МП-29_БДЗ_1_2015

2

Даны шесть геометрических

векторов, заданных координатами в некотором декартовом базисе: a1 2,3, 1 ,

a

6, 5, 3 , a 4,3,3 , a

4

7,0, 4 , a

1,0,1 , a 2,5,2 . На множестве M этих векторов определено

2

3

5

6

бинарное отношение : ai a j

(вектор ai

перпендикулярен или коллинеарен вектору a j ). Найти мощность этого

бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитив-

ным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение

является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Четыре курьера должны разнести 8 разных товаров по 8 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

3б

Сколькими способами можно окрасить четыре комнаты в квартире, если имеются краски двенадцати цветов и каждая

комната должна быть окрашена в свой, отличный от других комнат, цвет?

3в

Сколько чисел можно получить, переставляя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы четные цифры шли по убыванию,

и нечетные цифры шли по убыванию?

3г

Каждый год на городскую елку вешают гирлянду, состоящую из 10 лампочек красного цвета, 10 – синего, 10 – зелено-

го, 10 – желтого. Электрику сообщили, что в гирлянде перегорели 7 лампочек, не уточнив при этом какие именно.

Электрик решил посчитать, сколько могло возникнуть вариантов перегорания ламп (например, один вариант перего-

рания - перегорание 3-х красных

и 4-х зеленых ламп, другой вариант – перегорание 1-й красной, 2-х зеленых и 4-х

желтых ламп и т.д.). Какой результат он получил?

2

Даны шесть плоскостей

в пространстве: 1 : x 3y 4z 1 0 ,

2 : x y z 8 0 ,

3 : 3x y z 10 0 ,

4 : 5x y 6z 15 0 , 5 : x 6 y z 4 0 , 6 : x z 6 0 . На множестве M этих плоскостей определено би-

нарное отношение : i j (расстояние от точки A(1,1, 1) до плоскости i отличается от расстояния от точки

A(1,1, 1) до плоскости j

не более чем на 1). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли

оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением

порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать

разбиение на классы эквивалентности.

3а

У Анюты есть 7 желтых кубиков, 10 зеленых, 8 синих и 9 красных. Сколькими способами она может отобрать из них 6

кубиков для постройки домика?

3б

Двадцать четыре студента педагогического вуза должны пройти практику, отработав вожатыми одну смену в детском

летнем лагере. Им нужно разбиться на три равные группы для работы в первую, вторую и третью смену. Сколькими

способами может быть сформирована команда для работы в третью смену?

3в

Баба Маша, дед Семен и их внук Ваня на даче вечером любят смотреть телевизор. Желания их совпадают редко, по-

этому баба Маша смотрит телевизор на кухне, дед Семен - в гостиной, а Ваня - на террасе. Дачные телевизоры при-

нимают 7 каналов. Сколько вариантов одновременного просмотра может застать приехавшая на дачу тетя Ира, если

для нее важно, кто какой канал смотрит?

3г

Сколько различных дробей можно составить из чисел 2, 3, 5, 7, 31, 41 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных

числа?

2

Дано шесть

бесконечно

малых

при x 0

функций: 1 cos 2x2 ,

sin x tg x ,

ln(1 2x2 ) ,

1

2

3

ex2

3

2x x3 ,

1 ,

8 2x2 2 . На множестве M этих функций определено бинарное отношение :

4

5

6

i j (при x 0

бесконечно малая функция i имеет тот же порядок малости, что и функция j ). Найти

мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметрич-

ным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если би-

нарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Тайным голосованием двадцать четыре студента группы голосуют по 6 предложениям. Сколькими способами могут

распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов,

поданных за каждое предложение?

3б

В магазине продаются поздравительные открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 7 открыток различ-

ного вида?

3в

Ване на лето задали прочитать 10 рассказов Чехова. Когда до начала учебного года осталось немногим более двух не-

дель, Ваня решил составить график чтения. Сколькими способами он может это сделать, если он собирается прочитать

все рассказы за 14 дней, прочитывать любой рассказ в течение одного дня и не читать более одного рассказа в день?

(График Вани выглядит примерно так: 1-й день – «Лошадиная фамилия», 2-й день – отдых, 3-й день – «Душечка» и

т.д.)

3г

Сколько можно построить различных конусов, у которых высота и радиус основания могут быть равны любому нату-

ральному числу от 4 до 14 включительно?

