- •Федеральное государственное образовательное учреждение
- •Высшего профессионального образования
- •«Сибирский федеральный университет»
- •Методическое пОсобие по дисциплиНе
- •B c
- •Занятие 2 Базис, координаты векторов
- •Занятие 3 Системы координат на плоскости и в пространстве
- •Занятие 4 Проекции. Скалярное произведение векторов
- •Занятие 5 Векторное и смешанное произведение векторов
- •Занятие 6 Замена декартовой системы координат
- •Модуль II занятие 7 Общее понятие об уравнениях линий и поверхностей
- •Занятие 8 Уравнения прямых на плоскости
- •Занятие 9 Плоскость в пространстве
- •Занятие 10 Прямые в пространстве
- •Модуль III занятие 11 Основные типы нераспадающихся кривых второго порядка на плоскости
- •Занятие 12 Классификация кривых второго порядка на плоскости
- •Занятие 13 Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •.M(X,y,z)z
- •O y
- •Модуль IV занятие 14 Преобразования плоскости
- •Занятие 15 Афффинные преобразования и классификация поверхностей второго порядка
- •Занятие 16 Элементы вычислительной геометрии. Триангуляция Делоне
- •Занятие 17 Элементы вычислительной геометрии. Диаграмма Вороного
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Сибирский федеральный университет»
Методическое пОсобие по дисциплиНе
Дисциплина __ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ___________________________
(наименование дисциплины в соответствии с ФГОС ВПО и учебным планом)
Укрупненная группа 010000 Физико-математические науки и фундаментальная информатика
Направление
010100 Математика
010200 Математика и компьютерные науки
010600 Механика и математическое моделирование ________________________________________________
Факультет __ Математики и информатики ____________________
Кафедра _____ алгебры и математической логики_______________
Красноярск
2007
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
МОДУЛЬ I
ЗАНЯТИЕ 1
Аксиоматика Гильберта и векторная алгебра
Основные определения
Вектор – упорядоченная пара точек А, В. Обозначаем вектор . При этом первую точку А будем называть началом, а вторую В – концом вектора. Длину отрезка АВ, или, что то же самое, расстояние между точками А и В будем называть длиной вектора и обозначать .
Векторы ибудем называть равными, если существует параллельный перенос, отображающийА в С, В в D. При этом будем использовать запись =.
Совокупность всех равных между собой векторов будем называть свободным вектором. Обозначается свободный вектор строчными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху: ,и т.д. Можно использовать также запись вида=, =и т.д.
Примечание к определению 3. Аналогичная ситуация возникает при введении рациональных чисел: вначале дается определение рациональной дроби, затем – условие равенства дробей, и наконец, констатируется, что все равные между собой дроби представляют одно и то же рациональное число. Например: число можно представить и как,и, наконец,.
Пусть =и, тогда суммой векторов ибудем называть вектор. Обозначим сумму+или+.
Векторы ибудем называть сонаправленными, если существует параллельный перенос, отображающий лучАВ в луч CD.
Если – действительное число и – произвольный вектор, то произведением вектора на число назовем вектор длины , сонаправленный с, если > 0, и противоположно-направленный с , если < 0.
Пусть дано множество точек плоскости. Если l1 и l2 - две пересекающиеся прямые и А – точка этой плоскости, то проекцией точки А на прямую l2 параллельно l1 считаем точку А', являющуюся пересечением l2 и прямой, которая проходит через А параллельно l1.
Если – вектор плоскости, то проекцией вектора на прямую l2 параллельно l1 будем называть вектор , где А' и
В' – проекции А и В на l2 параллельно l1.
Пусть в пространстве заданы прямая l и плоскость , имеющие одну общую точку. Если А – произвольная точка пространства и l', ' – прямая и плоскость, проходящие через А и параллельные соответственно l и , то пересечения иименуем соответственно проекциейA на параллельноl и проекцией А на l параллельно .
Пусть – вектор пространства, l – прямая и – плоскость, пересекающиеся в точке. Проекцией вектора на плоскость параллельноl назовем вектор , где А', В' – соответствующие проекции точек А и В.
Основные утверждения
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
1) каковы бы ни были ,;
2) для любых и;
3) существует вектор такой, что;
4) для любого вектора существует вектортакой, что(векторбудем обозначать через -и называть противоположным вектору).
Операция умножения векторов на число обладает следующими свойствами:
1) 1*=,
2) )=(),
3) ()=+,
4) (+)=+.
Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых. Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции на это же число.
Задача 1 (с решением). Векторы ислужат диагоналями параллелограммаABCD. Выразить через векторы ивекторы, являющиеся сторонами этого параллелограмма.
Решение.