6. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение с помощью обратной матрицы.

В этой статье поговорим о матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида , которые в матричной форме записываются как, где- основная матрица системы,- матрица-столбец неизвестных переменных,- матрица свободных членов. Сначала опишем суть матричного метода, остановимся на условии применимости этого метода, далее подробно разберем решения нескольких примеров. Сразу оговоримся, что решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и решение СЛАУ с помощью обратной матрицы есть одно и то же. Поэтому рекомендуем освежить в памяти теорию разделаобратная матрица: определение, свойства, методы нахождения. Приступим. Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравненияслева на(порядки матрицA ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как, а по определению обратной матрицы(E– единичная матрица порядка n на n), поэтому Таким образом,решение системы линейных алгебраических уравнений по матричному методу определяется равенством . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы. Мы знаем, что квадратная матрицаА порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУn ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С nНЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.

Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицыА может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как. Итак, задача свелась к построению обратной матрицы. Найдем ее. Мы знаем, что для матрицыобратная матрица может быть найдена как, где- алгебраические дополнения элементов.

7.Исследование систем m линейных уравнений c n неизвестными. Метод Гаусса.

 Исследовать систему линейных уравнений – означает определить, какой является эта система – совместной или несовместной, и в случае её совместности выяснить, определённая эта система или неопределённая.

Условие совместности системы линейных уравнений даёт следующая теорема

Теорема 6.1 (Кронекера–Капелли).

Система линейных уравнений совместна  тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы:

Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем.

Теорема 6.2. Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой

Теорема 6.3. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.

Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных, Тогда:

1) при система несовместна;

2) при система совместна, причём, если ,система  определённая; если же ,система неопределённая.

Определение 6.1. Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные  равны нулю.

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы Dсистемы матрицу A системы приводят к ступенчатому виду:

 Если среди чисел есть отличные от нуля, система несовместна.

     Если то:

     1) при r = n исходная система равносильна системе:

имеющей единственное решение (сначала находим из последнего уравнения ,из предпоследнего и т. д.);

    2) при r < n исходная система равносильна системе:

имеющей бесчисленное множество решений ( - свободные переменные).