2

На множестве M комплексных корней уравнения z5 i 0 определено бинарное отношение : z z

j

(действи-

i

тельная часть числа zi не превышает действительной части числа z j ). Найти мощность этого бинарного отношения,

определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквива-

лентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением

эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Сколько существует вариантов распределить девять одинаковых автомобилей между пятью выставочными площад-

ками (число свободных мест на каждой выставочной площадке больше десяти)?

3б

Сколько вариантов состояний может иметь система из восьми подсистем, если каждая подсистема может находиться в

четырех возможных состояниях?

3в

У людоеда в повале томятся 20 пленников. Сколькими способами он может выбрать 4-х человек, чтобы отпустить их

на свободу?

3г

Студенческое научное сообщество состоит из 20 членов. Надо выбрать президента общества, вице-президента, казна-

чея и секретаря Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать

только один пост?

5

МП-29 Васильев Дмитрий

1

Староста подал в деканат следующие сведения: «В группе учатся 19 студентов, в том числе 13 девушек. Получают

стипендию 11 студентов, в том числе 7 девушек. В общежитии живут 15 студентов, среди которых 9 девушек и 8 сту-

дентов, получающих стипендию. Среди девушек, получающих стипендию, 5 живет в общежитии». Проанализировав

данные, в деканате обнаружили, что сведения противоречивы. Покажите, что это действительно так.

2

Даны шесть геометрических векторов,

заданных координатами в некотором декартовом базисе: a1 3,3, 1 ,

a2 2, 4,0 , a3 1, 5,3 ,

a4 0,0,1 ,

a5 2,1, 4 , a6

1, 5,0 . На множестве M этих векторов опре-

делено бинарное отношение :

ai a j (вектор ai

образует с вектором a j

угол , 0 90 ). Найти мощность

этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, тран-

зитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное от-

ношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Анна Ивановна уехала на четыре недели на дачу и взяла с собой 28 конфет: 7 «Мишек на севере» и 21 «Красную ша-

почку». Она решила, что будет съедать по одной конфете в день. Сколькими способами она может распределить кон-

феты по дням?

3б

На перекрестке имеется 4 светофора. Сколько может быть состояний у этой системы светофоров, если каждый свето-

фор (независимо от остальных) имеет три возможных состояния: «горит зеленый свет», «горит желтый свет», «горит

красный цвет»?

3в

Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 написаны на восьми карточках. Наугад

последовательно выбираются три карточки и выкла-

дываются в ряд. Сколько различных трехзначных чисел можно выложить таким образом?

3г

В почтовом отделении продаются открытки 8 видов. Сколькими способами можно купить в нем 15 открыток?

4

В скольких восьмизначных числовых паролях есть четыре нечетные и четыре четные цифры?

5

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «комбинация» так, чтобы второе, шестое и восьмое места

были заняты согласными буквами?

6

Пятеро ученых решили совместно написать учебник по математическим методам поддержки принятия решений. По-

сле длительных консультаций было решено, что учебник будет состоять из 12 глав, и в общих чертах определено со-

держание каждой главы. Сколькими способами авторы могут распределить между собой работу так,

чтобы каждый

написал хотя бы одну главу?

6

МП-29 Веденский Евгений

1

35 студентов приняли участие в социологическом опросе. В ходе опроса им задали три вопроса: «Бывали ли Вы когда-

нибудь на море?», «Бывали ли Вы когда-нибудь в горах?», «Бывали ли Вы когда-нибудь в пустыне?». В результате

были получены следующие данные: на море и в горах бывали 9 студентов, в горах и в пустыне – 4, на море и в пусты-

не – 1. Пять человек не бывали ни на море, ни в горах, ни в пустыне. Восемнадцать человек бывали только на объек-

тах одного из перечисленных видов. Сколько человек посещали природные объекты ровно двух видов?

2

Пусть

множество

M

состоит

из

пяти

функций

действительного

переменного:

2

1

M f1

x

4x, f2 2x 4, f3

, f4

cos x, f5 ln x .

На множестве M определено бинарное отношение

x

: fi f j

(обе функции

fi

и f j

убывают на промежутке (0,2) или обе функции fi и f j возрастают на проме-

жутке (0,2) ). Найти мощность этого бинарного отношения и определить, является ли оно рефлексивным, симметрич-

ным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного

порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалент-

ности.

3а

В цветочном магазине продаются тюльпаны пяти цветов. Сколько видов букетов из 11 тюльпанов может составить

продавец этого магазина?

3б

Иван пишет тест, состоящий из 20 задач, для каждой из которых есть 4 варианта ответа. К тесту Иван не готовился и

выбирает варианты ответа наугад. Сколькими способами он может заполнить лист ответов?

