ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЕВЕРСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»»
Утверждаю Зав.кафедрой ВМ Профессор
_______________ Н.И. Федосов «____»_____________2010 г.
И.Л. Фаустова
Высшая математика Контрольная работа «Линейная алгебра»
Практическое руководство
Северск 2010
УДК 517.8(075) ББК _____
Ф 517
Фаустова И.Л. Высшая математика. Контрольная работа «Линейная алгебра» : практическое руководство. – Северск: Изд. СТИ НИЯУ МИФИ, 2010.–44 с.
В данном руководстве рассматривается раздел линейной алгебры, посвященный определителям, матрицам и системам линейных уравнений. Руководство содержит практические рекомендации для студентов, самостоятельно изучающих раздел «Линейная алгебра». Все задания разбиты на варианты, позволяющие осуществлять индивидуальный подход к проверке качества знаний студентов.
Руководство предназначено для студентов первого курса СТИ НИЯУ МИФИ, очной, очно-заочной и заочной форм обучения специальностей 140604 («Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов»), 140306 («Электроника и автоматика физических установок»), 240801 («Машины и аппараты химических производств»), 250900 («Химическая технология материалов современной энергетики»), 140211 («Электроснабжение»), 220301 («Автоматизация технологических процессов и производств в ядерно-химической отрасли»).
Руководство одобрено на заседании кафедры высшей математики (про-
токол № 9 от " 11 " ноября 2009 г.).
Печатается в соответствии с планом выпуска учебно – методической литературы на 2010 г., утвержденным Ученым Советом СТИ НИЯУ МИФИ.
Рег.№ _________ от «_____» _______________
Рецензент И.В. Карелина–доцент кафедры ВМ СТИ НИЯУ МИФИ, канд.физ.–мат. наук
Редактор Р.В. Фирсова
Подписано к печати "___"________ Формат 60х84/32 Гарнитура Times New Roman. Бумага писчая № 2.
Плоская печать. Усл.печ.л. 1,78 Уч.изд.л. 2,3 Тираж 50 экз. Заказ ______
Отпечатано в ИПО СТИ НИЯУ МИФИ 636036 Томская обл., г. Северск, пр. Коммунистический, 65
2
|
Содержание |
|
1 |
Содержание теоретической части темы «Линейная алгебра» ................... |
4 |
2 |
Методические указания к выполнению контрольной |
работы |
|
«Линейная алгебра» ........................................................................................ |
5 |
3 |
Варианты контрольной работы .................................................................... |
13 |
|
Рекомендуемая литература............................................................................ |
43 |
1 Содержание теоретической части темы «Линейная алгебра»
1.1 Определители второго и третьего порядков. Свойства определите-
лей.
1.2Теорема Лапласа. Определители порядка n.
1.3Матрицы и действия над ними.
1.4Обратная матрица.
1.5Решение матричных уравнений.
1.6Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
1.7Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения и классификация. Теорема Кронекера – Капелли. Критерий определенности системы.
1.8Матричный метод решения системы линейных уравнений.
1.9Метод Крамера.
1.10Метод Гаусса.
1.11Системы линейных однородных уравнений.
4
2 Методические указания к выполнению контрольной работы «Линейная алгебра»
Задача 1 – Вычислить определитель четвертого порядка двумя способами:
а) разложить по какой-либо строке или столбцу; б) преобразовать определитель, получив нули в какой-либо строке или
в каком-либо столбце, используя свойства определителя, а затем разложить его по этой строке или столбцу
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
A |
|
= |
−2 |
1 |
−4 |
3 |
. |
|
|||||||
|
3 |
−4 |
−1 |
2 |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
3 |
−2 |
−1 |
|
Решение – а) разложим определитель по элементам первого столбца:
A = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 + a41 A41 ,
где Ai1 - алгебраические дополнения элементов ai1 (i = |
|
). |
|
|
|
||||||||||||||||||
1,4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Тогда |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
