3 лекция; РГР 3 математика

I курс, I семестр

Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Теоретический курс

1.Предел функции в точке.

Определение: Число А называется пределом функции в точке х₀ , если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к точке х₀,соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Методы вычисления пределов:

1.По теоремам о пределах.

Теорема 1.Любая функция имеет единственный предел в точке.

Теорема 2.Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов данных функций.

Теорема 3.Предел произведения функций равен произведению пределов данных функций.

Теорема 4.Предел частного функций равен частному пределов данных функций, если предел знаменателя не равен нулю.

2.Если предел знаменателя равен нулю, то применяются методы разложения на множители:

- разложение квадратного трехчлена на множители;

- вынесение общего множителя за скобку;

- метод группировки;

- формулы сокращенного умножения.

3.При раскрытии неопределенности используется:

- первый замечательный предел

- второй замечательный предел

4.Предел функции при .

- Функция называется бесконечно-малой, если ее предел равен нулю.

- Функция называется бесконечно-большой, если ее предел равен бесконечности.

- Функция, обратная бесконечно-большой является бесконечно-малой; функция, обратная бесконечно-малой является бесконечно-большой.

5.Таблица эквивалентностей:

6.Правило Лопиталя.

Если f(x) и g(x) дифференцируемые в окрестности точки х₀ функции и

2.Производная функции в точке.

Определение: Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Чтобы продифференцировать функцию, необходимо:

1.Определить ее вид. В теории дифференцирования их пять: сумма, разность, произведение, частное, сложная.

2.Применить соответствующую теорему:

Теорема 1. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных данных функций.

Теорема 2.Производная произведения двух функций равна

Теорема 3.производная частного двух функций равна

Теорема 4.Производная сложной функции равна

3.Воспользоваться таблицей

Элементарная функция	Сложная функция

Логарифмическое дифференцирование:

1.Прологарифмировать данную функцию.

2.Продифференцировать полученное выражение.

3.Выразить .

3.Схема исследования функций и построение графиков функций.

1.Область определения функции.

2.Исследуем функцию на четность и нечетность.

3.Вычислим точки пересечения с осями координат.

4.Найдем асимптоты графика функции.

5.Исследуем функцию на экстремумы.

6. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба.

7.постоение графика.

Задачи по теме.

Задача 1.Вычислить пределы функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задача 2. Найдите производные функций:

1)

2)

3)

Задача 3. Построить график функции .

1)D(f):

2)Общего вида.

3)ось ОХ: у=0

Ось ОУ: х=0 (невозможно)

4)Асимптоты:

а) вертикальные

Значит х=0 – вертикальная асимптота.

б) наклонные

у=0 – горизонтальная асимптота.

5)Исследование на экстремумы:

max

₀

6) Выпуклость, точки перегиба:

т.п.

0

7)График.

Задание к РГР№3.

1.Вычислить пределы, используя 1-й и 2-й замечательные пределы, эквивалентные бесконечно малые, правило Лопиталя.

2.Найдите производные заданных функций.

3.Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график.