3в

Из отряда в 24 человека ежедневно назначают в караул 5 человек. В скольких различных караулах может оказаться

один и тот же солдат?

3г

Имеется 9 пар носков различных цветов. Сколькими способами можно выбрать один носок на левую ногу и один – на

правую ногу так, чтобы эти носки были различных цветов?

4

На первой из двух параллельных прямых лежит пятнадцать точек, на второй – двенадцать. Сколько существует тре-

угольников в вершинах в этих точках?

5

Имеется 12 карточек, на которых записаны цифры от 1 до 9, причем цифра 4 записана на двух карточках, а цифра 5 на

трех. Сколько из этих карточек можно составить двенадцатизначных чисел, в десятичной записи которых «четные»

цифры идут в порядке неубывания?

6

Сколько существует шестнадцатизначных чисел, записанных цифрами 2,3 и 4, в которых нет соседних 2?

ветствующие значениям параметра t1 4 , t2 2 , t3 0 , t4 1 , t5 3 .

На множестве M этих точек определено

бинарное отношение : Mi M j (расстояние от точки Mi до точки M j

не превышает 15). Найти мощность это-

го бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитив-

ным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение

является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Иван Иванович должен проверить с понедельника по пятницу 14 рефератов. Сколькими способами он может распре-

делить проверку по дням недели, если для него важно, сколько рефератов в какой день он будет проверять, но не важ-

но, какие именно это будут рефераты?

3б

Сколькими существует различных многочленов, степень которых не превышает 3, коэффициентами которых являются

целые числа от 0 до 10?

3в

У людоеда в подвале томятся 24 пленника. Сколькими способами он может составить себе меню на день, выбрав од-

ного человека на завтрак, другого на обед и третьего на ужин?

3г

На международную конференцию приехали 12 делегатов, не понимающих языков друг друга. Какое минимальное

число переводчиков потребуется для обслуживания конференции при условии, что каждый переводчик знает только

два языка из нужных? Под обслуживанием конференции понимается возможность для любых двух делегатов разгова-

ривать через одного переводчика.

стями v 2t2

, v t2 t ,

v

4t 4 , v t3 ,

v 6t2 7,5t . На множестве M этих тел определено бинарное

1

2

3

4

5

отношение :

ai a j (путь,

пройденный телом

ai с начала движения до момента времени t1 1, отличается от

пути, пройденного телом a j

за то же время, не более, чем на 0,5 ). Найти мощность этого бинарного отношения, оп-

ределить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквива-

лентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением

эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

На кафедре работают 17 преподавателей. Сколько различных экзаменационных комиссий из пяти человек можно со-

ставить из преподавателей кафедры, если в любую комиссию должен входить заведующий кафедрой?

3б

Сколькими способами 14 десятирублевых монет можно разложить по шести различным пакетам, если при раскладке

допустимо, что какие-то из пакетов окажутся пустыми?

3в

У Елены и Ивана родились три девочки-близняшки. После долгих обсуждений родители составили список из 9 понра-

вившихся им женских имен. Сколькими способами они могут назвать своих девочек, выбрав для них имена из этого

списка, если важно, какое имя какой девочке досталось?

3г

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти?

9

МП-29 Зайцев Юрий

1

В течение недели в кинотеатре демонстрировались фильмы А, В и С. Из 50 студентов, каждый из которых посмотрел

либо все три фильма, либо один из трех, фильм А видели 35, фильм В – 18, фильм С – 23. Сколько студентов посмот-

рели один из трех фильмов?

2

Даны

пять

прямых

в

пространстве,

заданных

каноническими

уравнениями:

l

:

x 1

y 2

z 1

,

1

1

2

0

l

:

x 1

y 2

z 3

,

l

:

x 3

y 3

z 4

,

l :

x 1

y 1

z 4

,

l

:

x 5

y 3

z 2

. На множест-

2

4

1

1

3

1

1

3

4

3

2

2

5

2

1

3

ве

M этих прямых определено бинарное отношение :

li l j (прямая li

скрещивается с прямой l j или парал-

лельна ей). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным,

симметричным,

антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного по-

рядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентно-

сти.

3а

Сколько различных дробей можно составить из чисел 2, 9, 7, 11, 17, 19, 23 так, чтобы в каждую дробь входили 2 раз-

личных числа?

3б

На семинаре присутствует 16 студентов. Преподаватель решил вызвать трех студентов одновременно к доске. Сколь-

кими способами он может это сделать?

