Моделировани электрической дуги

ЕЛЕКТРОТЕХНІКА

УДК519.6

Верещаго Е. Н.1, Костюченко В. И.2

1Канд. техн. наук, доцент, Национальный университет кораблестроения, г. Николаев, Украина 2Канд. техн. наук, доцент, Николаевский политехнический институт, Украина, Е-mail: [e-mail]

МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ В MATLAB / SIMULINK

В статьепредставлены результаты решенияи исследования впакетеSimulink системы MATLAB математической модели электрической дуги. Описана логика функционирования исследуемой системы, и взаимодействие во времени отдельных ее элементов.

Ключевые слова: электрическая дуга, математическая модель, испытания, источник питания, электротехнологический процесс.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящеевремя большоераспространение получилисварочныеиродственныепроцессыитехнологии, вкоторых используетсясварочнаяиплазменнаядуга[1– 4]. Этосварка, резка, наплавка, напыление, плавкаипереплавкаметалловит. д. [4]. Длясозданияииспытания новых малогабаритных иэффективных источников напряжения (тока) для современных электротехнологий, имеющих повышенныединамическиехарактеристики, требуютсяисследованиядинамическихсвойствэтихисточников при работе на нелинейную нагрузку – электрическую дугу. В этой связи представляется важным разработка модели дуги для использования при решенииразличныхприкладныхзадач.

Очевидно, что для достижения поставленной цели необходимо решить несколько самостоятельных задач. Первая задача – это выбор наиболее приемлемой математической модели для описания процессов в сварочнойдуге. Втораязадача– построениефункционального преобразователя, позволяющегорешить уравнениематематической модели динамической дуги. И, наконец, третьязадача состоитв получениифункциональнойзависимостидлянапряжениянадугеоттока.

Приведем основные аргументы, поясняющие почему обобщенная модель сварочной дуги в MATLAB / Simulink оказаласьстоль эффективнойдлярешенияцелойсовокупностизадач.

К настоящему времени предложено большое количество моделей динамической дуги. Важными видами моделейбудут: моделиКасси, Майра, Заруди, Шельгазе,

Siemens / Habedank, Kema, Schavemaker, Schwarz

(Avdonin), математическая модель динамической дуги (ММДД), разработаннаявИЭСим. Е. О. Патона, имногиедругие[4, 5].

Следуетсразужеотметить, чтоММДДприменительнок сварочнойдуге имеетряд преимуществ по сравнению с другими моделями. ММДД – наиболее общая модель, связана с энергетическими параметрами сварочнойдуги, справедливадлялюбыхвидовстатических вольт-амперныххарактеристик(СВАХ) дуги, позволяет решать задачи в электротехнических терминах, может быть распространена на случаи дуг с изменяющейся

© Верещаго Е. Н., Костюченко В. И., 2013

длиной, движущихсядугидугспродувкойгаза. СпомощьюММДД легкоопределяютсятакие важныеэнергетические параметры столба дуги как отводимая мощностьивнутренняяэнергиястолбадуги, чтопринципиальноневозможновальтернативныхмоделях.

Интересно, чтовчастномслучае, когда СВАХимеет степеннойвидспоказателем степениn, модель, например, КассиполучаетсяизММДД приn = 0, модельМайра имеетместоприn = –1, а модель Зарудиреализуется при n = −(1 − k) /(1+ k) . Здесьk – показательнелинейностиплазмы[4, 5].

К конкретным примерам программ компьютерного моделированиясхемсдугамиможноотнести, впервую очередь, пакеты EMTP96 (v3.0), XTrans [4]. Первый из нихбазируетсянаосновеметодаузловых потенциалови имеет встроенную функцию постоянного шага. Метод этот, впрочем, ещенедоведенполностьюдопрактических приложений, и области его рационального примененияневыявлены. Отметим, чтомодельдугивEMTP96 активнатольковкороткоевремянепосредственноперед переходом тока через нуль, иэтоможетприводить кневерным результатам. Пакет XTrans, получивший более широкое распространение, базируется на дифференциальных алгебраических уравнениях, реализует модель дуги Майра и имеет встроенную функцию переменного шага. Последнее является большим преимуществом приисследованиях схемснелинейнымимоделямидуги.

