Чистяков Ч1

Рис. 22. Эффективные сечения атомов ртути: а - общее, б - упругое, в - неупругое [30].

Рис. 23. Зависимость эффективных сечений ионизации аргона электронами и ионами аргона от их энергий.

41

Вероятность ионизации ионами становится отличной от нуля при энергии около 100 эВ, что значительно превосходит порог ионизации аргона электронами (15,7 эВ). Сечение QИИ растет в области энергий от 200 эВ много медленней, чем QИЭ. Таким образом, до энергии порядка 100 эВ ионизация положительными ионами не играет роли. Это справедливо для всех газов и паров. Отсюда для большинства видов электрических разрядов ионизация положительными ионами не является существенной. Исключение составляют высоковольтный разряд и пробой вакуума.

Подробное изложение процессов электронных и ионных соударений с атомами и молекулами содержится в работах [12–14].

6. Функция распределения электронов по скоростям в газе

Функция распределения определяет количество электронов в газе, имеющих

скорости в интервале около v и заключенных в объеме около r			во времени t . Таким
образом, она является функцией v, r, t и вида частиц.
Эта функция нормируется таким образом, что
	∫∫ f (v,r,t)dvdr = N ,		(21)
где N - общее число частиц (электронов);
	∫ f (v,r,t)dv = n(r,t) ,		(22)
где n - плотность электронов.
Если n	не зависит от t, то состояние, представляемое	f, стационарное; если n
не зависит от	r, то распределение будет однородным; если f	зависит только от |v|, то
функция изотропна.
Функцию f при соответствующих предположениях			можно получить при

решении основного уравнения кинетической теории газов (уравнения Больцмана). Это уравнение в общем случае

∂f + v grad f(r) + a grad f(v) + A − C = 0	(23)
∂t

Отдельные члены этого уравнения могут быть специализированы для электронов. При наличии электрического и магнитного полей для ускорения получаем:

a= F = eE + e[vB] . m m

42

Член (А–С) характеризует изменение числа электронов с данной скоростью v, происшедшее только в результате соударений. В общем случае сюда включаются все виды соударений - упругие и неупругие.

Уравнение (23) является интегро-дифференциальным с частными производными, для которого не существует общих методов решения. Особая трудность этого уравнения обусловлена присутствием правой части (А–С), которая ставит функцию f в зависимость от электронов с самыми различными энергиями. Однако для некоторых частных случаев и при введении ряда допущений оказывается возможно определить f.

Рассмотрим частный случай. Газ заключен между плоскими параллельными электродами. Предположим, что:

1)поле E слабое, магнитное поле B = 0, температура газа ТГ = 0;

2)давление газа значительно. Приращение энергии электрона на длине

свободного пробега λe невелико, и эта энергия растрачивается электронами при упругих соударениях. Неупругих соударений нет. Поперечное сечение упругих соударений изотропно;

3)функция распределения зависит только от координаты x;

4)ток электронов слабый, и взаимодействие между ними не учитываем;

5)распределение стационарное

∂f = 0, a	y	= a	z	= 0 , a	x	= eE .
∂t						m

Ток электронов в направлении оси x равномерный. Кинетическое уравнение (23) для этого случая

v			∂f + eE	∂f	+ A− C = 0 .
	x
			∂x m	∂v
				x

Подсчитаем член (А–С) в этом уравнении. До соударений электрон имел скорость υ′ , претерпел соударение типа µ и после cоударения получил скорость υ. Увеличение числа электронов со скоростью υ в секунду рассчитывается следующим

	путем: электрон, имеющий скорость υ′ , в секунду претерпевает	υ′	соударений;
		λ
	полное число электронов, скорости которых лежат в интервале от	υ′	до υ′ + dυ′,

равно f (υ′)dυ′ . Число соударений, при которых электроны выходят из интервала скоростей от υ′ до υ′ + dυ′ в интервал от υ до υ + dυ, составит

43

υ′

f (υ′)dυ′ = υ′Q (υ′) f (υ′)dυ′ .

λ

Из интервала скоростей от

υ

до

υ + dυ

уходят υQ(υ) f (υ)dυ

электронов.

Изменение числа электронов со скоростями в интервале от υ

до υ + dυ

равно

(A − C)dυ . Удобнее использовать

элемент объема пространства скоростей в виде

dω , в этом случае функцию

f (υ)

получим для данного направления скорости и

dω′ = dυ′xdυ′ydυ′z , dω = dυxdυydυz .

При условии

m << M

доля энергии, теряемая электроном при упругом ударе

Δε

2m

2Δυ

Δυ

m

Δυ

3

′

dω

;

,

const

dω

=

.

υ′3

υ3

ε

M

υ

υ

M

υ

Изменение

числа

электронов,

скорости

которых

лежат

вблизи

υ ,

за

счет

упругих столкновений составит:

dω′

1

(A − C)dω = [υ′Q(υ′) f (υ′)

− υQ(υ) f (υ)]dω = [υ′4Q(υ′) f (υ′) − υ4Q(υ) f (υ)]

d

ω

dω

υ3

(A − C) =

1

[υ′4Q(υ′) f (υ′) − υ4Q(υ) f (υ)].

