Teoria_veroyatnostey

GDE nx { ^ISLO \LEMENTOW WYBORKI MENX[IH x (nx = P ni { SUMMA NA-

xi<x

KOPLENNYH ^ASTOT), n { OB_EM WYBORKI, NAZYWAETSQ \MPIRIT^ESKOJ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ.

|MPIRI^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ OBLADAET WSEMI SWOJSTWAMI FUNKCII RASPREDELENIQ. oNA RAWNA NUL@ DLQ x < xmin, I EDINICE DLQ

x > xmax, I NE UBYWAET. eSLI W WYBORKE WSE xn RAZLI^NY, TO \MPIRI- ^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ RASTET SKA^KAMI WELI^INY n1 W KAVDOJ IZ TO^EK x1; x2; :::; xn. i W \TOM SLU^AE ONA SOWPADAET S ZAKONOM RAS- PREDELENIQ DISKRETNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY, PRINIMA@]EJ ZNA^ENIQ x1; x2; :::; xn S WEROQTNOSTQMI n1 :

eSLI TEORETI^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ F(x) OPREDELQET WERO- QTNOSTX SOBYTIQ X < x, TO Fn(x) OPREDELQET STATISTI^ESKU@ ^ASTOTU \TOGO SOBYTIQ W n \KSPERIMENTAH. w SOOTWETSTWII S ZAKONOM BOLX[IH ^ISEL (TEOREMA bERNULLI) PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM x \MPIRI^ES- KAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ SHODITSQ PO WEROQTNOSTI K TEORETI^ESKOJ

F(x).	j		;		j
n!1
lim P (		F (x)		Fn(x)		< " ) = 1 (" > 0):

zAME^ANIE. mOVNO STROITX \MPIRI^ESKU@ FUNKCI@ RASPREDELE- NIQ KAK PO STATISTI^ESKIM ^ASTOTAM, TAK I PO GRUPPIROWANNYM STA- TISTI^ESKIM ^ASTOTAM DLQ L@BYH SLU^AJNYH WELI^IN.

nAGLQDNOJ OCENKOJ PLOTNOSTI WEROQTNOSTEJ f(x) (f(x) = F 0(x)) QW- LQETSQ GISTOGRAMMA OTNOSITELXNYH ^ASTOT. pUSTX W SOOTWETSTWII S

(3) ILI (4) PROMEVUTOK [xmin; xmax] RAZBIT NA k INTERWALOW (ai ai+1)

DLINY h I n ^ISLO \LEMENTOW WYBORKI, POPAW[IH W i-J INTERWAL
i
n	+ n +			: : : + n = n:
1	2			k
iSHODQ IZ SWOJSTWA FUNKCII PLOTNOSTI
P ( ai < X < ai+1 ) f(x) h					(6)
PRI MALYH h; ZA OCENKU PLOTNOSTI f(x) PRINIMAETSQ
		n
fn(x) =		i		ai < x < ai+1;	(7)
		n h
ZDESX n =(nh) { PLOTNOSTX OTNOSITELXNYH ^ASTOT n =n:
i				i

oPREDELENIE. gISTOGRAMMA OTNOSITELXNYH ^ASTOT SOSTOIT IZ

	PRQMOUGOLXNIKOW S OSNOWANIQMI [ai ; ai+1] I WYSOTAMI (7).	n
	pLO]ADX KAVDOGO PRQMOUGOLXNIKA RAWNQETSQ fn(x)h =		I W SO-
		i
		n

OTWETSTWII S (6), (7) OCENIWAET WEROQTNOSTX POPADANIQ ISSLEDUEMOJ

93

SLU^AJNOJ WELI^ENY W INTERWAL (ai; ai+1) PO WYBORKE. pLO]ADX VE

WSEJ FIGURY, SOSTOQ]EJ IZ		PRQMOUGOLXNIKOW, RAWNA EDINICE
k n		=	1 k	n	=	n	= 1;
	i		n i=1			n
i=1 n				i
X			X

^TO SOOTWETSTWUET SWOJSTWU PLOTNOSTI WEROQTNOSTEJ

+Z1f(x)dx = 1:

