- •Е.А.Коган
- •и естественно-научным дисциплинам
- •Москва 2010
- •Настоящее пособие посвящено двум важным и тесно связанным между собой разделам математики: обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.
- •Подробное изложение теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления содержится во многих учебниках и пособиях, некоторые из которых, рекомендуемые студентам втузов для самостоятельного изучения, приведены в списке литературы.
- •1.1. Основные понятия
- •Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:
- •Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.
- •Поэтому общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.
- •Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни
- •при одном частном значении произвольной постоянной.
- •Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти его общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида
- •Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых.
- •Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения
- •Таким образом, изоклинами данного уравнения являются концентрические окружности с центром в начале координат, причëм угловые коэффициенты касательных к искомым интегральным кривым равны радиусам этих окружностей С.
- •Очевидно, это уравнение с разделëнными переменными. Интегрируя его, получим
- •Следовательно, общий интеграл уравнения будет
- •Тогда
- •Тогда уравнение примет вид
- •Дифференциальное уравнение вида
- •называется приводящимся к однородному. В частности, к этому классу относится уравнение вида
- •В результате уравнение приводится к однородному
- •Возвращаясь к старой переменной, получим
- •Общее решение уравнения примет вид
- •После разделения переменных получим
- •Тогда уравнение (1.18) примет вид
- •Следовательно,
- •Подставляя (1.19) и (1.20) в (1.16), получим общее решение уравнения (1.12) в виде (1.15).
- •Уравнение вида
- •Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид
- •В результате общее решение уравнения будет иметь вид
- •После интегрирования получим
- •Следовательно, общее решение уравнения (2.18) будет
- •Далее ищем решение уравнения (2.17) в форме, аналогичной по структуре выражению (2.19), но произвольную постоянную в (2.19) заменяем неизвестной функцией
- •Подставляя (2.20) в (2.17), получим
- •В качестве практического примера применения метода понижения порядка рассмотрим задачу об осесимметричном изгибе упругих круговых пластин.
- •Определителем Вронского или вронскианом называется функциональный определитель вида:
- •Поэтому теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка может быть переформулирована так:
- •а общее решение запишется в виде
- •Если известно общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего заданному неоднородному, то его частное решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа).
- •Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
- •Интегрируя дифференциальные уравнения первого порядка (2.66), находим
- •Пример. Решить уравнение
- •Определитель этой системы
- •Интегрируя уравнения (2.71), находим
- •Подставляя (2.72) в (2.70), получим общее решение уравнения в виде
- •Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для уравнения (2.90) при граничных условиях
- •Общее решение уравнения согласно (2.92) имеет вид
- •Вычисляем
- •Раскрывая определитель, получим уравнение относительно параметра
- •корни которого являются собственными значениями задачи:
- •Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида
- •Пример. Решить уравнение
- •Уравнение (2.103) есть уравнение Эйлера второго порядка. Применим замену независимой переменной и производных по формулам (2.101), (2.102). Тогда уравнение примет вид
- •Его общее решение
- •Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют вид
- •Поэтому общее решение уравнения (2.104) будет
- •Пример. Решить задачу Коши для уравнения
- •Общее решение уравнения имеет вид
- •Убедимся в этом на примере системы двух уравнений относительно двух неизвестных функций
- •Будем искать частное решение однородной системы в виде
- •Пример. Решить методом Эйлера систему
- •Характеристическое уравнение системы
- •Общее решение однородной системы (3.18) запишется в виде
- •Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений n-го порядка. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Пусть общее решение однородной системы уравнений известно:
- •Пример. Решить систему
- •Принимаем частное решение системы (3.31) в виде
- •Интегрируя эти уравнения, получим
- •Общее решение системы запишется в виде:
- •Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения
- •Будем искать решение задачи в виде
- •Задача сводится к решению дифференциального уравнения
- •Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (4.12).
- •Решение методом Бубнова
- •Как видим, ошибка, полученная при решении методом Бубнова в двучленном приближении, составляет сотые доли процента.