НесомненноедостоинствоMATLAB / Simulink состоит в возможности построения моделей сложных электротехническихсистемна основеметодовимитационного и функционального моделирования. За счет такого подхода, вотличиеотизвестныхпакетовсхемотехнического моделирования типа OrCAD, PSpice, DesignLab, Workbench ит.д., модельупрощается, экономитсяпамять, повышаетсяскоростьрасчета иработоспособностьперсонального компьютера (ПК). Важно отметить, что

MATLAB Simulink / Arc Model Blockset базируется на методепространствасостояний, ставшимосновнойформойинтерпретацииповедения динамических систем, и имеет функцию многократно меняющегося шага. При малой размерности задач динамики их решение имеет наглядное геометрическое отображение в пределах де-

40	ISSN 1607–6761. Електротехнікатаелектроенергетика. 2013. №2

f (u, i) = 0

ЕЛЕКТРОТЕХНІКА

картовогопространства. Изсказанногоследует, чтонаиболееподходящийсовременныйподходкматематическомумоделированию электрическойдуги иреализация математического описания с минимумом сложности связаны с применением универсальной модели дуги и современного, постоянноразвивающегося сширокими возможностями для моделирования пакета MATLAB /

Simulink.

ИМИТАТОР ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ ДЛЯ ОЦЕНКИ СВОЙСТВ ИСТОЧНИКОВ ТОКА

Обратимвнимание, чтонаиболееобщаяформаописаниядинамикиобъекта намакроуровне(сосредоточеннаямодель) – это дифференциальныеуравнения в простыхпроизводных.

Далееэлектрическаядугакакэлементэлектрической цепиописываетсяфеноменологическикактепловойинерционныймакрообъект[4, 5], которыйможноохарактеризоватьследующимипараметрами: статическойвольт-ам- перной характеристикой (СВАХ) столба дуги Uст.д(iθ), отражающейстатическиесвойствадуги, итоком состояниядуги iθ, характеризующимвнутреннююэнергиюдуги в данный момент времени. Параметры θ и связаны с током дуги i уравнением математической модели динамическойдугивдифференциальнойформе[4, 5]

θdiθ2 +i2 = i2 , dt θ

где θ – постоянная времени столба дуги. Постоянная времени имеет большое значение для динамического состоянияэлектрической дуги. Существенно, что сувеличением тока дуги и скорости обдува постоянная времени уменьшается и для дуг в плазмотронах она нахо- дитсявдиапазоне1·10–6 … 1·10–7 с[4, 5].

Приэтом напряжениена дуге

uд =	Uст.д(iθ)	i +Uа−к,	(1)
	iθ

гдеUа−к – суммаприэлектродныхпаденийнапряжения, которуюв первомприближенииможносчитатьвеличи-

нойпостоянной; Uст.д(iθ) ·i / iθ – напряжениена столбе дугивдинамике.

Черездинамическиепараметрыстолбадугиопределяетсяподводимаямощность

P = uст.дi = Rст(iθ)i2 = Uстi.д(iθ) i2 ,

θ

где Rст(iθ) =Uст.д(iθ) / iθ = uст.д / i – статическоесопротивлениестолбадуги, аотводимаяотстолбадугимощ-

ность однозначно определяется из соответствующего статическогосостояния:

Pθ =Uст.д(iθ)iθ.

Вслучаестепеннойаппроксимациинелинейнойста- тическойвольт-ампернойхарактеристики iθ(u) математическая форма аппроксимированной ВАХ такова:

	u	1/ n
			,	(2)
iθ(u) = I0
U0

где I0, U0 – ток и напряжение в фиксированной точке на ВАХ дуги (в выбранной рабочей точке); n – показатель степени (n = ∞ – дляВАХ независимой от напряжения; n = –1/3 – для свободно горящих дуг; n = –1 – для дуг постоянноймощности). Врасчетахиспользовалосьзна-

чениеn = –1/3.

Заметим, что любое нелинейное сопротивление с ВАХ

(3)

можетбыть замененозависимымиисточниками тока и напряжения, и, наоборот, источник, зависящий от тока, протекающегопонему(напряжения, падающегонанем) может быть заменен сопротивлением, управляемым током (напряжением). Если (3) можноразрешить лишь относительноодногоэлектрическогопараметра, товводятпонятиесопротивления, зависящегооттокаR(i), протекающего по нему, или от напряжения R(u) между его выводами. Итак, разрешаяуравнение (3) относительно токаилинапряжения, приходяткзависимомуисточникутока Iз(u) илинапряженияUз(i).

Для моделирования элементов с нелинейной вольтампернойхарактеристикойиспользуетсяпринципиальная модельнабазеуправляемогоисточниканапряженияили управляемогоисточникатока, приведеннаянарис. 1.

