическая схема многоконтурная и содержит п е- р е к р ё с т н ы е с в я з и, как, например, на рис. 5.3,а, то для её свёртывания к одноконтурной приходится применять, кроме трёх главных правил (5.1), (5.2), (5.3), в с п о м о г а т е л ь н ы е п р а в и л а структурных преобразований, приведённые в табл. 5.1.

Действительно, ни для одного из трёх типовых соединений по три элемента (W₁-W₂-W₄, W₂-W₃-W₅, W₁-W₂-W₆), образующих схему на рис. 5.3,а, нельзя применить главные правила, так как начало или конец одного эквивалентного соединения оказались бы при этом внутри другого соединения. Поэтому приходится эти перекрещивающиеся контуры предварительно «развязывать» – устранять перекрёстность. Она всегда может быть устранена несколькими различными путями. Так, пользуясь вспомогательным правилом 3 из табл. 5.1, можно перенести узел разветвления со входа на выход звена W₃, добавив одновременно перед звеном W₆ обратную

функциюW₃^-1. С помощью правила 5 можно сумматор перенести на выход звена W₂, включив последовательно с W₅ звено W₂, а затем по правилу 2 поменять местами сумматоры А и В. В итоге получится схема без перекрёстных связей (рис. 5.3,б), которую легко свернуть по главным правилам.

Рис. 5.3. Пример структурных преобразований алгоритмической схемы

Для двух внутренних соединений схемы (см. рис. 5.3,б) эквивалентные ПФ

(5.7)

(5.8)

Теперь схему можно рассматривать как одноконтурную с ПФ разомкнутого контура

(5.9)

ПФ замкнутой СУ (см. рис. 5.3,б) по каналу x-y согласно правилу (5.5)

(5.10)

или с учётом выражений (5.7), (5.8), (5.9)

(5.11)

Таблица 5.1