3

υ

Тогда кинетическое уравнение для этого случая запишется как

∂f

eE

∂f

1

[υ4Q(υ) f (υ) − υ′4Q(υ′) f (υ′)]

(24)

υx ∂x

+

=

m ∂υx

υ3

Используем метод возмущенной функции Лоренца. При сделанных ранее

предположениях

функция

будет

зависеть

от

x,

υ

и

υx

.

Лоренц

предложил

υ

использовать для нахождения f

разложение ее в ряд полиномов Лежандра от величины

υx

:

υ

f (x,υ,

υ

x

) = f

(x,υ) + P

υ

x

(x,υ) + P

υ

x

(x,υ) +...= f

(x,υ) +

υ

x

f (x,υ) +..., (25)

f

f

υ

υ

υ

0

1

1

2

2

0

υ 1

где f0 и f

- симметричная и возмущенная части функции. Берем первые два члена

разложения, так как последующие члены при небольших силах поля малы и не

заключают в себе особых физических свойств, а только «дорисовывают» функцию

f .

Подставляя (25) в (24)

υ

∂f +

eE

∂f

= υ

∂f0

+ υ2x ∂f1 +

eE

∂f0

∂υ

+ ∂f1

∂υ

υx

+

f1

−

υx

f

∂υ

=

x

∂x m ∂υx

x

∂x

υ ∂x m

∂υ ∂υx

∂υ ∂υx υ υ

υ2

1

∂υx

44

= υ

x

∂f0

+ υ ∂f1 +

eE

∂f0

υx

+

1

∂

( f υ2) *

∂x

3

∂υ υ

3υ2

∂υ

1

∂x m

υ =

,

dυ

=

υx

υx

. Так как хаотическое движение

[*Пояснение к расчетам

υ2x + υ2y + υ2z

=

dυx

2

2

2

υ

υx

+ υy + υz

значительно превосходит направленное, положим υx υy υz

, 3υ2x = υ2 , υ2x

= 1 .]

υ2

3

Преобразуем и правую часть

1

4

4

4

υx

υ

Q(υ) f

0

(υ) − υ′

Q(υ′) f

0

(υ′) + υ

Q(υ) f (υ)

−

.

3

υ

1

υ

Последний член υ′4Q(υ′) f (υ′)

υ′x

= 0 , так как υ′

может иметь любое значение до

1

υ′

x

соударения, эффективное сечение упругих соударений не зависит от ориентации υ′

(изотропно) и υ′x =0. Рассмотрим разность

υ4Q(υ) f0(υ) − υ′4Q(υ′) f0(υ′) = − [υ4Q(υ) f0(υ)] =

−

∂

[υ4Q(υ) f0(υ)](υ′ − υ) −

∂

[υ4Q(υ) f0(υ)]

m

υ

∂υ

∂υ

M

так как

m

,

′

m

υ′ = (1+

)υ

υ − υ =

M

υ = υ

M

Окончательно получаем

eE

∂f0 υx

+

1

∂

( f υ2)

+ υ

∂f0

+ υ ∂f1 =

x

∂υ υ

3υ2 ∂υ

1

∂x

3

∂x

m

= −

1

∂

υ4Q(υ) f

0

(υ)

m

+ Q(υ) f (υ)υ

x

υ2 ∂υ

M

1

Поскольку переменные

υx и

υ

независимы, то это уравнение выполняется

лишь при следующих условиях:

а)

eE ∂f0 υx

+ υ

∂f0 = Q(υ) f (υ)υ

,

m ∂υ

υ

x

∂x

1

x

умножая на

mυ ,

получаем

eE

∂f0 + mυ ∂f0 = mυQ(υ) f (υ) ;

(26)

∂υ

∂x

1

б)

eE 1 ∂

( f υ2) + υ ∂f1 = −

1

∂

υ4Q(υ) f

0

(υ)

m

,

2

m 3υ

∂υ

1

3 ∂x

υ

2

∂υ

M

45

умножая на 23 mυ , получаем

eE ∂

( f υ2) +

1

mυ2

∂f

3 m2 ∂

υ4Q(υ) f

(υ) .

1 = −

0

(27)

2υ ∂υ

2

1

∂x

2 Mυ ∂υ

Уравнение (26) представляет баланс между увеличением количества движения из-за диффузии и движения в направлении поля и потерями количества движения от соударений. Уравнение (27) представляет баланс между увеличением энергии от диффузии и движения в направлении поля и потерями энергии от соударений.

Рассмотрим однородное распределение. Функция f не зависит от x. Тогда из выражения (26) имеем

eE	∂f0	= mυQ(υ) f (υ) ,	(28)
	∂υ	1
а из выражения (27)

eE

∂

( f υ2) = − 3m2

∂

υ4Q(υ) f

0

(υ) .