3 |
|
+ (−2) (−1)1+2 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
A |
|
=1 (−1)1+1 |
|
− 4 −1 |
2 |
|
|
− 4 −1 2 |
+ |
|
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
− 2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
− 2 |
|
−1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
+3 (−1)1+3 |
|
1 −4 |
3 |
|
+ 4 (−1)1+4 |
1 −4 3 |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
−1 |
|
|
−4 |
−1 |
2 |
|
|
Таким образом, исходный определитель четвертого порядка сведется к четырем определителям третьего порядка, каждый из которых можно вычислить, разложив по элементам, например, первого столбца или применяя правило треугольников:
1 |
−4 |
3 |
|
−1 2 |
|
−4 |
3 |
|
|
−4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
−4 −1 |
2 |
=1 (−1)2 |
+(−4) (−1)3 |
+3 (−1) |
4 |
= |
||||||
3 |
−2 |
−1 |
|
−2 −1 |
|
−2 |
−1 |
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5 + 40 −15 = 30 ;
5
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
−4 −1 2 |
= 2 +32 +18 +12 +8 −12 = 60; |
|||||||||||
3 |
−2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
−4 |
3 |
|
|
= 90; |
1 |
−4 |
3 |
|
= −120 . |
|
|
3 |
−2 |
−1 |
|
|
−4 |
−1 |
2 |
|
|
Окончательно получим:
A =1 30 + 2 60 +3 90 + (−4) (−120) = 900 ;
б) вычисления значительно упрощаются, если воспользоваться свойствами определителя и получить нули в какой-либо строке или столбце. Обо-
значим строки определителя буквой S , а столбцы - K . Тогда S1 +3S4 озна-
чает, что к первой строке нужно прибавить три четвертых строки. Действия над строками и столбцами будем писать у знака равенства при преобразовании определителя, учитывая свойства определителя:
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
S2 |
+2S1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
5 |
2 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
− 2 1 |
− 4 |
3 |
0 |
5 |
2 |
11 |
|
|
|
||||||
A |
|
= |
=1 |
|
−10 |
−10 |
−10 |
= |
||||||||||
|
3 |
− 4 |
−1 |
2 |
|
= |
0 |
−10 |
−10 |
−10 |
||||||||
|
|
|
S3 |
−3S1 |
|
|
−5 |
−14 |
−17 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
3 |
− 2 |
−1 |
S4 |
−4S1 |
0 −5 −14 |
−17 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
11 |
S2=+S1 |
|
5 |
2 |
11 |
|
−1 |
2 |
|
=900. |
|
|
|
|
||||||||||
=1 2 |
−5 |
−5 |
−5 |
1 2 |
0 |
−3 |
6 |
=1 2 5 3 6 |
|
||||
|
−5 |
−14 −17 |
S3 +S1 |
|
0 |
−12 −6 |
|
− 2 |
−1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: A = 900 .
6
где
где
Задача 2 – Решить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
−3 |
1 |
|
|
0 |
2 |
3 |
|
||
|
2 |
0 −2 |
|
|
−1 |
4 |
4 |
|
; |
|
|
|
X = |
|
|||||||
|
4 |
−4 |
3 |
|
|
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
б) систему линейных уравнений матричным способом. |
|||
x |
1 −3x 2 + x3 |
= −4, |
|
|
2x1 |
−2x3 |
= 0, . |
|
|||
|
−4x 2 |
+3x3 |
= −1. |
4x1 |
Решение – а) запишем данное уравнение в буквенном виде |
A X = B , |
||||||||||||||||
|
1 −3 1 |
|
|
|
0 2 3 |
|
|
||||||||||
|
|
2 0 |
−2 |
|
|
|
−1 4 4 |
|
|
|
|||||||
A = |
|
, B = |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
4 −4 3 |
|
|
|
3 4 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Умножим обе части этого уравнения слева на A−1 : |
|
|
|
||||||||||||||
A−1 AX = A−1 B EX = A−1 B X = A−1 B , |
(1) |
||||||||||||||||
A−1 - обратная матрица к матрице A, которая находится по формуле: |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
||||
A−1 = |
|
A , A = A A A |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
12 |
22 |
|
32 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
23 |
|
33 |
|
|
Aij - алгебраические дополнения элементов aij |
матрицы А. |
|
|||||||||||||||
Для исходного уравнения вычислим определитель |
|
|
|
||||||||||||||
|
A |
|
|
|
1 |
−3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
2 0 −2 |
= 26 ≠ 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
A - невырожденная (т.е. A−1 существует).
