- •1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •1.1. Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •1.3. Однородные дифференциальные уравнения
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения
- •1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли
- •1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •1.7. Нахождение уравнений кривых с помощью дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •1.8. Применение дифференциальных уравнений 1-го порядка для решения задач физики и химии
- •Справочный материал
- •1.8.1. Дополнительные задачи.
- •1.9. Уравнения Лагранжа и Клеро
1.3. Однородные дифференциальные уравнения
В общем случае однородное дифференциальное уравнение может быть представлено в виде:
, (1.3)
где функции иоднородные функцииодного порядка. Используя свойства однородных функций, уравнение (1.3) можно переписать в виде.
Однородное уравнение решают с использованием замены , то есть. Вычислим. Подставимив уравнение (1.3):
. (1.4)
Так как уравнение (1.4) есть уравнение с разделяющимися переменными и, то остается применить общий алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, как в разделе (1.2). Решив уравнение (1.4) с помощью замены, записываем решение исходного уравнения (1.3).
Пример 1.3.Решить дифференциальное уравнение.
Решение. 1) Легко заметить, что в нашем случае=и=− однородные функции 2-го порядка, которое решаем применением замены, то есть.
2) Используя , перепишем уравнение– уравнение с разделяющимися переменнымии. Для полученного уравнения выделим очевидные решения=0, то естьи.
3) После этого запишем уравнение в виде =, которое легко интегрируется=, или, или. Учитывая, что− произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде.
4) Учитывая что , запишем общее решение уравнения. При=0 из общего решения получаем также решение.
Ответ.;=0.
Задание 1.3. Решить однородное уравнение.
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.3.1. |
1.3.16. |
| |
1.3.2. |
1.3.17. |
| |
1.3.3. |
1.3.18. |
| |
1.3.4. |
1.3.19. |
| |
1.3.5. |
1.3.20. |
| |
1.3.6. |
1.3.21. |
| |
1.3.7. |
1.3.22. |
| |
1.3.8. |
1.3.23. |
| |
1.3.9. |
1.3.24. |
| |
1.3.10. |
1.3.25. |
| |
1.3.11. |
1.3.26. |
| |
1.3.12. |
1.3.27. |
| |
1.3.13. |
1.3.28. |
| |
1.3.14. |
1.3.29. |
| |
1.3.15. |
1.3.30. |
|
1.4. Линейные дифференциальные уравнения
Заданное дифференциальное уравнение называют линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-ой степени:
.
Рассмотрим решение уравнения, записанного в виде применением подстановки (метод Бернулли), гдеи.
Для функции вычислим производнуюи вместе с выражениемподставим в заданное уравнение:
.(1.5)
Потребуем, чтобы функция удовлетворяла условию. Это уравнение с разделяющимися переменными. Нам нужно одно частное решение уравнения. Разделим переменные и проинтегрируем, или. Подставивв (1.5), получим для нахожденияуравнение с разделяющимися переменными. Последнее легко интегрируется+.
Остаётся записать общее решение заданного уравнения =, из которого для заданных начальных условий выделяют частное решение.
Пример 1.4. Решить дифференциальное уравнение. Найти его частное решение при условии.
Решение.1) Заданное уравнение линейное относительно и , причёми.
2) Применяя подстановку , перепишем заданное уравнение=.
3) Потребуем, чтобы . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его частное решение=, или=.
4) Теперь, интегрируя уравнение: , получаем =+=+.
5) Записываем общее решение заданного уравнения =·.
6) Используя начальные условия (задача Коши), находим =1 и записываем частное решение уравнения=·.
Ответ.=·– общее решение,=·– частное решение.
Задание 1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение и найти частное решение для заданных начальных условий.
Вар. |
Уравнение и начальные условия: |
Вар. |
Уравнение и начальные условия: |
1.4.1. |
, . |
1.4.16. |
, . |
1.4.2. |
, . |
1.4.17. |
, . |
1.4.3. |
, . |
1.4.18. |
, . |
1.4.4. |
, . |
1.4.19. |
, . |
1.4.5. |
, . |
1.4.20. |
, . |
1.4.6. |
, . |
1.4.21. |
, . |
1.4.7. |
, . |
1.4.22. |
, . |
1.4.8. |
, . |
1.4.23. |
, . |
1.4.9. |
, . |
1.4.24. |
, . |
1.4.10. |
, . |
1.4.25. |
, . |
1.4.11. |
, . |
1.4.26. |
, . |
1.4.12. |
, . |
1.4.27. |
, . |
1.4.13. |
, . |
1.4.28. |
, . |
1.4.14. |
, . |
1.4.29. |
, . |
1.4.15. |
, . |
1.4.30. |
, . |