;1

tAKIM OBRAZOM, SRAWNIWAQ POSTROENNU@ GISTOGRAMMU S GRAFIKAMI IZWESTNYH PLOTNOSTEJ, POLU^A@T PERWU@ \KSPERIMENTALXNU@ OCENKU DLQ NEIZWESTNOJ f(x): nAPRIMER, MOVNO WYDWINUTX GIPOTEZU O KON- KRETNOM ZAKONE RASPREDELENIQ IZU^AEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY.

pRIMER 1. pREDSTAWITX WYBORKU 55 NABL@DENIJ W WIDE TABLICY

^ASTOT, ISPOLXZUQ 7 INTERWALOW GRUPPIROWKI. wYBORKA:
17		19	23	18		21	15		16		13	20	18	15	20		14	20		16	14	20	19	15
19		16	19	15		22	21		12		10	21	18	14	14		17	16		13	19	18	20	24
16		20	19	17		18	18		21		17	19	17	13	17		11	18		19	19	17
	rAZMAH			WYBORKI				xmax ; xmin					= 24 ; 10 = 14:							dLINA		INTERWALA
h = 14=7 = 2: rEZULXTATY GRUPPIROWKI SWEDENY W TABLICU 3.1.
	t A B L I C A 3.1
		nOMER				gRANICY				sEREDINA			~ASTOTA			nAKOP-				oTNOSI-		nAKOP.
		INTERWALA			INTERWALA					INTERWALA				ni			LENNAQ			TELXNAQ		OTN.
			i								xi					^ASTOTA				^ASTOTA		^ASTOTA
																	jP					jP
																	i nj			ni =n		i nj =n
																	=1					=1
			1			10{12					11			2			2			0,0364		0,0364
			2			12{14					13			4			6			0,0727		0,1091
			3			14{16					15			8			14			0,1455		0,2546
			4			16{18					17			12			26			0,2182		0,4728
			5			18{20					19			16			42			0,2909		0,7637
			6			20{22					21			10			52			0,1818		0,9455
			7			22{24					23			3			55			0,0545		1,0000

pRIMER 2. pOSTROITX POLIGON GRUPPIROWANNYH ^ASTOT I GISTO- GRAMMU OTNOSITELXNYH ^ASTOT PRIMERA 1.

pO REZULXTATAM GRUPPIROWKI (SM. TABLICU 3.1) STROIM POLIGON ^AS- TOT (RIS. 1) I GISTOGRAMMU (RIS. 2) { PRQMOUGOLXNIKI S WYSOTAMI

94

n	=	n
i		i
h		2

rIS. 1

rIS. 2

pRIMER 3. pOSTROITX GRAFIKI \MPIRI^ESKIH FUNKCIJ RASPREDELE- NIQ PO ISHODNYM I GRUPPIROWANNYM WYBORKAM PRIMERA 1.

zAPI[EM ISHODNYE DANNYE W WIDE STATI^ESKOGO RQDA.

xi	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
ni	1	1	1	3	4	3	6	7	7	9	6	4	1	1	1

tAK KAK x1 = 10; A x55 = 24; TO Fn(x) = 0 PRI x 10 I Fn(x) = 1 PRI x > 24: nA POLUINTERWALE (10; 24] \MPIRI^ESKU@ FUNKCI@ RASPREDELE-

NIQ Fn(x) STROIM S ISPOLXZOWANIEM STATI^ESKOGO RQDA. nAPRIMER,

Fn(15) =	1 + 1 + 1 + 3 + 4	=	2
	55		11

w REZULXTATE POLU^AEM GRAFIK Fn(x); IZOBRAV<NNYJ NA RISUNKE 3.

Fn(x) 6

1

0,8

0,6

0,4

0,2

																																		-
10						12				14				16				18				20				22				24				x

rIS. 3

95

Fn(x)

aNALOGI^NO STROITSQ GRAFIK Fn(x) PO GRUPPIROWANNYM DANNYM TAB- LICY 3.1. w \TOM SLU^AE IMEET SKA^KI W TO^KAH, SOOTWETSTWU@- ]IH SEREDINAM INTERWALOW GRUPPIROWKI (SM. RIS. 4).

