Вопросы к экзамену по высшей математике

Вопросы к экзамену по высшей математике

1 курс 2 семестр 2012/2013 уч.г.

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема о виде первообразных. Оператор интегрирования. Cвойства неопределенного интеграла. Таблица основных формул интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

2. Понятие интеграла по мере. Основные свойства интеграла по мере.

3. Определенный интеграл. Задача о площади криволинейной трапеции. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении.

4. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям для определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла.

5. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Главное значение несобственных интегралов.

6. Двойной интеграл: определение, геометрическая интерпретация. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Приложения.

7. Общая формула замены переменных в кратных интегралах.

8. Тройной интеграл: определение, вычисление в декартовых координатах, приложения. Переход в тройном интеграле к цилиндрическим и сферическим координатам.

9. Криволинейные интегралы по длине дуги: определение, вычисление, приложения.

10. Криволинейные интегралы по координатам: определение, вычисление, приложения.

11. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

12. Приложения интеграла по мере в геометрии и механике: площадь плоской фигуры, площадь поверхности, объём тела, масса тела, статические моменты и центр тяжести, моменты инерции.

14. Ряды.

15. Ряды. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия.

16. Необходимый признак сходимости. Теоремы об остатке ряда. Свойства сходящихся рядов.

17. Сходимость положительных рядов. Теоремы сравнения.

18. Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Маклорена-Коши. Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака.

19. Сходимость знакопеременных рядов. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

20. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

21. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов.

22. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

23. Ряд Тейлора. Теоремы о разложении функции в степенной ряд. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Приложения степенных рядов (приближенное вычисление значений функции и определенных интегралов).

24. Ортогональная система функций. Разложение в обобщенный ряд Фурье по ортогональной системе функций.

25. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение функций в ряд Фурье по тригонометрической системе функций. Теорема Дирихле.

26. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье на полупериоде.

28. Дифференциальные уравнения

29. Дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Понятие об особом решении. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Геометрическое толкование дифференциального уравнения первого порядка и его решений.

30. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах.

31. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие о краевых задачах. Примеры физических и технических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

32. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 случая).

33. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и неоднородного уравнений.

34. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

35. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

36. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа.

37. Системы ДУ, методы их решения.

39. ТФКП

40. Комплексные числа и действия с ними. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа.

41. Дифференцируемость и аналитичность функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.

42. Основные элементарные функции комплексной переменной: степенная, радикал, показательная, логарифмическая, тригонометрические.

43. Интегрирование функций комплексной переменной. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей.

44. Интегральная формула Коши. Интегральная формула Коши для производных.

45. Ряды с комплексными членами. Ряд Тейлора в комплексной плоскости. Ряд Лорана. Вычеты аналитической функции.Теорема Коши о вычетах.

47. Рекомендуемая литература:

48. Ю.П.Самарин, Г.А.Сахабиева. Математика – 5,6,7 для студентов вузов, СамГТУ, Самара 2000.

49. Н.Д.Голубева, М.Е.Лернер. Обыкновенные дифференциальные уравнения, СамГТУ, Самара.2005.

50. М.А.Евдокимов, Л.Г.Волкова. Математика – 12. СамГТУ, Самара 2008.