В модели (рис. 1) к управляемому источнику тока параллельноподключенизмерительнапряжения. Междувыходом измерителянапряженияивходомисточника тока (ИТ) включена Simulink-модель, реализующая необходимуюВАХ(2) электрическойдуги. Параллельно ИТтакжеподключенразвязывающийрезисторRp.

Интересноотметить, чтостехническойточкизрения более предпочтительным является функциональный преобразователь первого типа, в котором напряжение на столбедугиобеспечиваетсяспомощьюповторителя напряжения. В этом случае достаточно просто имитироватьнапряжениекакнастолбедуги, такинаприэлектродныхобластях.

Рис. 1. Принципиальная модель нелинейногоэлемента (дуги)

41

ЕЛЕКТРОТЕХНІКА

Модель дуги представлена в виде блок-диаграммы нарис. 2. ПрисозданиимоделивсредеMATLAB использованыизвестныеположениятеорииипрактикиимитационногомоделирования[8, 9]. На рис. 2 в схемепредставленыосновныеэлементы: источниксигналапостоянной величины – Constant, который складывается с сигналом, получаемымнавыходеблокаскалярногопроизведениядвухвекторовдляполучениявыражения(1) и имитируетнапряжениекакна столбедугитакинаприэлектродныхобластях; Switch – этопереключательссигнала датчика тока на постоянный сигнал. Тем самым обеспечивается эффективное и простое решение проблемы физической реализуемости моделируемого элемента[6, 7]; блокMemory – путемзадержкинаодиншаг дискретизации обеспечивает устранение негативного влиянияалгебраическогоконтура; модельSimulink дуги реализована с помощью блока Fcn. Численные значения параметров приняты следующими: U0 = 26 B; I0 = 100 A; n = –1/3; ВАХзаданавыражением:

		iθ	n
				(4)
	U (iθ) =U0	I0	.

Уравнениединамикидугивтерминахпроводимости (в g-форме) [5] длядостаточно длинных дуг, когда приэлектродными падениями напряжения можно пренебречь, имеетвид

2θ

1 dg

i2

i2 , (5)

+1 =

=

−

g

g

dt

g 2U 2

(i

)

gPθ

1

G

(i

)

ст.д

θ

дф

θ

где Gдф(iθ) = (dUст.д(iθ) / diθ)−1 – дифференциальная проводимость; Pθ =Uст.д(iθ)iθ – отводимая мощность;

Рис. 2. Блок-диаграмма имитатора сварочной дуги

g =1/ Rст(iθ) = iθ /Uст.д(iθ) – статическаяпроводимость столбадуги.

Вчастном случаестатическойВАХстепенноговида

(4)уравнение(5) записываетсятак:

n

2

2θ 1

dg

I

1−n

i

2

u

д

i

+1

=

0

=

.

(6)

1−n g dt

2/(1−n)

P

U

0

g

θ

Если, крометого, учесть, что

1 dg

1 di

1

duд ,

= i dt

−

g

dt

uд

dt

тоуравнение(6) можнозаписатьв следующемвиде:

1 dg

d ln g

1 di

1

du

д

u

д

i

1

,

dt =

= i dt

−

=

−1

g

dt

u

д

dt

P

τ

θ

где τ = 2θ/(1−n).

Так как при синусоидальном характере изменения тока его переход через нуль происходит практически линейно

i = (di / dt)0t ,

(7)

то после преобразований получаем

1 duд

τ

1

= −

τ

di

t

.

(8)

− 1

+

2

d(t / τ)

P

τ

t u

д

dt

0

uд

θ

Уравнение(8) являетсяуравнениемБернулли. Введением новой переменной z = 1 / uд ивыбором в

качестве масштаба времени постоянной времени τ оно сводитсяклинейномув нагляднойформе.

Решениеже этогоуравнения имеетвид

	e−t / τ		τ(di / dt)
z =				0	∫(t / τ)2 et / τd(t / τ)+C .
	t / τ		P
			θ

Имея в виду, что для достаточно малых значений τ экспоненциальной компонентой (свободной составляющей реакции) можно пренебречь, получаем

	uд =	Рθ		t / τ	.	(9)
		τ(di / dt)D		(t / τ)2 −2t / τ+ 2

Таккак, во-первых, второеслагаемоепрималойпостояннойвремениτ быстрозатухаетпосравнениюспериодом промышленной частоты, а, во-вторых, напряжениена дуге приt = 0 равнонулю.

