25 Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.  Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций  (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:

1. Алгебраические многочлены ;

2. Рациональные дроби ;

3. Степенные функции ;

4. Показательные функции ;

5. Логарифмические функции ;

6. Тригонометрические функции ;

7. Обратные тригонометрические функции ;

8. Гиперболические функции ;

9. Обратные гиперболические функции .

26 Асимптоты к графикам

Функции и их способы нахождения

• Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значенийилиравноили.

• Прямая называетсягоризонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значенийилиравно.

• Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции , если

Порядок нахождения асимптот

1.) Нахождение вертикальных асимптот.  2.) Нахождение двух пределов 3.) Нахождение двухпределов :

если в п. 2.), то, ипредел ищется по формуле горизонтальной асимптоты,.

Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

.

При   ,,   то есть:

,

и является искомым уравнением асимптоты.

27 Производная функции в точке.Ур.касател.,непрер.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функциик соответствующему приращению аргумента, при условие, что.()

Геометрический смысл производной:

Производная  в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .

Иными словами Производная функции в точкеравна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной и нормали к линии в точке

Уравнение касательной:

.

Уравнение нормали:

Непрерывность функции, имеющей производную..

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–< х < ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

28Физический смысл первой производной

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Физический смысл производной функции

Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.

Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.