kvant_mech

∆I/I,%	-2∙10-5	0	2∙10-5		4∙10-5 ∆E, эВ
100	-4	0	4	8	v, см/с

99.5

99.0

Рис. 10 Измерение ширины линии испускания гамма-квантов Г с помощью эффекта Мёссбауэра

Дляразбираемогослучая,этооколо500м/сек.Насамомделе существуютядра,укоторыхестественнаяшириналиниимного меньше и можно обнаружить движения со скоростью порядка десятых долей мм/сек.

Если атом «вморозить» в кристаллическую решетку, Е0 становится очень большим, отдачи не будет и можно будет наблюдать резонансное поглощение, даже если источник и детектор неподвижны. Этот эффект и называется эффектом Мёссбаэура.

Эффект Мёссбаэура в силу рекордно низкой относительной погрешности измерений, достигающей 10–15, был использован дляподтвержденияфундаментальныхзаконовфизики,которые не удавалось проверить из-за их слабых эффектов и недостаточной точности измерений

1.Квадратичный эффект Доплера

Вформуле для излучения движущегся атома радикал при

v с можно разложить в ряд:

νизлèçë =ν0		1− v2 c2		=ν0	1− v2 2c2 +...
	(1− v c cosθ)				(1− v c cosθ)

Второй член в числителе не зависит от направления скорости и должен уменьшать частоту, даже если движение происхо-

31

дит перпендикулярно линии наблюдения и cosθ =0. Этот член обязан чисто релятивистским законам и его обнаружение и измерение послужило ещё одним подтверждением специальной теории относительности.

2. Эффекты общей теории относительности

Изобщейтеорииотносительностиследует,что,проходяразность гравитационных потенциалов, свет «краснеет» или «голубеет»в зависимостиоттого,вкакомнаправленииондвижется. Если, например, он «падает» в поле Земли у ее поверхности

	gl
и проходит путь l (~20 м), тоν =ν0 1+	c	2	.

Видим,чтопоправкакединицевэтойформулеприразумных масштабах эксперимента очень мала (981 200/9 1020≈2,2 10–15), но тщательными опытами, охлаждая приемник и источник жидким гелием, этот поправочный член, удалось измерить и подтвердить это положение общей теории относительности.

32

Гипотеза де Бройля

ЛЕКЦИЯ 5

§12 Гипотеза де Бройля Волновые свойства частиц. Свойства волн де Бройля

Какмывидели,светимеетдвойственныйхарактер,проявляя себя то волной то частицей. В 1924 Луи де-Бройль (Франция) выдвинул «сумасшедшую» гипотезу, согласно которой дуализм «волна-частица» имеет универсальный характер и относится не только к волнам, но и к микрочастицам.

Эта гипотеза сегодня может быть сформулирована следующим образом:

Со всякой свободно движущейся частицей, имеющей импульс p и энергию E, связана монохроматическая волна с ча-

стотой ω=E/ħ и волновым вектором k = p / . Уравнение этой волны имеет вид:

ψ =

или

ψ = Aexp

			2πi
Aexp					(p	r −
			h
	2πi	(p		x + p			y +
						y
	h		x

Et)

pz z − Et) .

Пока не будем пояснять, что означает «связана» и обсудим сначала некоторые свойства волн де Бройля (ВДБ). Прежде всего, отметим, что в классической физике комплексная запись волны была всего лишь формальным приемом, облегчающим

33

вычисления, и, в конечном счете, мы переходили к действительным величинам. Для волн де Бройля такая форма записи необходима, как мы увидим, из физических соображений.

	Формула		2π		p	дает	возможность найти	дли-
		k =	h p ≡
	ну волны де Бройля как функцию импульса или энергии:
	λ = 2π /k = h / p = ch /E . Расчет						показывает, что даже	до-

вольно медленные электроны с энергией порядка ста и тысячи электрон-вольт имеют длину волны де Бройля менее 1Å.

Экспериментальная проверка гипотезы де Бройля была проведена Дэвиссоном и Джермером, которые обнаружили дифракционные максимумы в пучке электронов, отраженном от монокристалла никеля. Позднее Томсоном и Тарковским были получены электронные дебаеграммы и, наконец, рядом экспериментаторов было доказано, что волновыми свойствами обладают пучки нейтронов, атомов и даже молекул.

Мы знаем, что каждой волне соответствуют две скорости –

фазовая и групповая.

Фазовая скорость ВДБ – vф =ω/k=E/p=mc2/mv=c2/v>c! – больше скорости света. Значит, она не может быть связана со скоростью частицы.

Какой же физический смысл ВДБ?