3в

Общество из 6 членов выбирает открытым голосованием из своего состава одного председателя. Сколькими способа-

ми может произойти голосование, если каждый голосует за одного человека, быть может, и за себя? При подсчете

имейте в виду, что при открытом голосовании важно не только число голосов, поданных за каждого кандидата, но и

кто именно за кого голосовал?

3г

Сколькими способами можно разместить 15 одинаковых бильярдных шаров в 6 лузах?

4

Сколькими способами можно разделить 15 различных книг между Иваном, Петром и Василием, если они договори-

лись, что Иван возьмет 7 книг, а Петр и Иван возьмут по 4 книги?

5

Сколькими способами можно расположить в ряд семь одинаковых синих и десять различных красных шаров так, что-

бы никакие два синих шара не лежали рядом?

6

В лифт вошли 9 человек. Сколькими способами они могут распределиться на 4 этажах так, чтобы на каждом этаже

вышел хотя бы один человек?

10

МП-29 Иванов Алексей

1

Староста одной группы дал следующие сведения о студентах группы: «В группе учатся 25 студентов, в том числе 18

юношей. Получают стипендию 14 студентов, в том числе 7 юношей. Спортом занимаются 14 студентов, среди кото-

рых 8 юношей и 7 студентов, получающих стипендию. Получают стипендию и в то же время занимаются спортом 3

юношей». Через несколько дней старосту вызвали в деканат и сказали, что в сведениях есть ошибка. Как была обна-

ружена ошибка?

2

Даны

пять

геометрических

векторов, заданных координатами в

некотором

декартовом

базисе:

a1 3,3, 1 ,

a2 2,5,0 ,

a3 2,5,3 , a4

0,3,1 ,

a5 2,1, 4 .

На множестве

M этих векторов определено бинарное

отношение :

ai a j (вектор

ai образует острый угол ( 0 90 ) с вектором a j ). Найти мощность этого

бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным,

симметричным, антисимметричным, транзитив-

ным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение

является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Оле на новогодней елке подарили подарок, в котором оказалось 5 лимонных, 5 малиновых, 5 молочных и 5 банано-

вых карамелек.

Придя домой, Ира решила угостить конфетами домашних (маму, папу и брата), и каждому дала по

конфете. Сколько способами она могла это сделать?

3б

В некотором государстве автомобильные номера состоят из шести различных букв. Сколько таких номеров можно

получить, если для образования номеров разрешено использовать 30 букв?

3в

Сколько можно построить различных прямоугольников, у которых стороны могут быть равны любому натуральному

числу от 2 до 15 включительно?

3г

3У Ивана десять друзей. Он решил ежедневно приглашать пятерых из них в гости так, чтобы компания ни разу не по-

вторялась. В течение скольких дней ему удастся осуществлять свои намерения?

4

Имеется 20 абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно одновременно соединить пять пар абонентов?

5

На собрании должны выступить 8 ораторов: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. Сколько способов составить список выступающих

так, чтобы Д выступал позже З, но не сразу после него?

6

Сколькими способами можно посадить рядом 4 русских, 4 немцев и 4 англичан так, чтобы никакие четыре соотечест-

венника не сидели рядом?

2

Даны шесть геометрических векторов, заданных

координатами в некотором декартовом базисе: a1 1,2 ,

a2 6,3 , a3 1,3 , a4 2,5 ,

a5 12, 4 ,

a6 4, 8 . На множестве M этих векторов определено бинар-

ное отношение : ai a j (вектор

ai перпендикулярен или коллинеарен вектору a j ). Найти мощность этого би-

нарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным,

отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение явля-

ется отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

В лифт сели восемь человек. Сколькими способами они могут выйти на пяти этажах, если имеет значение, какой чело-

век на каком этаже вышел?

3б

Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, у которых длина каждого ребра является

целым числом от 1 до 12 и все ребра различны?

3в

Сколькими способами из 11 учебных предметов можно составить расписание из четырех различных пар?

3г

Автобус, курсирующий между городами А и Б, делает 8 остановок (включая конечный пункт). На автовокзале города

А в автобус сели 15 человек. Сколькими способами эти пассажиры могут распределиться между остановками, если

учитывать лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке?

часть числа zi не меньше мнимой части числа z j ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, являет-

ся ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отноше-

нием порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности,

указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Для запирания автоматических камер хранения марки N применяются секретные замки, которые открываются лишь

тогда, когда набрано некое «тайное слово». Это слово набирают с помощью шести дисков, на каждом из которых на-

несено десять букв. Какое максимальное число попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного сло-

ва и подбирающим его наудачу, для открытия автоматической камеры?

