shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Подставляя	значения
	ах = Х — х0;		ау = У—у0;				аг =	2—20,
	_	д\У т	_	дШ	_	ёг	_ т _
	ёх—	д х ;	8у—	ду	;
получим уравнение касательной			плоскости
Так как первые производные потенциала всюду непрерывны, то и наклон
этих плоскостей	меняется	непрерывно.
Уравнение уровенных		поверхностей			потенциала			силы тяжести имеет вид

ТУ ( х , у, Г) = СОПБ1.

Давая различные значения постоянной, будем получать различные уровенные поверхности. Уровенная поверхность потенциала силы тяжести, совпадающая в открытом океане с невозмущенной поверхностью воды, называется геоидом.

Ввиду однозначности потенциала уровенные поверхности не могут пересекаться. Расстояние между двумя бесконечно близкими поверхностями, как видно из (IV.9), обратно пропорционально величине силы. Но сила тяжести на уровенной поверхности не является постоянной ни по величине, ни по направлению, а поэтому расстояние между двумя уровенными поверхностями в различных местах различно. Известно, что сила тяжести на полюсах больше, чем на экваторе, и, следовательно, на полюсах уровенные поверхности располагаются ближе друг к другу, чем на экваторе.

Из непрерывности потенциала силы тяжести вытекает, что все уровенные поверхности непрерывны и, как мы уже видели, наклон касательной плоскости также меняется непрерывно. Однако кривизна уровенной поверхности определяется вторыми производными потенциала и потому кривизна уровенных поверхностей (в том числе и геоида), пересекающих слои различной плотности, изменяется скачком там, где меняется скачком плотность.

Определим кривизну нормального сечения уровенной поверхности. Если уравнение поверхности задано в форме

2=1{х, у),

то кривизна нормального сечения, образующего угол А с осью х, определяется формулой

	4 = гсо82 Л + $ 8 т 2 Л + г 8 т 2 . 4 ,				(IV. 14)
где р — радиус кривизны нормального			сечения,	а
	Г~~дхЪ'	8 ~ дх	ду '	1~~ду*'
согласно обозначений	Монжа.
Уравнение уровенной поверхности имеет вид И7 (х, у,					г) = сопз1, где ТУ —
функция координат х,	у, г, не разрешенная относительно				г. Образовав вторые

100

производные от И7, считая,			что г является неявной функцией переменных х
и у и направлена по вертикали вниз,					получим
_	1	дт		1	ЗУ	_	1	дт
Г~	8	дх*	'	е	дхду'	г~	в	ду* •

Подставив эти	значения	в (IV. 14),	получим	формулу для	определения
кривизны уровенной поверхности
е	д2М' *	2 Л ,	• О Л I	• 2 Л	/ПТЧСЧ
- ~ д ± г 0 0 8			+	8 Ш А	< 1 у - 1 5 >

Кривизна геоида, как и всякой уровенной поверхности, в местах, где он зересекает материковые массы, изменяется скачком и поэтому всякое продолжение аналитическими методами поверхности геоида внутрь притягивающих «асс не будет соответствовать действительному положению геоида. Потенциал •гвлы тяжести вне масс и внутри масс выражается разными аналитическими функциями, а потому и уравнение геоида не может быть выражено одной аналитической функцией

Выясним физический смысл вторых производных потенциала IV. Возьмем Ъвчало прямоугольных координат в точке М земной поверхности. Направим * ь гпо отвесной линии внутрь Земли, а оси хм у — на север и на восток соот-

ветственно.

В таком случае

	_	т
		дг '
Представим вторую производную		как
дт	д	/ дш \ _ де

~дт. V дг ) ~~ дт,

4 г а показывает, как изменяется сила тяжести в направлении вертикали и потому называется вертикальным градиентом силы тяжести.

