2.2.1 Несвободное твердое тело. Связи. Реакции связей

Механические системы, моделирующие железнодорожный подвижной состав, не являются свободными. Это означает, что положения и скорости тел, входящих в состав таких систем, не могут принимать произвольные значения. Соответствующие ограничения, математически выражаемые некоторыми уравнениями либо неравенствами, включающими в себя обобщенные координаты и скорости, называются связями. Конструктивно связи реализуются в виде направляющих (рельсы), шарниров, поверхностей, стержней, гибких соединений (канаты, цепи) и так далее.

В курсе теоретической механики дается подробная классификация связей. Здесь ограничимся кратким напоминанием.

1. Связи, которые в математической записи выражаются уравнениями, называются удерживающими (двусторонними), если же неравенствами – то неудерживающими (односторонними).

Ограничения, накладываемые двухсторонней связью на координаты точек, выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве, по которым движется точка (система материальных точек). Такая связь может быть выражена аналитически уравнением, которое называется уравнением связи, например,

, (2.41)

это выражение означает, что точка всегда находится на поверхности и не может с нее сойти.

Ограничения, налагаемые на координаты точек односторонней связью, выражаются неравенствами типа

или , (2.42)

эти неравенства выражают тот факт, что точка может покидать поверхность и находиться либо по одну, либо по другую сторону от нее.

2. Если в аналитическом выражении связи время t явно не содержится, то такая связь является стационарной, в противном случае – нестационарной.

3. Связи, которые описываются уравнениями, содержащими координаты точек и, может быть, время, называются геометрическими. Если же связи представлены неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями, содержащими компоненты скорости (производные от координат по времени), они называются кинематическими.

Механическая система, движение которой ограничено только геометрическими связями, называется голономной, если же среди связей имеются кинематические – неголономной.

4. Связи являются идеальными, если сумма работ всех реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю. Возможными перемещениями системы называются бесконечно малые перемещения ее точек, совместимые в данный фиксированный момент времени с наложенными на систему связями.

В качестве примера тела, стесненного удерживающей стационарной связью, можно привести поршень, который имеет возможность перемещаться только вдоль оси цилиндра х(рис. 2.24).

Рис. 2.24 Модель движений поршня

Другим примером удерживающей стационарной связи может служить абсолютно жесткий стержень длиной , соединяющий материальную точку с неподвижным шарниром (рис. 2.25). Жесткий стержень ограничивает движение точки , допуская ее движение лишь по сферической поверхности радиуса .

Рис. 2.25 Модель движения тела по сфере

Уравнение связи в этом случае будет иметь вид

.

Это уравнение связывает геометрические координаты точки и не содержит время в явном виде.

Примером односторонней нестационарной связи может служить материальная точка , прикрепленная к концу нерастяжимой и невесомой нити длиной , проходящей через неподвижно закрепленное кольцоO(рис. 2.26).

Рис. 2.26 Модель односторонней нестационарной связи

Если конец нити перемещается с постоянной скоростью , то длина участка нити изменяется с течением времени по закону

,

где – длина нити в начальный момент времени.

Если нить находится все время в одной и той же плоскости , то уравнение связи будет явно содержать время:

.

Точка в этом примере в каждый момент движется по дуге окружности, радиус которой с течением времени уменьшается, в результате ее траектория движения представляет собой спираль. В этом случае уравнение связи кроме координат явно содержит время .

Следовательно, движение несвободной механической системы (локомотивы, вагоны и путевые машины представляют собой именно такие системы) зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий движения, но также от имеющихся связей. Для железнодорожных экипажей основной внешней связью является рельсовая колея.

При решении задач механики часто применяется аксиома освобождаемости от связей,которая гласит, что связи, ограничивающие движение тела, могут быть отброшены и заменены силами реакций связей таким образом, чтобы состояние тела не изменилось.

Аксиома освобождаемости от связей позволяет рассматривать движение несвободной материальной системы как движение свободной материальной системы под действием активных сил, которые вызывают или могут вызвать движение, и сил реакций связи.

Пусть материальная точка массой движется под действием активной силы по некоторой неподвижной поверхности, являющейся для точки удерживающей связью (рис. 2.27). Полагаем, что поверхность абсолютно гладкая (идеальная связь). В этом случае реакция связи направлена по нормали к поверхности и называетсянормальной реакцией.

Рис. 2.27 Модель движения системы под действием активной силы по неподвижной поверхности

78