3б

В кондитерском магазине продаются шоколадки 5 видов. Сколькими способами можно купить в нем 10 шоколадок?

3в

У садовника имеется 10 луковиц красных и 7 луковиц желтых тюльпанов. Сколькими способами он может посадить

их в один ряд вдоль дорожки, ведущей от дома к сараю?

3г

3Сколькими способами шесть туристов могут разместиться в восемнадцати местном автобусе, если других пассажи-

ров в автобусе нет?

13

МП-29 Леонтьев Александр

1

В студенческой группе учатся 26 человек. В первую сессию студенты сдавали три экзамена: по физике, математиче-

скому анализу и алгебре. Физику сдали на «хорошо» 10 человек, математический анализ – 11. Только алгебру сдали

на «хорошо» 3 человека. Три студента имеют «хорошо» по двум предметам - по физике и по математическому анали-

зу, двое имеют «хорошо» по всем трем предметам. Сколько человек не получили в сессию ни одной оценки «хоро-

шо»?

2

На

плоскости

заданы

пять

прямых:

l1 : 2x 3y 6 0 ,

l2 : 2x 3y 2 0 ,

l3 : 4x 6 y 5 0 ,

l4 : 8x 6 y 6 0 ,

l5 : 7 10x 15y 0 .

На множестве

M этих прямых определено бинарное

отношение :

li l j (прямая li параллельна или совпадает с прямой l j ). Найти мощность этого бинарного отношения, опреде-

лить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентно-

сти, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквива-

лентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Оле одноклассники на день рождения подарили набор шоколадок, в котором оказалось 6 плиточек молочного шоко-

лада, 8 плиточек горького шоколада и 6 плиточек шоколада с карамельной начинкой. Дома Ира решила угостить брата

и предложила ему выбрать пять любых шоколадок. Сколькими способами брат мог взять угощение?

3б

Каждый день на полдник Анна в оздоровительных целях выпивает бутылочку йогурта (малинового, клубничного,

ананасового или злакового). Сколькими способами она может составить себе полдничное меню на неделю?

3в

У Маши и Андрея родились трое мальчиков-близняшек. После долгих обсуждений родители составили список из 11

понравившихся им мужских имен. Сколькими способами они смогут отобрать из них три имени для своих мальчиков?

3г

У преподавателя подготовлено пять различных проверочных задач, которые он решил дать 10 пришедшим на занятие

студентам, причем так, чтобы каждый студент получил или одну задачу, или ничего. Сколькими способами он может

раздать задачи студентам?

4

Имеется 5 первокурсников, 4 второкурсника и 6 третьекурсников. Сколькими способами можно выбрать несколько

студентов так, чтобы среди выбранных ок азались и первокурсники, и второкурсники, и третьекурсники?

5

Сколькими способами можно переставить буквы слова «произведение» так, чтобы буква «и» не шла непосредственно

после буквы «р»?

6

В аудитории восемь парт, за каждой из которых сидит по одному студенту. Сколькими способами преподаватель мо-

жет пересадить их так, чтобы ни один студент не остался на прежней парте?

14

МП-29 Львов Никита

1

Для получения зачета по физкультуре каждый студент в течение третьего семестра должен посещать занятия хотя бы по одному

игровому виду спорта: волейболу, баскетболу, настольному теннису. Известно, что в одной из студенческих групп занятия по во-

лейболу и баскетболу посещало 5 человек, по волейболу и настольному теннису – 3, по баскетболу и настольному теннису – 4. За-

нятия по волейболу или баскетболу посещало 19 человек, по волейболу или настольному теннису – 21, по баскетболу или настоль-

ному теннису – 20. Во все три секции одновременно ходили 2 человека. Сколько всего студентов в группе?

2

6

1 3

7

4

2

4

7

1 3

8

5 9

2

0 ,

5

1

1

,

2

1 1

4

,

Задано

шесть

матриц:

A1

4 1

A2

,

A3

A4

,

6

4

2 2

3

0 3

1

A5

1 1

3

6 4

18

1

1

2 4

5

3 1

5

2

4

10 2

1

3

2

3

1

0

2

0

M этих матриц определено бинарное отношение :

Ai Aj

(ранг матрицы Ai

A6

. На множестве

не

5

1

0

2

4

0

14

11

Aj ). Найти мощность этого бинарного отношения,

превышает ранга матрицы

определить, является ли оно рефлексивным,

сим-

метричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного по-

рядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Сколькими способами из двадцати пяти студентов группы можно выбрать шесть человек для проведения выборочного тестирова-

ния?

