Вычисление определенного интеграла по общей формуле Симпсона
Требуется вычислить интеграл:
(1)
Здесь a и b соответственно нижний и верхний пределы интегрирования; f(x)– подынтегральная функция, заданная аналитически.
Размер участка интегрирования
(2)
где n – число участков интегрирования, четное число. Общая формула Симпсона может быть представлена в виде
(3)
Формулу (3) можно преобразовать к виду с одной суммой
(4)
Погрешность усечения
,
€[a,b] (5)
По
формулам (3) и (4) можно вычислить интеграл
S,
а по (5) – оценить погрешность вычислений.
Если же потребуется вычислить интеграл
с заданной точностью
,
то необходимо определить шаг интегрирования
h
или, что то
же самое, число участков интегрирования
n
обеспечивающих требуемую точность.
Можно поступить двояко:
использовать выражение для погрешности усечения (5).
Находим такое число М, что
(6)
В этом случае
(7)
Если потребовать, чтобы
,
то при
(8)
будет получена требуемая точность вычисления.
Пример.
Определить шаг интегрирования для
вычисления интеграла
с
;
y=Sinx;
yIVSsinx;
;M=1
a=0; b=π.
;
;
Выбираем
.
В тех случаях, когда оценка значений четвертой производной подынтегральной функции затруднительна,. применяют способ двойного пересчета;
использовать способ двойного пересчета.
Вычисляют интеграл S дважды: сначала с некоторым шагом h (число шагов n) – S1N, а затем с шагом h/2 (число шагов2n) – S2N.
Если
, (9)
где
–
допустимая погрешность, то полагать
S=S2N.
Если
же окажется, что
,
то расчет повторить с шагом
h/4
и так до тех пор, пока не выполнится
условие (9).
Погрешность вычисления
. (10)
В случае выполнения условия (9) обязательно
(11)
В качестве начального значения шага можно выбрать число
(12)
Вычисление определенного интеграла по общей формуле трапеций
Общая формула трапеций для вычисления интеграла (1) имеет вид:
, (13)
где
–
погрешность усечения равная
,
€[a,b] (14)
По формуле (13) можно вычислить интеграл, а по формуле (14) – оценить погрешность вычислений.
Если
же потребуется вычислить интеграл с
заданной точностью
,
то можно использовать формулу для
погрешности усечения (14) либо способ
двойного пересчета.
В первом случае необходимо такое число М, что
для
любого
€[a,b] (15)
Тогда
(16)
Если
потребовать, чтобы погрешность была
меньше
,
то
и требуемая точность будет достигнута при
(17)
Если взять данные примера, рассмотренного выше, то
Выбираем n=51.
Из примера видно, что для получения одной и той же точности вычислений метод трапеций требует большего числа шагов.
При методе двойного пересчета вычисляем значения интеграла с числом шагов n (Sn) и с 2n – S2n.
Если
, (18)
где
–
требуемая точность вычислений, полагаем,
что S=S2n/
Если же
,
то расчет повторяют с удвоенным количеством шагов и так до тех пор, пока не выполнится условие (18).
Погрешность усечения
(19)
при
выполнении условия (18) будет меньше
.
таблица2. Варианты заданий
|
№ п/п |
Интеграл |
Метод |
К-во деле-ний |
Шаг, h |
Первообразная функция |
|
|
|
Симпсона |
30 |
0,25 |
|
|
|
|
Трапеций |
54 |
|
|
|
|
|
Прямоуголь- ников |
36 |
0,2 |
|
|
|
|
Трапеций |
52 |
0,5 |
|
|
|
|
Симпсона |
104 |
|
|
|
|
|
Трапеций |
48 |
0,2 |
|
|
|
|
Прямоуголь- ников |
48 |
0,4 |
|
|
|
|
Симпсона |
208 |
0,25 |
|
|
|
|
Трапеций |
44 |
0,3 |
|
|
|
|
Прямоуголь- ников |
48 |
0,2 |
|
|
|
|
Симпсона |
36 |
0,5 |
|
|
|
|
Трапеций |
40 |
0,2 |
|
|
|
|
Прямоуголь- ников |
44 |
0,2 |
|
|
|
|
Симпсона |
160 |
0,125 |
|
|
|
|
Трапеций |
240 |
0,2 |
|
|
|
|
Прямоуголь- ников |
22 |
0,125 |
|
|
|
|
Симпсона |
48 |
0,25 |
|
|
|
|
Трапеций |
22 |
|
|
|
|
|
Прямоуголь- ников |
96 |
0,25 |
|
|
|
|
Симпсона |
60 |
|
|
|
|
|
Трапеций |
52 |
|
|
|
|
|
Прямоуголь- ников |
176 |
0,6 |
|
|
|
|
Симпсона |
36 |
0,025 |
|
|
|
|
Трапеций |
52 |
0,1 |
|
|
|
|
Прямоуголь- ников |
132 |
0,3 |
|
|
|
|
Симпсона |
40 |
|
|
|
|
|
Трапеций |
78 |
0,2 |
|
|
|
|
Прямоуголь- ников |
40 |
0,1 |
|
|
|
|
Симпсона |
72 |
0,125 |
|
|
|
|
Трапеций |
36 |
0,25 |
|