Fn(x) 6

1

0,8

0,6

0,4

0,2

														-
10						12		14	16	18	20	22	24	x

rIS. 4

3.3sTATISTI^ESKIE OCENKI ^ISLOWYH HARAKTERIS- TIK SLU^AJNYH WELI^IN I IH SWOJSTWA

pUSTX Q { ^ISLOWAQ HARAKTERISTIKA IZU^AEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY S NEIZWESTNOJ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ. nAPRIMER, M(X); D(X); (X). (eSLI f(x) IZWESTNA, TO ONI MOGUT BYTX WY^ISLENY PO FORMULAM

+	+
M(X) = Z1xf(x)dx;	D(X) = Z1x2f(x)dx;M2(X); (X) = q
		D(X)):
;1	;1

w NEKOTORYH SLU^AQH WID FUNKCII RASPREDELENIQ IZWESTEN, NO W NE< MOGUT WHODITX NEIZWESTNYE PARAMETRY. nAPRIMER, W PLOTNOSTX NOR- MALXNO RASPREDEL<NNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY

f(x) = p21 e;			2;2
			(x a)2

WHODQT DWA PARAMETRA ; a (a = M(X); = qD(X)).

96

DELENIQ Q (Q

dLQ POLU^ENIQ PRIBLIV<NNYH ZNA^ENIJ (OCENOK) Q ^ISLOWYH HA- RAKTERISTIK SLU^AJNYH WELI^IN ILI PARAMETROW IH FUNKCIJ RASPRE-Q) ISPOLXZU@T WYBORO^NYE ZNA^ENIQ.

oPREDELENIE. sTATISTI^ESKAQ OCENKA Q { \TO NEKOTORAQ FUNK- CIQ OT REZULXTATOW NABL@DENIJ (OT WYBORO^NYH ZNA^ENIJ), PREDNA- ZNA^ENNAQ DLQ STATISTI^ESKOGO OCENIWANIQ NEIZWESTNYH ^ISLOWYH HARAKTERISTIK SLU^AJNOJ WELI^INY I PARAMETROW EE FUNKCII RAS- PREDELENIQ.

iMEEM

Q = T(X1; X2; : : : ; Xn);

GDE Q { OCENKA WELI^INY Q: T (X1; X2; : : : ; Xn) { FUNKCIQ OT \LEMENTOW WYBORKI, EE NAZYWA@T STATISTIKOJ.

pRI FIKSIROWANNOJ FUNKCII T (STATISTIKE) OCENKA Q ZAWISIT OT SLU^AJNYH WYBORO^NYH ZNA^ENIJ, I SWQZI S \TIM QWLQETSQ SLU^AJNOJ WELI^INOJ. eE FUNKCI@ RASPREDELENIQ NAZYWA@T WYBORO^NYM RASPRE- DELENIEM OCENKI. oCENKA Q ZAWISIT OT WYBORO^NYH ZNA^ENIJ I OT WIDA FUNKCII T (STATISTIKI).

qSNO, ^TO W KA^ESTWE OCENOK SLEDUET BRATX TAKIE STATISTKI, ZNA^E- NIQ KOTORYH DLQ RAZLI^NYH WYBOROK BYLI BY W OPREDEL<NNOM SMYSLE BLIZKI K ISTINNYM ZNA^ENIQM OCENIWAEMYH PARAMETROW. vELATELX- NO TAKVE, ^TOBY S UWELI^ENIEM OB_<MA WYBORKI NAD<VNOSTX OCENKI WOZRASTALA.

kA^ESTWO OCENOK HARAKTERIZUETSQ TREMQ OSNOWNYMI SWOJSTWAMI. 1. COSTOQTELXNOSTX OCENKI.

oPREDELENIE. oCENKA Q = T (X1; X2; :::; Xn) NAZYWAETSQ SOSTOQ- TELXNOJ DLQ Q; ESLI ONA PO WEROQTNOSTI SHODITSQ K Q PRI NEOGRA- NI^ENNOM UWELI^ENII WELI^INY n { OB_EMA WYBORKI

lim	P (	Q	Q < ) = 1; DLQ L@BOGO	" > 0:
n!1	j		; j

2. nESME]<NNOSTX OCENKI.

oPREDELENIE. oCENKA Q = T (X1; X2; : : : ; Xn) NAZYWAETSQ NESME]N- NOJ DLQ WELI^INY Q, ESLI

M(Q ) = Q;

T. E. MATEMATI^ESKOE OVIDANIE Q RAWNQETSQ ISTINNOMU ZNA^ENI@

Q.

pRI WYPOLNENII \TOGO SWOJSTWA, OCENKI NE DA@T SISTEMATI^ESKIH O[IBOK (W ODNU STORONU) PRI IZMENENII WYBORO^NYH ZNA^ENIJ.

