Fizika_Labnik_Tsirkumtsizirovanny

где v0 - скорость электрона при r = rк ( rк - радиус катода); v

- скорость в точке (r, ϕ); A - работа действующих на электрон сил. Магнитная сила работы не совершает, а

работа электрической силы

Aэл = −e(U0 −U ) .

Считая потенциал катода U0

равным нулю, получаем:

mv2

−

mv02

= eU ,

2

2

где U - потенциал электрического поля в точке (r, ϕ).

С учетом того, что v

2

2

2

dr

= r,

vϕ = r

dϕ

= rϕ -

= vr + vϕ , где vr =

dt

&

dt

&

проекции вектора скорости на радиальное направление (задаваемое вектором r ) и направление, перпендикулярное ему, получаем:

eU +	mv02	=	m	(r	2	+ r	2	ϕ	2	) .
	2		2
				&				&

Если mv02 / 2 << eU , то это уравнение принимает вид:

eU =	m	(r	2	+ r	2	ϕ	2	) .	(П1)
	2
		&				&

Движение электрона в плоскости (r, ϕ) удобно описать с

помощью уравнения моментов

dtd (Iϕ& )= M z ,

где I = mr2 - момент инерции электрона относительно оси z;

M z = rFϕ = revr B = err&B -

проекция момента силы Лоренца на ось z. Поэтому

dtd (mr2j& )= eBr drdt .

Интегрируя это уравнение, получаем:

r2j& = eBr2 + C .

2m

Постоянная интегрирования С определяется из начальных

условий ( j = 0 при r = rк ):

&

eBr2

2

eB

(r

2

2

).

С = -

к

и r

j =

- rк

2m

&

2m

Считая, что r

2

2

, получаем

&

eB

.

>> rк

j =

2m

Уравнение (П1) принимает вид:

eU =

m é&2

æ reB ö

2 ù

(П2)

êr

+ ç

÷

ú .

2 ê

è

2m ø

ú

ë

û

Рассмотрим участок траектории электрона вблизи анода при U = Uа . В отсутствие магнитного поля траектория

электрона прямолинейна и направлена вдоль радиуса. При слабом поле траектория несколько искривляется, но все же электрон попадает на анод. При некотором критическом значении Bкр траектория искривляется настолько, что

электрон только "касается" анода и возвращается к катоду (см. рис.2). Величину Bкр можно найти из уравнения (П2),

считая, что скорость r& при r = rа ( rа - радиус анода) равна нулю:

		eB2	r2
	Uа =	кр	а	,
		8m

откуда следует

Bкр =	2		2Uа m		.
	rа		e

Лабораторная работа № 10

Исследование электрических свойств сегнетоэлектрика

Цель работы: наблюдение на экране осциллографа кривых зависимости индукции электрического поля от напряженности поля в сегнетоэлектрике; определение

диэлектрической проницаемости сегнетоэлектрика в зависимости от напряженности электрического поля; определение мощности, потребляемой на переполяризацию сегнетоэлектрика.

Приборы и оборудование: коммутационная плата с конденсаторами, резисторами, переключателем, электронный осциллограф, генератор синусоидального напряжения.

Теоретическая часть

Диэлектрик, помещенный в электрическое поле, поляризуется, т.е. его результирующий дипольный момент становится отличным от нуля. При этом для однородных и

изотропных диэлектриков вектор поляризации P связан с

напряженностью электрического поля в диэлектрике соотношением

		r	r	(1)
	α	P = αε0 E ,
где		- диэлектрическая	восприимчивость;	ε0 -

электрическая постоянная. Вектор электрической индукции

равен

D = ε0 E + P = ε0 (1+ α)E = ε0ε E ,	(2)
где ε =1+ α - диэлектрическая проницаемость.	Если

диэлектрик удалить из поля, то поляризация в нем исчезнет. Имеются, однако, кристаллы, в которых дипольный момент существует в отсутствие внешнего электрического поля. Обычно такие кристаллы состоят из отдельных областей, имеющих спонтанную поляризацию (доменов)*. В

некоторых из них направление спонтанной поляризации может быть изменено приложенным внешним полем сравнительно небольшой величины. Кристаллы, обладающие таким свойством, называются сегнето- электриками. Сегнетоэлектрические свойства наблюдаются до некоторой температуры, называемой температурой Кюри, выше которой спонтанная поляризация исчезает и сегнетоэлектрик становится обычным диэлектриком.

Внутри каждого домена дипольные моменты, обусловливающие поляризацию, направлены одинаково, но в

соседних доменах векторы поляризации направлены различно. Поэтому результирующий дипольный момент сегнетоэлектрика обычно равен нулю. Если же к

сегнетоэлектрику приложить постоянное электрическое поле, то направления векторов поляризации доменов изменяются так, чтобы угол между векторами

напряженности внешнего поля и поляризации стал наименьшим (заметим, что сегнетоэлектрические кристаллы

имеют несколько возможных направлений спонтанной поляризации). Это состояние закрепляется, т.е. в отсутствие поля сегнетоэлектрик, подвергнувшийся поляризации, будет

иметь отличный от нуля дипольный момент даже в том случае, если сегнетоэлектрик не монокристалл, а поликристалл. Именно это свойство широко используется

при практических применениях сегнетоэлектрических материалов.