3б

Сколькими способами из группы в 12 спортсменов тренер может составить команду из 4-х человек для участия в эстафете (имеет

значение не только состав команды, но и расстановка спортсменов по этапам)?

3в

Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, у которых длина каждого ребра принимает

одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

3г

Надо срочно доставить 7 писем по разным адресам. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи пи-

сем можно использовать трех курьеров, и каждое письмо можно дать любому из курьеров? (Порядок, в котором курь-

ер будет доставлять данные ему письма, не важен).

4

За столиком ресторана имеется две противоположных скамьи по 6 мест на каждой. Из 12 гостей пятеро желают си-

деть, глядя на сцену, трое – спиной к сцене, остальным четырем безразлично как сидеть. Сколькими способами могут

разместиться гости?

5

Сколькими способами можно переставить буквы слова «одноклеточное» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

6

Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой 6 одинаковых слив, 1 яблоко, 1 апельсин, 1 киви, 1

банан, 1 грушу и 1 хурму так, чтобы каждый получил по четыре плода?

15

МП-29 Магель Виктория

1

В классе каждый ученик сдает по выбору ЕГЭ хотя бы по одному из следующих предметов: информатике, химии или

физике. Известно, что экзамен по информатике или химии сдают 28 человек, по информатике или физике – 26, по хи-

мии или физике – 24. Одновременно информатику и химию сдают 5 школьников, информатику и физику – 7, химию и

физику – 6. Экзамен по всем трем предметам сдают 2 школьника. Сколько всего человек в классе?

2

1 2

3

2 4

0 3

2

2 ,

2

2

4

4

1

2

1 0

,

A

,

Задано пять матриц:

,

1 0

2

1

3

.

A1

4 1

3

A2

3 6

1 4

3

1

1

A4

0 3

1

A5

0 1

3

6 3

9

2 2

5

4 14

15

12 22

6 0

На множестве M этих матриц определено бинарное отношение :

Ai Aj

(ранг матрицы

Ai

равен рангу матри-

цы Aj ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным,

антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного по-

рядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентно-

сти.

3а

Перед нами 12 закрытых замков и 12 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи

смешались. Возьмем один из замков, назовем его первым и попробуем открыть его каждым из 12 ключей. В лучшем

случае он откроется первым же ключом, а в худшем - только двенадцатым. Сколько нужно в худшем случае произве-

сти неудачных проб, чтобы открыть все замки?

3б

В понедельник Инна Олеговна принесла на работу коробку конфет «Ассорти», в которой было 16 разных конфет.

Сколькими способами она может распределить их по 5 дням недели?

3в

. На танцы пришла компания из 6 девушек и 11 юношей. Сколько имеется вариантов составить шесть пар для участия

в танце, в котором танцуют все девушки?

3г

На семидневных каникулах мама разрешила первокласснику Пете каждый день смотреть по одному приключенческо-

му фильму. Всего у Пети имеется 12 фильмов, и он сам вправе выбирать, какой фильм в какой день смотреть (если

захочет, может один и тот же фильм посмотреть несколько раз). По окончании каникул мама спросила у Пети, какие

именно фильмы и по сколько раз он смотрел. Сколько вариантов ответов могло оказаться у Пети?

4

Сколькими способами трое ребят могут разделить между собой 7 конфет «Мишка на севере», 5 конфет «Маска», 11

конфет «Красная шапочка» (никаких ограничений на способ раздела нет)?

5

На собрании должны выступить 12 человек: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М. Сколькими способами их можно распо-

ложить в списке ораторов при условии, что Л должен выступать до А, Б, В?

6

Сколькими способами могут распределиться 14 студентов по трем дисциплинам по выбору, если требуется, чтобы

каждую дисциплину изучало не менее трех студентов?

16

МП-29 Морозов Дмитрий

1

Компания провела опрос среди своих сотрудников. Был задан вопрос об использовании общественного транспорта при проезде на

работу. Оказалось, что среди сотрудников компании, пользующихся общественным транспортом, на метро ездят 28 человек, в

электричках – 22, в городском наземном транспорте (автобусах, троллейбусах, трамваях, маршрутных такси)

– 23. Используют

метро или электричку 39 человек, метро или наземный общественный транспорт – 42, электричку или наземный общественный

транспорт – 38, всеми тремя видами транспорта пользуются 3 человека. Сколько сотрудников компании, использующих при про-

езде на работу общественный транспорт, ездит только на одном виде транспорта?