7
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
A =(−1)2 |
|
0 |
− 2 |
|
|
= −8; A |
|
= (−1)3 |
|
2 |
|
−2 |
|
= −14; A = (−1)4 |
|
2 |
0 |
|
= −8; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
− 4 |
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
4 |
− 4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A = (−1)3 |
|
|
|
−3 1 |
|
= 5; A = (−1)4 |
|
1 1 |
|
= −1; A = (−1)5 |
|
1 −3 |
|
|
= −8; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
− 4 |
3 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
4 |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A = (−1)4 |
|
−3 |
1 |
|
|
= 6; A = (−1)5 |
|
1 |
1 |
|
= 4; A = (−1)6 |
|
1 −3 |
|
= 6. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
0 |
− 2 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Составим союзную матрицу А*, элементами которой являются алгеб- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
раические дополнения элементов матрицы А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−14 |
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
−8 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Запишем обратную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
8 |
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
= |
|
|
|
−14 |
−1 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
−8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение матричного уравнения найдем по формуле (1):
|
|
1 |
−8 5 6 |
|
|
0 2 3 |
1 |
13 28 |
8 |
|
|
||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
−14 |
|
−1 4 |
|
|
−1 4 4 |
= |
|
|
13 |
−16 −38 |
. |
|||||||||||
26 |
|
26 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
−8 |
|
−8 6 |
|
|
|
3 4 2 |
|
|
26 |
−24 −44 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Сделаем проверку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
−3 1 |
|
|
13 28 |
|
8 |
|
|
0 2 |
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
−2 |
|
|
13 |
−16 |
− |
38 |
|
= |
−1 4 |
4 |
. |
||||
|
|
|
|
26 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
−4 3 |
|
|
|
26 |
−24 |
− |
44 |
|
|
3 4 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание
Решение матричного уравнения вида X = A B следует находить по формуле X = B A−1;
8
б) рассмотрим систему линейных уравнений |
|
|||
x |
1 −3x 2 + x3 |
= −4, |
|
|
|
2x1 |
−2x3 |
= 0, |
(2) |
|
||||
|
−4x 2 |
+3x3 |
= −1. |
|
4x1 |
|
Решение – Запишем систему (2) в буквенном виде |
A X = B , где |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
1 |
|
x |
|
|
|
−4 |
||
|
|
|
|
A = |
|
2 |
0 −2 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, X = x |
2 |
|
, B = |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
−4 |
3 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|||||
Так как |
|
A |
|
≠ 0 , отсюда следует, |
что система (2) |
имеет единственное |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
решение. Это |
|
|
решение |
|
согласно |
пункту а) |
находится по формуле |
||||||||
X = A−1 B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что основная матрица системы А совпадает с матрицей А из пункта а) и обратная матрица А-1, следовательно, уже найдена в пункте а).
Тогда решение системы (2) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
−8 5 6 |
−4 1 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
2 |
= |
|
|
|
|
−14 |
−1 4 |
|
0 |
|
= |
2 |
. |
||
|
|
26 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
−8 6 |
|
−1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, x1 =1, |
x2 = 2 , x3 =1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Сделаем проверку, подставив найденные неизвестные в исходную сис- |
||||||||||||||||||
тему (2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −6 +1 = −4 |
- |
|
истина, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 − 2 = 0 |
- |
|
истина, |
|
||||||||||
|
|
|
|
4 −8 + 3 = −1 |
- |
|
истина. |
|
||||||||||
|
1 |
|
13 |
|
|
28 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а) X = |
|
|
13 |
|
−16 |
|
−38 |
, б) x1 |
=1, |
x2 = 2 , x3 =1. |
||||||||
26 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
26 |
|
−24 |
−44 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Задача 3 – Дана система линейных уравнений (2):
а) доказать, что эта система имеет единственное решение; б) решить систему методом Крамера; в) решить систему методом Гаусса.
Решение – а) для того, чтобы доказать, что система имеет единственное решение, необходимо проверить, что определитель основной матрицы
системы A отличен от нуля. Имеем
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
2 0 − 2 |
|
= 26 ≠ 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
− 4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
система имеет единственное решение; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
б) решение системы можно получить по формулам Крамера: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
Ai |
|
|
, i = 1, 2, 3, |
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
Ai |
|
- определитель, полученный из определителя системы |
|
|
A |
|
заменой |
|||||||||||||||
|
|
|
|
i -го столбца на столбец свободных членов:
|
A |
|
= 26 , |
|
|
|
|
− 4 |
|
−3 |
1 |
|
= 26 , |
|
|
|
|
|
1 |
|
− 4 |
1 |
|
= 52 , |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A1 |
|
= |
0 |
|
|
|
|
0 −2 |
|
|
|
A2 |
|
= |
|
2 0 − 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
−4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
−1 |
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−3 |
|
|
−4 |
|
= 26 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
= |
|
2 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
− 4 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Используя формулы Крамера (3), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
A1 |
|
|
=1, x |
2 |
= |
|
|
A2 |
|
|
= 2, x = |
|
|
|
A3 |
|
|
|
=1; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) метод Гаусса состоит в том, что путем последовательного исключения неизвестных система уравнений превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) эквивалентную систему уравнений.