Представив аналогичным образом производные

дт	^	д	/ д1У \ _		дв
дхдя		дх	\ дг	)	дх '
д ^	_	9	( т	\ ^	дё
ду да —		ду \		) ~	ду '

7^еждаемся, что они характеризуют изменение силы тяжести в горизонтальной носкости: первая в направлении меридиана, а вторая в направлении первого вертикала; эти производные называются горизонтальными градиентами силы тяжести.

Полным горизонтальным градиентом называется геометрическая сумма

лекторов д$/дх и д$/ду, т. е. вектор д§/дв, указывающий направление, в кото-

ром сила тяжести возрастает (или убывает) быстрее всего. Величина его равна

К — 1 / 7 Ж У Т 7 Ж Т 2	_ т / ( у | ( ^ у
дз V \ дх ) \ ду )	г V дх дг ) "г ^ ду дг ) '

101'

а угол с осью х, т. е. азимут,			определяется			формулой
				де	дт
				ду	дх	дг
				дё	дт
				дх	ду	дг
Вторые производные д2]Ф/дх,				д2\У/дхду,		дг\У/ду2,		как мы видели (IV. 15).
характеризуют кривизну нормального сечения уровенной поверхности.
Если	в (IV. 15) положить		А	= 0,	получим		кривизну		меридионального
	8	л		/о
сечения	= — е с л и	А	=	л/2, — кривизну				сечения	уровенной по-
верхности	плоскостью первого		вертикала
			дт	_
			дУг ~		Ру '
Выведем формулу для вертикального градиента силы тяжести. Для этого
напишем выражение (1У.6)		в развернутом виде
	дт ,	дт	,	дт	. . .		. 0 2		/пт-^

и, подставив в него значения производных д2\У/дх2 и д2Ш/ду2, получим

— формула показывает зависимость вертикального градиента силы тяжести от плотности. Из нее следует, что редуцирование силы тяжести внутри притягивающих масс точно выполнить невозможно без детального знания закона распределения плотностей.

Напротив, во внешнем пространстве, где притягивающие массы отсутствуют, редуцирование силы тяжести может быть выполнено без привлечения данных о строении земной коры. Формулой (1У.17) удобно пользоваться в случае, если кривизны нормальных сечений уровенных поверхностей в перпендикулярных направлениях известны,

§21. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ

ВРЯД ПО ШАРОВЫМ ФУНКЦИЯМ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ЗЕМЛИ

Если представить потенциал силы тяготения в виде бесконечного ряда, то задача определения потенциала сводится к последовательному суммированию отдельных членов этого ряда. Ограничиваясь заданным членом разложения, мы, естественно, получим приближенное значение потенциала, но степень приближения при этом в принципе может быть безграничной, если брать неограниченно большое число членов. Число членов разложения определяется требованиями необходимой точности вычислений, а также наличием необходимого материала, полученного из наблюдений.

Итак, рассмотрим вопрос о разложении потенциала силы тяготения в ряд по шаровым функциям. Пусть дано некоторое тело с массой М.

102'

Потенциал силы тяготения тела в любой точке, определяемой сферическими координатами р, 0, X, имеет вид (1.20)

У(р, 0,

(IV.18)

т

Если через р', 0', X' обозначить сферические координаты текущей точки, по которым ведется интегрирование, то элемент объема можно представить в виде

Определим потенциал тяготения вне сферы, окружающей тело (рис. 31).

Поскольку	р ]> р',	функция — может		быть представлена	сходящимся рядом
(111.18), в	котором	В заменен на	р'
		ш
		"17 =	о/ п	(С081|;),	(1У.19)

п=0

Р(Р,9,Л)

Рис. 31

а

соз я|> определяется

формулой

(111.17). Подставим

в (ГУ.18) вместо

у ряд

(1У.19) и после почленного интегрирования получим

со

у

(р. 0. я) = / 2

ф

г ЭД ( 6р, п р п (сов ф) йх.

