- •Часть 3
- •Глава 1
- •1.1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Показательная форма комплексного числа
- •1.4. Понятие о функции комплексного переменного
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •1.6. Производная функции комплексной переменной и понятие аналитичности
- •1.7. Интегрирование функций комплексной переменной
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2
- •2.1.Оригиналы и изображения. Преобразование Лапласа.
- •2.2. Свойство линейности
- •2.3. Свойство подобия
- •2.4. Дифференцирование изображения.
- •2.5. Теорема смещения
- •2.6. Дифференцирование оригинала
- •2.7. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
1.6. Производная функции комплексной переменной и понятие аналитичности
Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функциик приращению аргументапри стремлении к нулю:
|
(1.18) |
Если этот предел существует при по произвольному пути, то функция называется дифференцируемой в точкеz. Если функциядифференцируема во всех точках области, то она называется аналитической в этой области.
Теорема: если функцияимеет непрерывные частные производные, то для аналитичности функции в этой области необходимо и достаточно выполнение условий
; |
(1.19) |
Докажем необходимость этих условий. Рассмотрим предел
По условию функция является аналитической, поэтому этот предел не зависит от пути, по которому.
Пусть сначала , а затем, тогда
|
(1.20) |
Пусть теперь сначала , а затем, тогда
|
(1.21) |
В силу аналитичности функции выражения (1.20) и (1.21) равны. Приравнивая их действительные части, получим первое равенство (1.19), а равенство мнимых частей приводит ко второму соотношению (1.19). Достаточность условий (1.19) примем без доказательства.
Соотношения (1.19) называются условиями Коши - Римана (иногда их так же называют условиями Даламбера - Эйлера).
Проверим выполнение условий (1.19) для функции .
, ;
, ;
, .
Оба условия (1.13) выполняются, поэтому показательная функция является аналитической. Аналогично можно доказать аналитичность всех остальных основных элементарных функций. То же относится ко всем вообще элементарным функциям, т.е. к функциям, которые составляются из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций и операции взятия функции от функции.
Пример 1.21.
1)- элементарная функция, следовательно она является аналитической всюду, кроме точки, в которой эта функция не определена.
2)- функция не аналитическая:,, условия (1.19) не выполняются.
Дифференцирование функций комплексного переменного
При выводе условий (1.19) были получены две формулы вычисления производной
|
(1.22) |
|
(1.23) |
Рассмотрим функцию
.
Найдем ее производную по формуле (1.22): .
, ,.
Аналогично можно показать, что справедливы все формулы и правила дифференцирования, известные из теории функций действительного переменного:
, , , , , .
1.7. Интегрирование функций комплексной переменной
Пусть Lнекоторый контур в комплексной плоскости,функция комплексной переменнойz, а функции двух действительных переменныхиявляются соответственно действительной и мнимой частью функции, то
|
(1.24) |
где ,,.
Это формула для вычисления интеграла по контуру.
Оба интеграла являются криволинейными интегралами второго рода в действительной плоскости.
Итак, вычисление интегралов по контуру сводится к вычислению двух криволинейных интегралов в действительной плоскости.
Пример 1.22
Вычислить интеграл ,L- отрезок прямой между точками и +1.
Решение
Теорема Коши для односвязной области
Если функция является аналитической в замкнутой односвязной областиD , то интеграл от нее по любому замкнутому контуру, расположенному в областиD, равен нулю:.
Доказательство:
Пусть функция аналитическая в областиD. Тогда для нее выполняютcя условия Коши-Римана (1.19)
|
(1.25) |
Вспомним условие равенства нулю криволинейного интеграла второго рода по любому замкнутому контуру
, |
(1.26) |
тогда первое условие (1.19) обращает в ноль второй интеграл в правой части равенства (1.25), а второе условие (1.19) – первый. Что и требовалось доказать.
Можно доказать, что для аналитической функции интеграл по контуру зависит только от начальной и конечной точек интегрирования. Более того, для аналитической функции имеет место формула Ньютона-Лейбница
, |
(1.27) |
где - первообразная аналитической функции.
Пример 1.23
Вычислить интеграл .
Решение
Подынтегральная функцияявляется аналитической. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница (1.27), получим
.