(29)

∂υ

1

M ∂υ

Проинтегрируем уравнение (29)

eEf υ

2

= −

3m2

4

(υ) + D ,

υ Q(υ) f

0

1

M

где D – константа интегрирования. При υ → ∞

f1

и

f0 → 0 , следовательно D = 0,

f

= −

3m2

υ2Q(υ) f

0

.

(30)

1

MeE

Подставляем уравнение (30) в (28)

∂f0

= −

3m3υ3Q2(υ)

f0

∂υ

M (eE)2

и интегрируем

3m

3

υ

−

∫ Q2(υ)υ3dυ

2

f0 = Ae

M (eE)

0

.

(31)

Таким образом, основная (симметричная) часть функции распределения зависит

от вида зависимости Q(υ) .

Рассмотрим частные случаи:

1. Q const , что имеет место, например, для Ne. Тогда из формулы

(31)

получаем

− 3m3Q2

υ4

f0 = Ae

4M (eE)2

(32)

46

– распределение Дрювестейна; на рис. 24 показана функция υ2 f0 .

Используем условие нормировки

∞

∫ f04πυ2dυ = n ,

0

подстановкой (заменой), приводим к виду Г – гамма функции с известным решением

∞

Г (z) = ∫ e−ttz−1dt , t = b4υ4 ,

0

πA ∞

−t 1

πA

3

4

3m3Q2

n = b3 0∫ e

dt =

Г

4

;b

=

,

bυ

b3

4M (eE)2

A =

nb3

.

3

πГ

4

2. Q =

Q1

, что найдено, например, для Hg (см.рис. 17):

v

3 m3

Q

2

−

1

υ2

2 M

f0 = Ae

eE

.

(33)

−

mυ2

Это распределение типа максвелловского

2kT и соответствующая ему

Ae

температура

M (eE)2

M (eE

)2

λ

T

=

=

.

(34)

2T

e

3m2Q2k 9mk

1

e

подставляя

Так как формула Q = Qυ справедлива и для средних величин, то Q =

υ

1

1

λ

это выражение в формулу (34) и учитывая, что

2 = 3kTe

получаем

υ

m

=

eE

T

λ

(35)

e

m

3k

M

Это - не истинная температура, так как нет термодинамического равновесия, а

мера средней энергии электронов. Температура

Те пропорциональна Е и λ . Потеря

энергии при упругом ударе зависит от

m

; увеличение

m

снижает Те

и наоборот.

M

M

47

Рис. 24. Функция распределения электронов по скоростям:

Дрювестейна - 1 и Максвелла - 2.

48

В качестве примера рассмотрим Те для ртутного разряда при p = 0,01 тор. В

	этом случае		= 0,01 м; Е = 10В/м;		m		=	1	. Используя формулу (35), получаем
		λ
								607
					M

Те=2,3 105 оК.

Ртутные пары имеют свою температуру. Два газа - газ атомов и газ электронов - хорошо перемешаны, но энергиями обмениваются незначительно и существуют

самостоятельно. При неупругих соударениях

Те

будет меньше,

так как усилится

обмен энергиями.

Покажем, что предположение

f0 >> f1

является действительным. Используя

формулу (30), имеем

f1

= 6

m

3

kT

1

.

(36)

f0

M 2

e eEλ

Подставляя Те из формулы (35) в (36), получаем

eEλ

f1

= 9

m

k

= 3

m

.

(37)

M eEλ 3k

f0

m

M

M

Для приведенного ранее примера со ртутью

f1 = 0,005 f0 . Следовательно,

направленное движение электронов будет выражаться постепенным смещением

электронного облака по полю (это характеризует f1 ), в котором все электроны хаотически движутся.

Если учесть энергии атомов и отдачу их энергий, то в функции распределения получится второй член, и в пределе получим для электронов не нулевые скорости, а скорости соответствующие температуре газа.

При неупругих соударениях функция распределения искажается и форма ее отличается от максвелловской.

Функцию распределения электронов с учетом температуры газа вывел Б.Давыдов, а с учетом неупругих ударов в гелии - Смит. Более общее рассмотрение вопроса можно найти в обзорной статье Маргенау [15] и в книге Грановского [30].

Знание функции распределения и эффективных сечений процессов дает возможность определить любые макроскопические параметры разряда.

Нахождение этой функции для электронов и ионов позволило бы посредством уравнения (22) определить плотность заряда, а отсюда через уравнение divE = ρε

определить поле для любой точки пространства.

49

Функция распределения позволяет определить среднюю скорость хаотического υ и направленного движения u , также плотность дрейфового тока j = ρu .

Для определения интенсивности свечения необходимо найти число

возбуждающих соударений υ = υQв f (υ) .

λв

Полное число возбуждающих соударений

∞

Nв = ∫ υQв(υ) f (υ)dυ.

υмин

Подобным образом определяется число ионизирующих и других соударений. Расчет функции распределения обычно очень сложен, и в теории электрического

разряда в газах часто используют величины параметров, полученные на опыте.

50