- •Решение методом наименьших квадратов
- •Решение методом коллокаций
- •В результате находим
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "МАМИ"
Кафедра “Прикладная и вычислительная математика” им. Э.И.Григолюка
Е.А.Коган
Одобрено методической комиссией по математическим
и естественно-научным дисциплинам
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ АВТОМОБИЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение
Москва 2010
2
УДК 517.91 (095)
Р е ц е н з е н т ы:
Д-р физ.- мат. наук, проф. Е.Б.Кузнецов - Московский авиационный институт (Государственный технический университет);
д-р физ.- мат. наук, проф. Е.И.Шифрин - Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН.
Коган Е.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационное исчисление в приложении к расчету автомобильных конструкций. Учебное пособие по дисциплине " Математика" для студентов, обучающихся по специальности Автомобиле- и тракторостроение. - М.: МГТУ
“МАМИ”, 2010. - 294 с.
Пособие предназначено для изучения разделов математики, посвящëнных обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению. Оно содержит теоретические сведения в объëме лекционного курса и подробно разобранные примеры решения типовых задач. Приведены также варианты расчëтно–графических работ и варианты тестовых задач и некоторые задачи по расчету механических колебаний и прочности автомобильных конструкций. Пособие может быть использовано студентами в качестве руководства для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических занятий. - Библ. 33.
© Московский государственный технический университет "МАМИ" 2010
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие посвящено двум важным и тесно связанным между собой разделам математики: обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.
Первая часть, посвящëнная дифференциальным уравнениям, является безусловно центральным разделом в математической инженерной подготовке. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений, так как их решения позволяют описать эволюцию изучаемого процесса, характер происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы.
Вывод дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений), описывающих то или иное явление, представляет собой отдельную самостоятельную задачу. Сложность еë состоит в том, что при выводе дифференциальных уравнений необходимо удовлетворить противоречивым требованиям. С одной стороны, построенная математическая модель должна быть адекватной рассматриваемому явлению. С другой стороны, получающиеся дифференциальные уравнения должны иметь по возможности простое решение. Это требует введения различных допущений физического характера, а следовательно, глубокого понимания сути рассматриваемого явления.
С выводом и применением дифференциальных уравнений (или их систем) к решению тех или иных прикладных задач студенты встречаются при изучении различных общеобразовательных и специальных курсов (физики, теоретической механики, сопротивления материалов, электротехники и др.). Предметом настоящего пособия в его первой части является изучение аналитических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Вместе с тем, чтобы показать тесную связь теории дифференциальных уравнений с практикой, в пособие включены некоторые известные решения прикладных задач по изгибу и устойчивости стержней и круговых пластин и колебаниям механических систем.
Вторая часть пособия посвящена вариационному исчисле-
нию.
4
Исследование экстремумов функций является одним из наиболее интересных и важных для практических приложений разделов математического анализа. Но наряду с подобными задачами на практике часто возникает необходимость отыскания максимальных и минимальных значений математических выражений более общего вида – так называемых функционалов - величин, численное значение которых зависит от выбора одной или нескольких функций.
Вариационное исчисление и является разделом математики, посвящëнным исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от одной или нескольких функций, при разного рода ограничениях, налагаемых на эти функции.
Теоретические основы классического вариационного исчисления были заложены в XVIII веке в фундаментальных работах Л.Эйлера и Ж.Лагранжа, хотя большой интерес к различным экстремальным задачам возник ещë в глубокой древности. Истор и- чески первой задачей, известной задолго до нашей эры и отнесëнной впоследствии к так называемым изопериметрическим задачам вариационного исчисления, является “задача Дидоны” – задача отыскания замкнутой линии заданной длины, ограничивающей максимальную площадь [28].
К числу классических задач, оказавших большое влияние на развитие вариационного исчисления, относятся “задача о брахистохроне” (линии наискорейшего спуска) и “задача о геодезических кривых” - линиях наименьшей длины, соединяющих две заданные точки на некоторой поверхности.
В настоящее время вариационные методы очень широко применяются в механике и физике, при решении задач оптимального управления.
Решение классических вариационных задач сводится обычно к решению краевых задач для дифференциальных уравнений.
Пособие по замыслу автора имеет многоцелевое назначение. Оно объединяет в себе функции конспекта лекций и руководства к решению задач и содержит всю информацию, достаточную для получения в конечном итоге практических навыков решения задач по рассмотренным разделам математики.
Для этого в него включены теоретические сведения в объëме, обычно излагаемом на лекциях, многочисленные детально ра-