97

3. |FFEKTIWNOSTX OCENKI.

pUSTX V SREDNEKWADRATI^ESKAQ O[IBKA OCENKI

V = M(Q ; Q)2: eSLI OCENKA NESME]<NNAQ, TO

V = M(Q ; Q)2 = M(Q ; M(Q ))2 = D(Q );

T. E. W \TOM SLU^AE O[IBKA OCENKI SOWPADAET S E< DISPERSIEJ. i QS- NO, ^TO W \TOM SLU^AE OCENKA S NAIMENX[EJ DISPERSIEJ QWLQLASX BY NAILU^[EJ W SMYSLE TO^NOSTI. i NAILU^[EJ BYLA BY OCENKA S V = 0. nO OKAZYWAETSQ, DLQ NESME]<NNYH OCENOK SU]ESTWUET NIVNQQ GRANICA DLQ DISPERSII O[IBOK, NE RAWNAQ NUL@.

oPREDELENIE. nESME]ENNAQ OCENKA Q NAZYWAETSQ \FFEKTIWNOJ, ESLI ONA IMEET NAIMENX[U@ DISPERSI@ SREDI DRUGIH NESME]ENNYH OCE-

NOK.
pUSTX Q	= T1(X1; X2	; :::; Xn); Q = T2(X1; X2; :::; Xn) DWE RAZLI^NYE
1		2
NESME]<NNYE OCENKI DLQ Q. eSLI D(Q )			< D(Q ); TO OCENKA Q1 BOLEE
		1	2

\FFEKTIWNAQ, ^EM Q2.

zAME^ANIE. rASSMOTRENNYE OCENKI Q QWLQ@TSQ SLU^AJNYMI WELI- ^INAMI (^ISLAMI) I W SWQZI S \TIM IH NAZYWA@T TO^E^NYMI OCENKAMI.

3.4mETODY POLU^ENIQ TO^E^NYH OCENOK

3.4.1wYBORO^NYE (\MPIRI^ESKIE) ^ISLOWYE HARAKTERISTI- KI

iSHODQ IZ \MPIRI^ESKOJ FUNKCII RASPREDELENIQ PRIHODIM K

1

n

X

= n

X

Xi

{

WYBORO^NOE SREDNEE

,

i=1

1

n

S

2

=

n

X

(Xi ; X)

2

{

WYBORO^NAQ DISPERSIQ

,

i=1

1

n

k =

X

Xik

{ WYBORO^NYJ MOMENT k-GO PORQDKA,

n i=1

KOTORYE QWLQ@TSQ TO^E^NYMI OCENKAMI SOOTWETSTWENNO DLQ D(x); k. ( k { TEORETI^ESKIJ MOMENT k-GO PORQDKA.)

(8)

(9)

(10)

M(X);

98

iSSLEDUEM \TI OCENKI. u^ITYWAQ, ^TO Xi { NEZAWISIMYE SLU^AJNYE

WELI^INY I IME@T TAKU@ VE FUNKCI@ RASPREDELENIQ, ^TO I SLU^AJNAQ WELI^INA X (M(X) = M(Xi) = a; D(X) = D(Xi) = 2), POLU^AEM

1

n

Xi1 =

1

M 0

n

Xi1

=

1

n

M(Xi) =

M(X) = M 0

n

n

n

@

i=1

A

i=1

A

i=1

X

n

@X

X

=

1

a =

na

= a = M(X):

(11)

n

n

i=1

X

tAKIM OBRAZOM, WYBORO^NAQ SREDNQQ (7) QWLQETSQ NESME]<NNOJ OCENKOJ DLQ MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ.

u^ITYWAQ, ^TO DISPERSII Xi RAWNOMERNO OGRANI^ENY D(Xi) = 2, ZAPI[EM ZAKON BOLX[IH ^ISEL (TEOREMA ~EBY[EWA)

1

n

1 n

M(Xi) < "1

nlim P 0 n

i=1

Xi ; n

i=1

= 1:

!1

@

A

i W NA[EM SLU^AE

X

X

n!1

j

;

j

X

< ") = 1:

lim P (

M(X)

zNA^IT, WYBORO^NAQ SREDNQQ X QWLQETSQ I SOSTOQTELXNOJ OCENKOJ DLQ

MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ.