Из условия uд'(tmax) = 0 получаем уравнение для определения tmax:

tma2 x = 2τ2 ,

42	ISSN 1607–6761. Електротехнікатаелектроенергетика. 2013. №2

ЕЛЕКТРОТЕХНІКА

откуда

tmax = ±

2τ = ±2

2θ/(1−n).

При этом

uдmax1

=

Pθ

0,5

1,21Pθ

и

τ(di / dt)0

( 2 −1)

τ(di / dt)0

uдmax 2

= −

Pθ

0,5

−

0,21Pθ

. Какмыви-

( 2 +

1)

τ(di / dt)0

τ(di / dt)0

дим, напряжениенадугевозрастаетсповышениемРи и в то жевремя именьшие значения θ увеличиваютuд.

Следуетотметить, чтомаксимальныезначенияuд при синусоидальном токе соответствуют СВАХ дуги (при стремлении постояннойвремени θ кнулю).

ОпределимдифференциальноесопротивлениеRдф из

(9) и(7):

Rдф =	Pθ		1	.
	τ2 (di / dt)2		(t / τ)2 −2t / τ+ 2
	0

Следовательно, величина

Rдф0 =	1		Pθ	.
	2		τ2 (di / dt)2
			0

Другими словами, величина Rдф при переходе тока черезнуль (дляt = 0) равнаостаточномусопротивлению дугиRдф0.

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Дляцеписэлектрическойдугойбылопроведеноисследование. Цель такого моделирования системы «источник питания – дуга» имеет два аспекта: во-первых,

пронаблюдатьвзаимодействиецеписэлектрическойдугой (исследовать нелинейную динамическую диссипативнуюсистему) и, во-вторых, продемонстрироватьтот факт, что выбранная модель является простой с точки зрения реализации и требует меньшей априорной информацииофизических параметрахдугиив тожевремя требования точности могут быть обеспечены соответствующим выбором параметров модели.

Привоздействиина входедвухполюсниканапряжения (тока) нелинейная цепь с заданной точностью воспроизводиттребуемуюзависимость тока (напряжения) дляопределенныхзначенийt (рис. 3, 4) [1–3].

Характеристики, соответствующиеискомомуквазиустановившемусярежиму, получаютсяврезультатевыхода на данный режим работы через переходной процесспринулевыхначальныхусловиях. Врезультатемоделированиябылиполучены временныехарактеристи-

киuд = u(t), i = i(t) (рис. 3, 4).

Нарис. 3, 4 показаныидиаграммызначенийRст, Rдф и подводимоймощности Р. Обратим вниманиена то, что ошибки, какиранее, невыходятза допустимыепределы [1–4]. Величины Rст, Rдф иРна всехтокахсвысокойточностью совпадают с соответствующими параметрами, полученнымина моделиинетребуютуточненияисходного уравнения.

ВобщемслучаепараметрыRст, Rдф могутбытьпредставленыкакфункциямивремени, такифункциямитока.

Нарис. 3 представленазависимость активногомгновенного сопротивления Rст(t), которое характеризует нагрузку ИП. Теперь последнюю можно заменить на соответствующееRдф(i) (рис. 5).

а)

б)

Рис. 3. Временные диаграммы напряжения и тока дуги (сжатая дуга – θ =1×10−6 c ): положительные направления тока и напряжения противоположны (а) и диаграмма изменения сопротивления дуги Rст (б) большой мощности при установившемся режиме

43

ЕЛЕКТРОТЕХНІКА

а)

б)

в)

Рис. 4. Временные диаграммы напряжения и тока дуги (свободная дуга – θ =1×10−3c) при питании ее переменным током синусоидальной формы и частотой 50 Гц: положительные направления тока i и напряжения uд противоположны (а) и осциллограммы значений Rдф (б), Р (в)

Рис. 5. Зависимость динамического сопротивления дуги Rдф от тока дуги i

44	ISSN 1607–6761. Електротехнікатаелектроенергетика. 2013. №2

ЕЛЕКТРОТЕХНІКА

Вслучаедугипеременноготока инерцияобусловливаеттообстоятельство, чтосопротивлениедугиприпереходе тока через нуль не принимает бесконечно большогозначения, какэтоможнобылобыпредполагать на основанииустановившейся характеристики, ичто в зависимости от охлаждения дуги образуется более или менее значительное остаточное сопротивление Rдф0. Здесьжеотметим, чтоввидуконечногозначениясопротивления в момент перехода тока через нуль напряжениеэлектрической дугивместестоком становитсяравнымнулю(рис. 3, 4). Характеристикудугипеременного тока, изображеннуюна рис. 6, называютдинамической характеристикой. Оказывается, чтоприпадающемтоке онапроходитнижеустановившейся(статической) характеристики, а при возрастающем токе – выше нее. Это означает, чтовследствиеинерцииэлектрическойдугиее динамическое сопротивление при падающем токе всегда меньше статического сопротивления, а при возрастающемтоке– всегдабольшестатического.