Прежде всего, |Ψ|=|A|. Модуль ВДБ для свободной частицы постоянен и в пространстве и во времени, поэтому эта функция не может описывать сколько ни будь локализованное состояние частицы. Такое состояние могло бы быть описано суперпозицией ВДБ, волновым пакетом, сформированным из них, что, казалось бы, подтверждается, т.к. групповая скорость такого

пакета – uгр	= dω		= dE =	d
ãð		dk	dp
				dp

p	2		=	p	= v !
				m
2m

34

Но представление о волновом пакете оказалось не состоятельным, т.к. такие волны расплываются со временем, причем протяженность пакета для электрона удваивается за 10–23 секунды! Это объясняется дисперсией волн де Бройля, т.к. волны

с разными k распространяются с разными скоростями. Однако волновой пакет, не будучи образом частицы, как-то должен описывать ее состояние. Поэтому частице, находящейся в том или ином силовом поле, мы должны сопоставить некоторую

волновую функцию ψ(r,t), уже не являющуюся плоской монохроматической волной.

§13 Интерпретация Борна

Чтобы правильно интерпретировать ВДБ рассмотрим результаты опыта советских ученых Бибермана, Сушкина и Фабриканта, которые пропускали поток монохроматических электронов через тонкую кристаллическую решетку. Время между двумя прохождениями электронов было в 30000 раз больше времени пробега, так что в таком «пучке» электроны между собой взаимодействовать не могли. Каждая прошедшая кристалл частица оставляла на фотопластинке точечный след. При малом времени экспозиции в расположении точек наблюдался хаос,сувеличениемдлительностиэкспериментавсеболеепроявлялась правильная дифракционная картина.

Так как каждый электрон в этом опыте наблюдался как отдельное целое ясно, что волновая функция характеризует поведение электронов статистически, и определяет вероятность попадания электронов в разные точки пластинки.

По аналогии с оптикой, где плотность вероятности нахож-

дения фотона в единице объема пропорциональна

E2 + H 2

8π

было естественно допустить, что и в квантовой физике плот-

35

ностьвероятностизависитотΨквадратичнымобразом,и,т.к.в общем случае Ψ комплексна, а вероятность должна быть вещественной, то единственной подходящей величиной может быть квадрат модуля.

Таким образом мы приходим к физическому истолкованию волновой функции Ψ-функции, предложенному Максом Борном:

Вероятность нахождения частицы в малом объеме dV

вблизи точки с координатами x, y, z в момент времени t пропорциональна квадрату модуля волновой функции

ψ(x,y,z,t) и величине этого объема: dw(x,y,z,t) = ψ 2 ≡ψψ*dV

§14 Соотношение неопределенностей. Применение его для простейших оценок

Рассмотрим теперь дифракцию на двух щелях с новых позиций. Пусть в начале одна закрыта. Будем наблюдать типичную картину дифракции на щели. Если первую открыть, а вторую закрыть, картина сместится. При открывании обеих щелей картина не будет наложением двух предыдущих. Как мы видим, движение электронов несовместимо с представлениями о движении их по траекториям, на движение каждого влияют обе щели!

Отсюда вытекает очень важный вывод: классические характеристики – координаты x, y, z и проекции импульса px,py, pz применимы к частицам микромира с определенными ограни-

чениями. Если бы значения были точными, то, спустя время dt, можно было бы найти новые координаты x+dx=x+px/mdt, y+dy=y+py/mdt, z+dz=z+pz/mdt, и так получить непрерывную

36

последовательность точек – траекторию.

В предыдущем семестре в задаче о дифракции света мы

пришли к неравенствам: ∆kx ∆x ≥ 2π, ∆ky ∆y ≥ 2π, ∆kz ∆z ≥ 2π, а в задаче об установлении колебаний к ∆ω ∆t≥2π. Эти ве-

личины характеризуют степень немонохроматичности волнового пакета, занимающего в пространстве область ∆x, ∆y, ∆z, и проходящего через определенную точку пространства за время

∆t. С помощью соотношений де Бройля k = 2hπ p и ω = 2πhE

мыприходимкнеравенствам:∆pxi∆xi≥h,и∆E ∆t≥ h.Этинеравенства называются соотношениями неопределенностей, были установлены и истолкованы Гейзенбергом.

Можнопоказать,чтолюбыеэксперименты,которыевпринципе можно поставить для измерения координат и импульсов, независимо от технических трудностей, дают возможность измерить одновременно xi и pxi только с точностью, не нарушающей эти неравенства. Ввиду идеализированного характера таких экспериментов, говорят о «мысленных» экспериментах, однако имеется в виду, что они допускают реальную постановку.

Пусть,например,наэкран,вкоторомимеетсящель,шириной b падает частица с импульсом p, перпендикулярным плоскости экрана. До прохождения экрана мы должны мыслить частицу, как плоскую волну, простирающуюся во всех направлениях, параллельных плоскости экрана. Координата х (ось ОХ направлена параллельно экрану) полностью неопределена, ∆x= , в то время как px 0 и, следовательно, ∆px=0.

