Лекция №8
Тема 1.7 Нагрев цилиндра конечных размеров
.
(105)
Если имеется симметрия относительно
оси z, то оператор
тождественно равен нулю, тогда получим
.
(106)
1). Рассмотрим решение уравнения для конечного цилиндра длиной lпри ГУ2 на боковой поверхности.
Положим, что один из торцов (z=0) теплоизолирован.
(107)
Используем преобразования Ханкеля и Фурье для решения этой задачи.
Для простоты последующих выкладок запишем уравнение (105) и условия (106) в безразмерной форме
(108)
(109)
(110)
(111)
где
- безразмерная температура (Т* - некоторое
начальное значение температуры,
фиксированная для определенной точки
цилиндра);
- безразмерные координаты.
;
;
;
;
.
Воспользуемся по переменной Х конечным интегральным преобразованием Ханкеля
(112)
и формулой обращения
,
(113)
где
- положительный корень характеристического
уравнения
;
а по переменной Z– конечным косинус-преобразованием Фурье
(114)
и формулой обращения
(115)
Согласно приведенным преобразованиям получим решение задачи в следующем виде
(116)
Если принять в (115)
и
,
то найдем
,
(117)
где
(n=0, 1, 2,…)
2). Рассмотрим теперь решение уравнения (106) при выполнении ГУ3 на боковой поверхности цилиндра.
Пусть краевые условия задачи имеют вид
;
или в безразмерной форме
;
(118)
(119)
(120)
В уравнении (108) и условиях (118)-(120) в
отличие от предыдущей задачи безразмерный
потенциал
имеет вид
кроме того
Применяя к уравнению (107) и условиям (117)-(119) последовательно преобразования (111) и (113), найдем обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение в изображениях. Решая его и выполняя обратные интегральные преобразования (115) и (113), после некоторых упрощений получим окончательное решение
(121)
где
,
- положительные корни характеристического
уравнения
,
(n=0, 1, 2,…).
В (121) введено разложение для тета-функции