(IV.20}

Введем далее

71=0

обозначение

(0, X) = / Щ

бр, п Рп (соз я|>)

(1У.21)

=одставив

сюда

значение

Рп

(соз <ф) из

(III.26), получим

функцию 2п

(0, X)

в

явном

виде

2п

(9,

X) =

Рп

(соз в) / Щ

бр'пРп (соз 0') ах

+

п

+

2 2

[

с о 8 кк•* Щ

брви со8 ыр>*

(0') ^ +

к=1

и

т

+ 8Ш кх • / Ц ^

бр'П 31П кХ'Рпк (В') ах| Рпк

(0).

103

Объемные

интегралы,

являющиеся

коэффициентами полученного 7ряда,

представляют

собой

стоксовы

постоянные (§

10), поскольку произведение

р, п Рп (соз 0'),

р'* соз кХ'Рпк

(0')

и

р/>г

з т к%'Рпк (0')

являются

гармониче-

скими функциями во всем объеме т.

Обозначим эти постоянные

я п о = / Щ а р ' п Л , ( с о в е ) й т

т

=

2 (п + к)! /

И' Г 6р'п соз кХ'РпЬ (0') йх

(1У.22

Е"к =

2

/ Щ

бр'" з т кХ'РпЬ (0') йх

тогда представим сферическую функцию степени п в виде

(в, I) =

Дл0Рп

(соз 0) +

2

соз ЛЯ, + Епк з т &Я)

(в).

(1У.23'

к-1

Таким образом, внешний потенциал силы тяготения может быть представ-

лен в виде бесконечного

ряда шаровых функций

41

V (Р, 0, Я) = 2

Т ^ Г

2 ( ° п к

0 0 8 к % +

Е п к 8 1 п к Х ) р , г к ( 0 )

(IV.24'

71=0

1_ь=о

Рассмотрим

сферические функции

первых

степеней. Положив в

(ГУ.23.

п = 0, получим

сферическую функцию нулевой степени

(0,

Я) = п0 0 = /

бР0 (соз VI)) Ах =

№

(1У.25;

т

которая является величиной, пропорциональной массе тела.

При п — 1 получим сферическую функцию первой степени

(0> Я) =

СОЗ 0 +

Оп

СОЗ Я 31П 0 + Еп

81П Я 31П 0,

где

Д1о = / Щ б р ' С О 8 0'ЙТ

т

= / Щ

бр' соз я' з т 0' йх

X

бр' 31П я' з т 0' йх.

X

Введем прямоугольные координаты, используя формулы связи между

системами координат

(III.2)

Р'СО8 0' = ^

р' соз Я' з т 0' = I

р" 31П я® ЗШ 0* =

Г),

104'

получим

X

т

X

Поскольку координаты центра массы тела вычисляются по формулам

X	X	X	III	^
х°	м ' Уо ~	м ; 2° ~	м	'

можно выразить постоянные /)1 0 , Би и Ег1 через эти координаты

Д10 = /М20. Ди = /Мж0. Еп = /Му0.

Следовательно, сферическую функцию первой степени можно представить в виде

г г ( е , Я) = /М[2о соз6 + ;Госо8А,з1п0 + у о 8 т Я з т 0 ] .

(1У.26)

Сферическая функция второй степени содержит пять постоянных:

г2	(9, X) = /)2 (Л (соз 0) + (/>2Х соз х +				#21 ап X) Рп (0) +
	+	(Д22 соз 2Х +		Е22 з т 2х) Р22 (0).
Используя	значения	сферических		функций	второй	степени,	приведенные
в табл. 1, представим стоксовы			постоянные
		т
	п 2 1 = 4 "		б р ' 2 3 0 0 8 6 ' 8 1 п		0 0 8
	Е21 •-	Щ6<					(IV. 27)
			бр"2ЗсО3 0' 8111 0' ЗШЯ'ЙТ
	В22 = ± . ^		^ бр'23 з т 2 0' соз IX' йх
		X
	Е22 = ^ 0		$ бр"23 81П2 0* 81П 2х' йх
		X
В прямоугольной системе координат
	4 Р'2 соз2 0' — ^ =			{ ( 2 ^ 2 -	Ъ* - ц*)	=
	= | ( V + С2 + Б2 + ^ -				- 2г12)>