После прохождения щели координата частицы становится определенной с точностью до b (∆x=b), однако одновременно с этим плоская волна, ассоциированная с частицей, испытыва-

37

ет дифракцию и частица с заметной вероятностью попадает на экранбольшейчастьювпределахглавногомаксимумадифракци- оннойкартиныиприобретаетимпульсвдольосиХ–∆px=p sinθ.

Согласно теории дифракции первый минимум лежит в направлении, определяемом формулой bsinθ=λ, откуда:

∆px ≥ λb p , учитывая, что λ = hp , получим: ∆px b=∆px ∆x h.

Таким образом, корпускулярно волновой дуализм гарантирует выполнение неравенств Гейзенберга. Так же обстоит дело и в других мысленных экспериментах. Еще раз отметим: дело здесь не в том, что эксперимент вносит неустранимую погрешность в ∆px, дело в двойственности природы, частицы микромира на самом деле объективно не обладают одновременно определенными значениями ∆px и ∆x и этими характеристиками движения можно пользоваться лишь с погрешностями, подчиняющимися неравенствам Гейзенберга.

Оценим, какие количественные ограничения накладывают неравенства Гейзенберга на поведение частиц в зависимости от ихмассы.Запишемоднуизформулввиде: ∆x ∆Vx ≥ h/m .Рассмотрим сначала малую, но макроскопическую (броуновскую) частицу с массой m =10–6г. Пусть ее положение определено в микроскопе с точностью до длины волны света ∆х =10–5см.

Тогда ∆V ≥	h	= 6,6 10−27	= 6,6 10−16 см/сек,что мно-
x	m∆x	10−610−5

го меньше возможностей ошибок измерения скорости. Поэтому для макроскопических измерений координаты и скорости с огромной точностью имеют одновременно определенные значения и, следовательно, имеет смысл понятие траектории.

Для микрочастиц. Допустим, что мы хотим установить принадлежностьэлектронакопределенномуатому,мыдолжныдля

38

этогоиметьточностьопределениякоординаты(неважнокаким методом) ∆х ~ 10–9см. Масса электрона me=9 10–28г.

Находим: ∆Vx ≥ 6,6 10−27 = 6,6 109см/сек. Это, по край-

10−910−28

ней мере, на порядок больше скорости электрона в атоме по

модели Бора.

Однако соотношение неопределенностей не противоречит наблюдению траекторий в камере Вильсона. Трек электронов

– цепочка капель жидкости размером ~10–4см. Для ∆Vx получаем ~6,6 105см/сек. Наблюдение достаточно четких треков возможно при энергии электронов не менее 1 кэВ, когда их скорости имеют порядок 109см/сек, и поэтому относительная погрешность ~6 10–4.

Соотношения неопределенностей позволяют решить некоторые качественные задачи. Рассмотрим электрон в водородно-подобном атоме с порядковым номером Z. Воспользуемся классической

формулой для энергии электрона: E = p2 − Ze2 . Из симме-

2me r

трии средние значения импульса и расстояния от ядра равны

нулю, т.е. r =0 и p =0. Поэтому в выражении для энергии мож-

но заменить: p=∆p, r=∆r и воспользоваться

∆p ≥

h

. Тогда

2∆r

h2

Ze2

E ≥

−

r

. Устойчивое состояние соответствует мини-

8m r2

e

h2

Ze2

муму энергии, Дифференцируя, получим −

+

= 0.

4m r3

r

2

e min

min

39

Откуда r =

h2

,чтопопорядкувеличинысоответствует

4Ze2m

min

e

h2

радиусу первой Боровской орбиты: r =

. Для минималь-

1

e2m

e

2Zm e4

ного значения энергии имеем: E =

h2

−

Ze2

= −

,

e

8m r2

r

h2

e

min

min

что опять по порядку величины совпадает с энергией первой Боровской орбиты E1 = Zm2he2e4 .

Таким образом, описание частиц в квантовой механике является принципиально статистическим, а использование классических понятий координат и импульсов возможно лишь приближенно и ограничивается неравенствами Гейзенберга. Заметим, что любые наглядные образы: облако, волна, точка, твердый шарик и т.д., строго говоря, непригодны для микрочастиц и имеют лишь ограниченную приложимость. Люди – объекты макроскопические и только такие объекты они могут себе представить наглядно. Но отсутствие наглядности отнюдь не являетсянедостаткомтеории,еезадачадаватьответыналюбые вопросы,которыеможетпоставитьэксперимент(иногдаимысленный!) или даже предсказать его результаты. И квантовая механика это прекрасно делает в области своей применимости.

40