Из рис. 4 видно, что после перехода тока через нуль динамическоесопротивление дугисначала продолжает возрастать и лишь по истечении известного времени начинает снова уменьшаться, если подводимая мощность Рпревышаетпотери Pθ идуга снова нагревается. Вмоментперехода тока через нульиподведеннаямощность P = ui равнанулю, азатемонавозрастает. Изэтого рисунка также видно, что дифференциальное уравнениединамическойдугисодержитв себебалансееэнергии. Приснижающемсятокеподводимаямощностьвсегда меньше мощностипотерь, такчто дуга непрерывно охлаждается, втожевремяпривозрастающемтокеподведенная мощность выше отводимой и дуга при этом нагревается.

Взаключениеследуетотметить, чтоприменениеимитатораэлектрическойдугиимеетбольшиеперспективы

дляпроведенияцелойсовокупностииспытанийсварочных источников питания. На его основе реализуются различные дуги как постоянного тока, в том числе и модулированного, так и переменного тока. Варьированием постоянной времени θ можно имитировать разныепокрытияэлектродов иразныезащитныегазы. Разумеется, несомненный интерес представляет использование имитатора и для определения КПД сварочных источниковпитания.

ВЫВОДЫ

1.Построена библиотечная Simulink-модель электрической дуги и получены временные диаграммы работытакоймодели. Решенодифференциальноеуравнение, описывающеединамикудуги, выполненрасчетдинамического сопротивления дуги и остаточного сопротивлениядугиприпереходетокачерез нуль.

2.Грамотное использование пакета MATLAB / Simulink значительно увеличиваетдостоверность полученныхрезультатовипозволяетисследоватьработуэлектротехническогоустройства практическилюбогофункциональногоназначения.

3.Модель электрической дуги моделирует строго нелинейныйрежим соченьмалымивовлеченнымиконстантами времени, что усложняет числовую обработку результатов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Верещаго Е. Н. Квазирезонансный источник питания PLASMA 110i HF для плазменной резки / Е. Н. Верещаго, В. Ф. Квасницкий, В. И. Костюченко // Сварочноепроизводство. – 2008. – №6. – С. 37–41.

2.Верещаго Е. Н. Стабилизатоp тока с квазиpезонансным импульсным преобpазователем для плазменной технологии / Е. Н. Верещаго,

Рис. 6. Динамическая ВАХ дуги

45

			ЕЛЕКТРОТЕХНІКА
		В. И. Костюченко// Сварочноепроизводство. – 2010. –	пособие для вузов. [Изд. 2-е, доп. и перераб.] /
		№10.– С.9–15.	В. А. Веников. – М. : Высшаяшкола, 1976. – 479 с.
	3.	ВерещагоЕ. Н. Физико-математическаямодельцепи	7. Динамическое моделирование и испытания техни-
		питанияплазмотрона/ Е. Н. Верещаго, В. И. Костю-	ческихсистем / [КочубиевскийИ. Д., Стражмейстер
		ченко // Сварочное производство. – 2013. – № 2. –	В. А., КалиновскаяЛ. В., Матвеев П. А.] ; подред.
		С. 19–25.	И. Д. Кочубиевского. – М. : Энергия, 1978. – 303 с.
	4.	Схемотехникаинверторныхисточниковпитаниядля	8. Гультяев А. К. MATLAB 5.2. Имитационное моде-
		дуговойсварки. Учебноепособие/ [ВерещагоЕ. Н.,	лированиевсредеWindows: Практическоепособие
		Квасницкий В. Ф., Мирошниченко Л. Н.,	/ А. К. Гультяев. – С.Пб. : КОРОНА, 1999. – 288 с.
		ПентеговИ. В.]. – Николаев: УГМТУ, 2000. – 283 с.	9. КондрашовВ. Е. MATLAB каксистеманаучныхтех-
	5.	ПентеговИ. В. Сравнительныйанализ моделейди-	ническихрасчетов/ В. Е. Кондрашов, С. Б. Королев. –
		намической сварочной дуги / И. В Пентегов,	М. : МИР, 2002. – 633 с.
		В. Н. Сидорец // Автоматическая сварка. – 1989. –	Стаття надійшла до редакції 02.10.2013.
		№2. – С. 33–36.
			Після доробки 19.11.2013.
	6.	ВениковВ. А. Теорияподобияимоделирования(при-

менительно к задачам электроэнергетики). Учебн.