Для приведения системы уравнений к ступенчатому виду используются следующие преобразования:
-перестановка любых двух уравнений;
-умножение обеих частей уравнений системы на одно и тоже число;
-прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на число.
При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее
10
приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу системы, выполняя преобразования над ее строками. Запишем расширенную матрицу для системы (2):
1 −3 |
1 |
|
−4 S |
2 |
−2S |
1 |
1 |
−3 1 |
|
−4 |
3S |
3 |
−4S |
1 −3 1 |
|
−4 |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
0 −2 |
|
0 |
|
|
|
|
0 6 |
−4 |
|
8 |
|
|
|
2 |
0 |
3 |
−2 |
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S3 −4S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
−4 |
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
−1 |
|
15 |
|
|
2 S2 |
|
0 |
0 |
13 |
|
13 |
|
По приведенной матрице запишем эквивалентную систему:
x |
−3x |
2 |
+ x |
3 |
= −4, |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
3x2 − 2x3 |
= 4, |
|||
|
|
|
|
13x3 |
=13. |
|
|
|
|
|
Далее реализуем вторую часть метода Гаусса – обратный ход. Выразим из последнего уравнения x3 =1. Подставляя полученное значение x3 во вто-
рое уравнение, находим x 2 . Подставляя найденные значения x 2 , x3 в первое уравнение, находим x1 .
Ответ: x1 =1, x 2 = 2 , x 3 =1.
Задача 4 – Дана система линейных уравнений. Найти ее общее решение и какое-либо частное решение. Сделать проверку по всем уравнениям, подставив частное решение в каждое уравнение системы.
x1 + x 2 + x3 −2x 4 =1, |
|
|
||||
|
+3x |
|
−5x3 |
+3x 4 |
= 3, |
|
2x1 |
2 |
(4) |
||||
|
|
|
−2x3 |
−3x 4 |
|
|
3x1 |
+4x |
2 |
= 2, |
|
||
|
+3x 2 |
−3x3 |
−x 4 =1. |
|
||
2x1 |
|
Решение – Выпишем расширенную матрицу системы (4) и приведем ее к ступенчатому виду:
1 |
1 1 |
−2 |
|
1 |
S |
|
−S |
|
1 |
1 |
1 |
−2 |
|
1 |
|
S |
−S |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
−5 3 |
|
3 |
|
|
|
|
0 |
1 |
−7 |
7 |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
3 2 |
||||||||||||
|
3 |
4 |
−2 |
−3 |
|
2 |
|
S |
2 |
−2S |
1 |
|
0 |
1 |
−5 |
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
3 |
−3 |
−1 |
|
1 |
|
3 |
−3S1 |
|
0 |
0 |
2 |
−4 |
|
−2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
−2 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
−2 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
S3 −S2 |
0 |
1 |
−7 7 |
|
1 |
S4 −S3 |
|
0 |
1 |
−7 7 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
2 |
−4 |
|
−2 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
−4 |
|
−2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
0 |
2 |
−4 |
|
−2 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
1 1 1
Выделим базисный минор, например, 0 1 −7 = 2 ≠ 0 , тогда
0 0 2
x1 , x 2 , x3 - базисные неизвестные, x 4 - свободное неизвестное. Запишем экви-
валентную ступенчатую систему, перенеся свободное неизвестное в правую часть:
x |
+ x |
2 |
+ x |
=1 + 2x |
4 |
, |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
||
|
|
x2 −7x3 =1 −7x4 , |
|||||
|
|
|
|
2x3 = −2 + 4x4. |
|||
|
|
|
|
Обратным ходом, начиная с последнего уравнения, найдем x1 , x 2 , x3 , а именно:
x1 =8 −7x 4 ,
x 2 = −6 +7x 4 ,x3 = −1+2x 4 .
Эти равенства определяют общее решение системы (4): давая в них свободному неизвестному произвольные числовые значения, получим все
решения системы. Так, например, |
пусть |
x 4 = 0 , тогда x1 =8 , x 2 = −6 , |
|
x3 = −1. |
|
|
|
Проверка: |
8 −6 −1 =1 |
- |
истина, |
|
16 −18 +5 = 3 |
- |
истина, |
|
24 −24 +2 = 2 |
- |
истина, |
|
16 −18 +3 =1 |
- |
истина. |
x1
Ответ: x 2
x3
=8 −7x 4 , |
|
|
|
|
= −6 +7x 4 , |
- |
общее |
решение |
системы, |
= −1+2x 4 |
|
|
|
|
x1 = 8, x2 = −6, x3 = −1, x4 = 0 – частное решение системы.
12