2

.

iSSLEDUEM WYBORO^NU@ DISPERSI@ S

wNA^ALE WY^ISLIM D(X).

1

n

1

n

1

n

@

X

A

@X

A

=

X

D(Xi) =

2

D(X) = D 0

n

Xi1 = 2 D

0

Xi1

n

i=1

n

i=1

i=1

1

n

n 2

2

D(X)

=

X

2

=

=

=

:

(12)

n

2

2

n

n

i=1

n

dALEE,

2

1

n

2

1

n

2

S = n

X

(Xi ; X) =

n

X

((Xi ; a) ; (X ; a)) =

i=1

i=1

1

n

2

2

n

1

n

2

= n

X

(Xi

; a)

; n(X

; a)

X

(Xi

; a) + n

X

(X ; a) =

i=1

i=1

i=1

1

n

2

2

n

1

2

= n

X

(Xi ; a)

; n(X

; a)(

X

Xi

; na) + nn(X ; a) =

i=1

i=1

1

n

2

2

2

=

n

X

(Xi ; a) ; n(X ; a)n(X ; a) + (X ; a) =

i=1

99

n;1 n

1

n

2

2

= n

X

(Xi ; a) ; (X ; a) :

i=1

tEPERX

2

1

n

2

2

A

@

X

(Xi

; a)

M(S ) = M 0n

i=1

; (X ; a) 1 =

1

n

2

2

=

n

X

M(Xi ; a) ; M(X ; a)) =

i=1

1

n

2

2

= n

X

M(Xi ; M(Xi))

; M(X ; M(X)))

=

i=1

1

n

1

n

D(X)

= n

X

D(Xi) ; D(X) = n

X

D(X) ; n

=

i=1

i=1

=

1 nD(X)

;

D(X)

= D(X)

;

D(X)

= n ; 1D(X):

n

n

n

n

zDESX U^LI (11), (12). pOLU^ILI, ^TO

(13)

(14)

M(S2) = n ; 1D(X) 6= D(X); n

I PO\TOMU, WYBORO^NAQ DISPERSIQ (9) QWLQETSQ SME]<NNOJ OCENKOJ DLQ DISPERSII.

tAK KAK lim = 1, TO IZ (13) POLU^AEM

n!1

lim

M(S2) = lim

n ; 1D(X) = D(X);

n!1

n!1

n

I OTS@DA SLEDUET, ^TO OCENKA S2 (9) QWLQETSQ ASIMPTOTI^ESKI NESME-

]<NNOJ DLQ DISPERSII.

wOZXM<M WMESTO S2

1

n

2

n

S

2

X

2

;

;

= n

1

(Xi ; X)

= n

1 S

(15)

i=1

(S 2 { "ISPRAWLENNAQ" WYBORO^NAQ DISPERSIQ).

iMEEM

M(S 2) =

n

M(S2) =

n n

; 1D(X) = D(X):

n ; 1

n ; 1

n

tAK ^TO OCENKA S 2 (15) QWLQETSQ UVE NESME]<NNOJ DLQ D(X): mOVNO POKAZATX, ^TO ONA QWLQETSQ SOSTOQTELXNOJ DLQ D(X).

100

f(x; Q1; Q2; :::; Qk) IZU^AEMOJ SLU^AJ-

uPRAVNENIE. dOKAZATX, ^TO

2 1		n	2	2	2			1			n	2	2
		X						;			X
S = n	(		xi	; nX ); S		= n			1	(		xi	; nX ):
		i=1									i=1

zAME^ANIE. nA PRAKTIKE PRI BOLX[IH n (n > 100) WMESTO S 2 IS- POLXZU@T S2:

pRIMER 4. wY^ISLITX WYBORO^NU@ "ISPRAWLENNU@" DISPERSI@ DLQ WYBORKI OB_EMA n = 10: 3, 7, 7, 0, 2, 1, 2, 3, 5, 4.