Верещаго Є. М.1, Костюченко В. І.2 1Канд. техн. наук, доцент, Національний університет кораблебудування, м. Миколаїв, Україна

2Канд. техн. наук, доцент, Миколаївський політехнічний інститут, Україна

МОДЕЛЬЕЛЕКТРИЧНОЇДУГИВMATLAB / SIMULINK

У статті представлені результати вирішення завдання побудови синтетичного навантаження – імітатора звластивостями, адекватними електричній дузі. Здійснюється обґрунтований опислогіки функціонування досліджуваної системи і взаємодія в часі окремих її елементів.

Ключові слова: електрична дуга, математична модель, випробування, джерело живлення, електротехнологічний процес.

Vereschaho E. M.1, Kostyuchenko V. I.2

1Сandidate of technical science, associate professor, National university of shipbuilding, Ukraine 2Candidate of technical science, associate professor, Mykolayiv polytechnical institute, Ukraine

THE MODELOF ELECTRICARC IN MATLAB / SIMULINK

The results of solving the problem of synthetic load construction – simulator with appropriate electric arc properties. Reasonable description of the logic operation of the model and the interaction time of its individual elements with the most significant cause-and-effect relationship is implemented. The article describes the developed Simulink-model of the static and dynamic arc to address various problems related to both the research processes in the arc and in the sources of supply, as well as with tests in static and dynamic conditions and the practical implementation of such devices. The principle of the model action and the initial mathematical expressions are shown. The article is interested to developers of electro-technological equipment and experts in computer modeling of devices with non-linear elements.

Keywords: electric arc, a mathematical model, testing, supply, electro-technological process.

REFERENCES

1.Vereshchaho E. N., Kvasnytskyi V. F., Kostiuchenko V.

Y.Kvazyrezonansnyj ystochnyk pytanyia PLASMA 110i HF dlia plazmennoi rezky, Svarochnoe proyzvodstvo, 2008,No. 6, pp. 37–41.

2.Vereshchaho E. N., Kostiuchenko V. Y. Stabylyzatop toka s kvazypezonansnym ympulsnym preobpazovatelem dlia plazmennoi tekhnolohyy,

Svarochnoe proyzvodstvo, 2010, No. 10, pp. 9–15.

3.Vereshchaho E. N., Kostiuchenko V. Y. Fyzykomatematycheskaia model tsepy pytanyia plazmotrona,

Svarochnoe proyzvodstvo, 2013, No. 2, pp. 19–25.

4.Vereshchaho E. N., Kvasnytskyi V. F., Myroshnychenko

L.N., Pentehov Y. V. Skhemotekhnyka ynvertornykh ystochnykov pytanyia dlia duhovoi svarky. Uchebnoe posobye. Nykolaev, UHMTU, 2000, 283 p.

5.Pentehov Y. V. Sydorets V. N. Sravnytelnyi analyz modelei dynamycheskoi svarochnoi duhy,

Avtomatycheskaia svarka, 1989, No. 2, pp. 33–36.

6.Venykov V.A. Teoryia podobyia y modelyrovanyia (prymenytelno k zadacham elektroenerhetyky). Uchebn. posobye dlia vuzov. [Yzd. 2-e, dop. y pererab.]. Moscow, vysshaja shkola, 1976, 479 p.

7.KochubyevskyiY. D., StrazhmeisterV.A., Kalynovskaia L. V., Matveev P. A.; Pod red. Y.D. Kochubyevskoho. Dynamycheskoe modelyrovanye y yspыtanyia tekhnycheskykh system. Moscow, Jenergija, 1978, 303 p.

8.Hultiaev A. K. MATLAB 5.2. Ymytatsyonnoe modelyrovanye v srede Windows: Praktycheskoe posobye. Sankt-Peterburg, KORONA, 1999, 288 p.

9.Kondrashov V. E., Korolev S. B. MATLAB kak systema nauchnykh tekhnycheskykh raschetov. Moscow, MYR, 2002, 633 p.

46	ISSN 1607–6761. Електротехнікатаелектроенергетика. 2013. №2