2

На множестве M комплексных корней уравнения

z6 1000000 0 определено бинарное отношение :

z z

j

i

(мнимая часть числа zi

равна мнимой части числа

z j ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить,

является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности,

отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентно-

сти, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Андрею на лето задали прочитать драму А.С. Пушкина «Борис Годунов». Когда до начала учебного года осталось

меньше двух недель, Андрей решил составить график чтения на 10 дней (с 22 по 31 августа), указав в нем на каждый

день количество запланированных для чтения страниц. Сколькими способами он может составить график, если драма

напечатана на 68 страницах?

3б

В шахматном турнире принимали участие 17 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каж-

дым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

3в

У Васи есть 11 различных конфет, которые он хочет подарить своим друзьям в детском саду. Сколькими способами он

может это сделать, если друзей у Васи шесть, и он решил дать каждому другу не более одной конфеты? (Учтите, что

для Васи важно, какую именно конфету какому другу он даст).

3г

У малыша есть 10 кубиков красного цвета, 8 – зеленого и 9 – синего. Сколькими способами он может выстроить из

них башню высотой в 7 кубиков?

4

Из 72 различных белых грибов хотят сделать 6 связок по 12 грибов в каждой. Сколькими способами это можно сделать?

5

Сколькими способами можно переставить буквы слова «представление» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд?

6

Имеется 12 карточек: две карточки с цифрой 1, две – с цифрой 2, две – с цифрой 3, две – с цифрой 4, две – с цифрой 5,

две – с цифрой 6. Сколько из этих карточек можно выложить двенадцатизначных чисел, соблюдая условие: никакие

две одинаковые цифры не должны лежать рядом.

2

В трехмерном пространстве на прямой x 1 2t , y 2 4t ,

z 3 2t , t ( ; ) заданы точки M1 , M 2 , …,

M5 , соответствующие значениям параметра t1 4 , t2 2 ,

t3 0 ,

t4 1 , t5 3 . На множестве M этих точек

определено бинарное отношение : Mi M j (расстояние от точки

Mi до точки M j равно 0 или больше 25).

Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисим-

метричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Ес-

ли бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

Для команды из 24 спортсменов были забронированы места в первых шести купе второго вагона поезда (купе четы-

рехместные). Сколькими способами спортсмены могут занять места в первом купе?

3б

Сколькими способами можно разделить девять различных пирожных между Ваней, Петей, Олегом, Олей и Аней (рас-

пределение пирожных может быть совсем несправедливым – кому-то может не достаться ни одного пирожного)?

3в

В понедельник Ольга Ивановна принесла на работу 20 конфет «Маска».

Сколькими способами она может распреде-

лить их по 5 дням недели?

3г

Из отряда в 20 человек ежедневно назначают в караул 4 человека. Сколько раз караул может быть составлен различ-

ным образом?

m m ( m имеет общие элементы с m ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли

оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением

порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалент-

ности.

3а

На двадцать пять студентов выделено 4 путевки в зимний лагерь. Сколькими способами их можно распределить, если

все путевки одинаковы?

3б

На двадцать студентов выделено 4 путевки. Сколькими способами их можно распределить, если все путевки различ-

ны?

3в

У Васи в коробке-копилке скопилось около ста монет достоинством один, два, пять и десять рублей (примерно в рав-

ных пропорциях). Вася, не глядя, достал из коробки пять монет и положил их в пустой карман. Сколько существует

вариантов наборов монет в кармане?

3г

В цветочном магазине продаются розы 5 цветов. Сколькими способами студенты-юноши могут подарить девяти одно-

группницам по одной розе, закупив цветы в этом магазине, если важно какой девушке какого цвета роза достанется?

19

МП-29 Прудников Дмитрий

1

В книжном магазине при выдаче клубной карты покупателям предлагают заполнить анкету. В анкете, в частности,

покупателя просят указать, книги по каким темам его интересуют. Были проанализированы 80 анкет, в которых поку-

патели высказали интерес к хотя бы одной из следующих тем: экономика, психология, маркетинг. Оказалось, что 32

человека интересуются экономикой, 38 – психологией, 29 – маркетингом. Экономикой или психологией интересуют-

ся 52 человека, психологией или маркетингом – 56, экономикой или маркетингом – 52. Скольких покупателей интере-

суют все три темы?