105

поэтому постоянную Л20 можно представить в таком виде

Ого = У	5 <Ч" + С") •Лх + { Щ б (I2 +	Ах - / Щ б ( Р + п2) йт.
Т	X	х

Это позволяет выразить постоянную /)2 0 через моменты инерции тела относительно координатных осей х, у, г, которые вычисляют по формулам

	А =	Щб(т|» +		&Я)Л
		X '
		X
	с =	щ	6 ( | 2 + г 1 2 ) й т .
Получим		X
	#	2	0	(	I	V	.	28)
Выразим в прямоугольной системе координат и другие постоянные
=	Еп = 1^ЬЪцАх,			Я22 = /Щб|г]йт .				(1У.29)
X	X			X

Интегралы, стоящие в правых частях полученных равенств, представляют собой произведения инерции и определяют направление главных осей инерцип тела. Они обращаются в нуль, если оси координат совместить с главными осями инерции.

Представим постоянную /) 2 2 следующим образом:

/)22 = 1 Щ бр"2 8Ш2 0' (СОЗ2 Г - 81П2 Г ) Ах = X

= т Ш6 [р"281п2е'0083~р'281п29"з1п2 йт'

X
переходя к прямоугольным координатам, получим
Огг=ТИ!6(5>	~^ =Т{В ~Л)'
х

Таким образом, все стоксовы постоянные второго порядка имеют простой механический смысл: они определяют разности моментов инерции и произведения инерции данного тела.

Каждый член разложения потенциала в той или иной степени характеризует фигуру уровенной поверхности данного тела. Так, если бы тело имело строго сферическую форму, то в разложении (1У.24) был бы один единственный член нулевого порядка и потенциал имел бы вид

^(р, е, •

106'

Все последующие члены разложения учитывают уклонение формы притя-

гивающего тела от	сферической.
Постоянная 02(>	обусловлена сжатием тела около полярной оси (для шара,
очевидно, А = В =	С и />20 обращается в нуль, чем сильнее вытянуто тело
вдоль экватора, тем	больше будет отличие экваториальных моментов инерции

от полярного) и член разложения (соз 0), изменяющийся только в зависимости от широты, характеризует степень полярного сжатия.

Остальные четыре функции второй степени, зависящие от долготы, характеризуют вариации потенциала по долготе, и в случае, если тело по своей форме близко к телу вращения (как, например, Земля), то влияние их весьма мало. Отметим, что одна из них, а именно член с /)22, характеризует экваториальное сжатие тела, поскольку значение постоянной /)22 зависит от разности эквато-

риальных моментов		инерции.
Окончательно потенциал тяготения во внешнем пространстве может быть
представлен рядом
У(р, 0,	=	Р + Р (2осоз0 + хо созХ8т0 + уо 8тЯ,зт 0] +
+-рг[/ (^Ч^--с) (4сов20 -т)+3 ^со81+в1п						0со59+
				00
+	3 |я22 з т 2Л + /		соз 2я) з т 2	0 ] + 2	•	(1У.31)
				п-3
ЭТО разложение		справедливо	при любом	произвольном	выборе	начала

и осей координат. Если начало координат считать совмещенным с центром массы тела, а координатные оси — с главными осями инерции, то ряд (1У.31) будет иметь более простой вид

г , * е , М - ^ + Х [ ( ^ - с ) (	1 с о з ' 9 - ± ) +
	ОО
+ 1 (В - А) соз 2А зш2 0 ] +	2 ^фА.	(1У.32)
	п-З

Чаще разложению потенциала в ряд по сферическим функциям придают иной вид.