Существование спонтанной поляризации в сегнетоэлектриках обусловливает их особые электрические свойства. Так, диэлектрическая проницаемость у них на несколько порядков больше, чем у обычных диэлектриков, и составляет приблизительно 102…104, а зависимость

поляризации и электрической индукции от напряженности электрического поля оказывается нелинейной (кривая OAF на рис.1).

Кроме того, в сегнетоэлектриках наблюдается гистерезис:

r

поляризация P (и электрическая индукция D ) зависят от предыстории диэлектрика, т.е. от предшествующих

r

значений поля E . Предположим, что в начальном состоянии внешнее поле E = 0 и сегнетоэлектрик не поляризован. Это означает, что поляризация одних доменов

компенсируется противоположно направленной поляризацией других ( E = 0, P = 0, D = 0, точка O на рис.1).

При увеличении электрического поля E происходит частичная переориентация доменов, а также рост одних доменов за счет других. Это ведет к росту поляризации P и индукции D (кривая OA на рис.1). В точке A поляризация

r

всех доменов оказывается ориентированной вдоль поля E . Дальнейшее возрастание P происходит за счет индуцированной поляризации (как и в обычном диэлектрике), и кривая OA переходит в прямолинейный участок AF.

В поликристаллах размер доменов обычно составляет ~ 5 мкм.

	D
	Dmax	A	F
	B'	B
	O	Emax	E
F'	A'
	Рис.1. Петля гистерезиса

Будем теперь уменьшать напряженность электрического поля. Оказывается, что изменение D пойдет не по прежней кривой FAO, а по новой кривой FAB'F', расположенной выше. Это явление называется диэлектрическим

гистерезисом и связано с доменной структурой диэлектрика. Таким образом, поляризация P не определяется однозначно полем E, а зависит также от предыдущей истории сегнетоэлектрика.

Если менять электрическое поле в обратном порядке, то зависимость D(E) изобразится нижней кривой F'A'BAF,

симметричной кривой FAB'A'F' относительно начала координат O. Таким образом получается замкнутая кривая AB'A'BA, называемая петлей гистерезиса. Можно получить петли гистерезиса меньших размеров, если менять поле E в меньшем диапазоне.

Вследствие гистерезиса выражения (1) и (2) для
сегнетоэлектриков теряют смысл и определение
диэлектрической проницаемости для них становится
нетривиальным. В этом случае принимают, что
			ε(E) =	1 D	,		(3)
				ε0 E
где D = D(E) - кривая OAF на рис.1.
	Описание эксперимента
В работе исследуются диэлектрические свойства
сегнетоэлектрика типа ТЦС (титаната-цирконата свинца
(Pb(Ti0,5, Zr0,5)O3). Схема установки показана на рис.2.
Конденсатор Cx представляет собой тонкую пластину
сегнетоэлектрика		с	нанесенными		на	нее	серебряными
			R0				Cx
			R3
Г	U		П
				Вход X			Вход Y
			R2
			R1	Ux		C0	Uy
	Рис.2. Электрическая схема установки

электродами. Переменное напряжение на образец (конденсатор Cx ) подается от генератора Г через соединенный последовательно с ним конденсатор, емкость которого C0 >> Cx . Поэтому практически все подведенное

напряжение U приложено к сегнетоэлектрику. Задача

состоит в измерении модуля напряженности электрического

r

поля E и модуля вектора электрической индукции D сегнетоэлектрике.

r

Напряженность электрического поля E связана

потенциалом ϕ соотношением

в

с

r	(4)
E = −gradϕ,

которое отражает потенциальность электростатического поля. Поскольку в плоском конденсаторе Cx электрическое поле практически однородное, то вместо (4) можно записать E =U / d , где d - толщина пластины сегнетоэлектрика (расстояние между обкладками конденсатора Cx ). Пропорциональное величине E напряжение U x подается на

горизонтально отклоняющие пластины осциллографа через делитель R0, R1, R2, R3. Очевидно, что

U		=	U x	,
R + R + R	+ R
			R
0 1 2	3		T

где RT равно R1 , или R1 + R2 , или R1 + R2 + R3 в зависимости

от положения переключателя П. Поэтому напряженность

электрического поля в сегнетоэлектрике

	E =	R0 + R1 + R2 + R3	U x .	(5)
		RT d

Метод измерения электрической индукции D основан на теореме Гаусса для вектора D :

Dn = D

Рис.3. К выводу соотношения

D = σ

		r	r
D = 0	q	òDds		=qстор ,	(6)
S	σ	SA
		где		qстор -	сторонний

заряд, охватываемый

замкнутой поверх- ностью SA . Выберем замк-

нутую поверхность SA в

виде цилиндра, одно из оснований которого пло- щадью S находится внутри плоского конден-

сатора Cx , а другое - вне конденсатора (рис.3). Тогда поток вектора D через замкнутую поверхность SA

rr

òDds = D S ,

SA

асторонний заряд, попавший внутрь этой поверхности,

qстор = qx S / Sx ,	где qx -	заряд обкладки конденсатора Cx ;
Sx - площадь	обкладки.	Из теоремы Гаусса (6) следует

D = σ , где σ = qx / Sx - поверхностная плотность заряда. Конденсаторы Cx и C0 включены последовательно, поэтому их заряды одинаковы: qx = q0 . Заряд конденсатора C0 легко определить, измерив на нем напряжение U y :

			q0 = U yC0 .
Заметим,	что	это	напряжение							пропорционально
электрической индукции в конденсаторе Cx :
		U y =	q0	=	qx	=		DSx	.
			C0
					C0			C0