2

Шесть тел a1 ,

a2 , …,

a5 ,

a6

в момент времени

t0 0 начинают движение

по

следующим

траекториям:

a : x t, y t2

100 ,

a : x 1 2t, y 15 2t ,

a : x 4 4sin t, y 3 5cost ,

a

: x 4t, y 12 2t ,

1

2

3

4

a5 : x 2 3sin t, y 3 3sin t ,

a6 : x 3cost, y 3sin t . На множестве M этих тел определено бинарное отно-

шение : ai a j (траектория тела ai пересекается с траекторией тела a j или совпадает с ней). Найти мощность

этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзи-

тивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отно-

шение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а

В домашнем детском саду 4 игровые комнаты. Дети могут играть в любой из них. Сколькими способами могут рас-

пределиться по игровым комнатам 9 детей, если важно, какой ребенок в какой комнате играет?

3б

На окружности отмечено 12 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

3в

Мама, папа и их дочка Зина вечером любят смотреть телевизор. Желания их совпадают редко, поэтому мама смотрит

телевизор на кухне, папа - в кабинете, а Зина - в гостиной. Телевизоры принимают 22 канала. Как-то вечером по те-

лефону их попросили принять участие в опросе. Были заданы два вопроса: сколько телевизоров на момент звонка

включено в доме, и на каких каналах работают включенные телевизоры (при этом кто из домашних что смотрит, было

не важно, т.е. ответ мог быть, например, таким: в доме 3 телевизора, один не включен, два показывают канал «Культу-

ра»). Сколько вариантов ответа мог услышать звонивший?

3г

Ире на новогодней елке подарили подарок, в котором оказалось 12 шоколадных конфет, каждая из которых имела

свою начинку. Придя домой, Ира решила угостить конфетами домашних (маму, папу, брата и сестру), и каждому дала

по конфете. Сколько способами она могла это сделать?

4

Сколько можно составить семибуквенных слов из 6 гласных и 14 согласных букв (буквы могут повторяться), если

гласные и согласные буквы должны чередоваться?

5

На карусели девять одинаковых мест для пассажиров. Сколько существует способов рассадки трех взрослых и шести

детей для катания на карусели, при которых никакие два взрослых не сидят друг за другом?

6

Автобус, курсирующий между городами А и Б, делает 11 остановок по требованию (включая конечный пункт). На

автовокзале города А в автобус сели 10 человек. Известно, что пассажиры высаживались на трех остановках между

городами, а также на автовокзале города Б, причем одновременно выходили не более пяти человек. Сколькими спосо-

бами эти пассажиры могли распределиться между остановками, если учитывать не только количество пассажиров,

вышедших на каждой остановке, но и какой пассажир на какой остановке вышел?

20

МП-29 Пустовалов Дмитрий

1

На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 32 учеников класса читал книги А, В и С. Результаты опроса ока-

зались таковы: книгу А читали 16 учеников, книгу В – 15, книгу С – 12. Хотя бы одну из книг А или В читали 24 уче-

ника, А или С – 23, В или С – 22. Все три книги прочли 2 ученика. Хотя бы одну книгу прочел каждый ученик. По-

размыслив, учитель понял, что не все школьники сказали правду. Как учитель понял, что сообщенные ему сведения

неверны?

2

Шесть геометрических векторов заданы координатами в некотором декартовом базисе: a

2,3, 1 ,

a

2, 5, 3

, a

4,1,3

1

2

3

, a 7,0, 2 , a 1,0,1 , a

2, 1,2 . На множестве

M этих векторов определено бинарное отношение

: a a

j

4

5

6

i

(длина вектора ai

не меньше длины вектора a j ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно реф-

лексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением

линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентно-

сти.

3а

Сколькими способами из двадцати пяти деталей можно выбрать партию из пяти штук для контроля качества?

3б

Каждый день с понедельника по пятницу на полдник Елена в оздоровительных целях съедает один фрукт (яблоко,

грушу, грейпфрут или хурму). Фрукты на всю рабочую неделю она закупает в магазине в воскресенье вечером.

Сколько различных вариантов покупки фруктов на одну рабочую неделю она может делать? (Пример варианта покуп-

ки: 3 яблока, 2 груши).

3в

Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (кнопки нажимаются последовательно и удержи-

ваются до открытия), если на нем всего 10 цифр?

3г

Четверо ребят собрали с яблони 37 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считать различными?

4

Сколькими способами 20 человек можно разбить на пары, если разбиения, отличающиеся только порядком элементов

внутри пары и порядком расположения пар, считаются одинаковыми?

5

Для проведения самостоятельной работы преподаватель приготовил 12 задач на тему «Бинарные отношения» и 8 задач на тему

«Комбинаторика». В аудитории стоят десять парт, за каждой из которых сидят два студента. Сколькими способами преподаватель

может раздать всем студентам по одной заготовленной задаче, если никаким двум студентам, сидящим за одной партой, не должны

одновременно достаться задачи по комбинаторике?