Заметим, что коэффициенты при сферических функциях в разложениях (1У.31) и (IV.32) имеют различную размерность. Так, если у постоянной И 0 0

размерность Щ, то у членов Б10,	Егг	размерность / М	X см, члены вто-
рого порядка имеют размерность Щ	X см2	и т. д. Удобнее	иметь при сфери-

ческих функциях безразмерные коэффициенты. Для этого вынесем в разложе-

нии (IV.24)	за скобки общий множитель			Тогда получим
				Р
		со	п		1
У<р. е.	= ^	1 + 2	2 7м^ { °пк со8 к х + Е п к 81п кК) Рпк		( 0 ) ;
		п=1 к=0			^

107'

выделим в полученном разложении зональные гармоники (полиномы Лежандра) и представим потенциал в виде

г<р, в,

п - 1

^п=12к=21 Ш/^003 ^+ з1пкК)р*®

Здесь под а следует понимать некоторую постоянную длины, например большую полуось или средний радиус планеты. Обозначим коэффициенты, стоящие при сферических функциях, как

Рпо =	1	Щ брПР„(СО8 0')ЙТ = <
/Мап	Мап

/Мап	У	ётШШ		'
	Мап2		вр,всо3кХРпк(0,)ах=
Опк
Епк		(га + А)
{Мап	Мап
			т
Коэффициенты с„0, с„& и $л6			являются безразмерными величинами. Запи-
шем разложение потенциала тяготения в ряд
У(р,	е, х ) = ^ [ 1 + 2 ( 7 ) " с * о р * ( С 0 3 +
СО П					-1
+22(7)"(Спк008кК+$пк31п					Рпк ^		(1У.ЗЗ)
п=1 й-1					Л
или в сокращенной	записи
		со	/с
7 ( Р , 0,	1+2(7)2(°пк003 +8пк31п Рпк
		п=1	к=о
Такой вид разложения потенциала рекомендован					комиссией по		небес-
ной механике Международного			Астрономического	Союза.		Обозначим 1п =
= —сп0. Тогда
		т		( 0 0 5	0) +
			п-1
	оо п				-|
						'
+22(7)П ^ 003 + 31П ^?Пк(9)							(1У,34)
п=1 й-1					^

108'

Если планета по своей форме является телом вращения, тогда в разложении потенциала останутся только зональные гармоники

Используя полученное разложение потенциала тяготения для любого тела в ряд шаровых функций, определим приближенное значение потенциала Земли. Пусть под телом с массой М понимается Земля. Тогда, сохраняя в (IV.32) полином Лежандра второй степени, получим формулу для вычисления приближенного потенциала силы тяготения Земли

г<р, е,

где Ат = средний экваториальный момент инерции Земли.

А

Поскольку на основании (III.2)

Ж2+ у 2 = р281п2е1

потенциал центробежной силы можно представить в виде

Приближенный потенциал IV' силы тяжести получается как сумма потенциалов V' и ^

РГ(Р, е, X) = Щ - + / ( Л у ( - | соз2 9 - 1 ) + р2 зш28. (1У.35)

§ 22. ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВНЕШНЕГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ И ФИГУРЫ ЗЕМЛИ

При изучении фигуры Земли (и других планет) приходится иметь дело исключительно с внешним потенциалом.

Первым ученым, которому удалось доказать принципиальную возможность определения внешнего потенциала независимо от плотности, был Стоке (1849 г.).

В основе теоретических исследований Стокса лежит его знаменитая теорема, которая может быть сформулирована следующим образом: если известны общая масса тела М, угловая скорость его вращения © около неизменной оси

и форма внешней уровенной поверхности а целиком охватывающей все притягивающие массы, то потенциал силы тяжести IV и сама сила тяжести § определяются однозначно как во всем внешнем пространстве, так и на самой уровенной поверхности а. Очевидно, теорема Стокса будет доказана, если показать, что потенциал силы тяжести не изменится при перераспределении масс внутри поверхности а, при условии, что сама поверхность о продолжает оставаться внешней уровенной поверхностью и при новом распределении масс.

Предположим, что имеется два распределения масс: первому соответствует потенциал притяжения V', а второму V". Потенциал центробежной силы, как независящий от притягивающих масс, будет в обоих случаях один и тот же.

109'