pREDWARITELXNO NAHODIM

	10			10		2			34
	X			X
		xi = 34;				xi	= 166; X =		10	= 3; 4:
	i=1			i=1
	tOGDA			1
	S 2 =				(166			; 10 3; 42) = 5; 6:
			10 ; 1

3.4.2 mETOD MOMENTOW

pUSTX PLOTNOSTX WEROQTNOSTI

NOJ WELI^INY ZAWISIT OT k PARAMETROW (NEIZWESTNYH).

mETOD MOMENTOW POLU^ENIQ OCENOK Q ; Q	; : : : ; Q SOSTOIT W SLEDU@-
1 2	k
]EM:
PRIRAWNIWA@TSQ k PERWYH TEORETI^ESKIH I \MPIRI^ESKIH (PO WY-

BORKE) MOMENTOW, I IZ POLU^ENNOJ SISTEMY k URAWNENIJ S k NEIZWEST- NYMI OPREDELQ@TSQ OCENKI.

	1 n	xj =	+1		xjf(x; Q ; Q ; :::; X )dx		(j = 1; 2; : : : ; k)	(16)
			Z
	n i=1 i				1 2	k
	X		;1
j			j	)). w (16) SLEWA \MPIRI^ESKIE, SPRAWA TEORETI^ES-
(X	= j; j = M(X
KIE MOMENTY.

zAME^ANIE. w METODE MOMENTOW MOVNO PRIRAWNIWATX CENTRALXNYE TEORETI^ESKIE I \MPIRI^ESKIE MOMENTY k = mk

2		1 n		2
k = M[(X ; M(X))	]; mk =	n	i=1	(xi ; X)	:
			X

pRIMER 5. nAJTI METODOM MOMENTOW PO WYBORKE x1; x2; : : : ; xn TO^E^- NU@ OCENKU NEIZWESTNOGO PARAMETRA POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ, PLOTNOSTX KOTOROGO f(x) = e; x (x 0):

101

rE[ENIE. pRIRAWNIWAEM NA^ALXNYJ TEORETI^ESKIJ MOMENT PERWO- GO PORQDKA ( 1 RAWNYJ M(X)) \MPIRI^ESKOMU MOMENTU PERWOGO PORQDKA RAWNOMU X; POLU^AEM

M(X) = X:

pRINQW WO WNIMANIE, ^TO MATEMATI^ESKOE OVIDANIE POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ RAWNO 1= ; IMEEM

1= = X:

oTS@DA

= 1=X:

iTAK, ISKOMAQ TO^E^NAQ OCENKA PARAMETRA POKAZATELXNOGO RASPRE- DELENIQ RAWNA WELI^INE, OBRATNOJ WYBORO^NOJ SREDNEJ

= 1=X:

pRIMER 6. nAJTI METODOM MOMENTOW PO WYBORKE x1; x2; : : : ; xn TO^E^- NYE OCENKI NEIZWESTNYH PARAMETROW a I NORMALXNOGO RASPREDELENIQ

	1		2	2
f(x) =	p		e;(x;a)	=(2	):
		2

rE[ENIE. pRIRAWNIWAEM NA^ALXNYJ TEORETI^ESKIJ MOMENT PERWO- GO PORQDKA 1 = M(X) \MPIRI^ESKOMU MOMENTU PERWOGO PORQDKA RAW-

NOMU X, I TAKVE CENTRALXNYJ TEORETI^ESKIJ MOMENT WTOROGO PORQDKA2 = D(X) CENTRALXNOMU \MPIRI^ESKOMU MOMENTU WTOROGO PORQDKA

m2	= S2
		2 = m2:
	1 = X;
		2	):
	(M(X) = X; D(X) = S

pRINQW WO WNIMANIE, ^TO MATEMATI^ESKOE OVIDANIE NORMALXNOGO RASPREDELENIQ RAWNO PARAMETRU a, DISPERSIQ RAWNA 2 IMEEM:

		2	2	:
a = X;			= S

oTS@DA POLU^AEM ISKOMYE TO^E^NYE OCENKI PARAMETROW NORMALXNOGO

RASPREDELENIQ:		p
	=		2	:
a = X;			S

102