Практикум з вищої математики
.pdfМ І Н І С Т Е Р С Т В О О С В І Т И І Н А У К И У К Р А Ї Н И ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Р. М. Дідковський Н. В. Олексієнко О. П. Грижук Н. Ю. Вовненко
ПРАКТИКУМ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
•Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
•Елементи теорії векторного поля
Черкаси 2008
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ПРАКТИКУМ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
•Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
•Елементи теорії векторного поля
Затверджено
на засіданні кафедри вищої математики протокол № 8 від 13.02.2008 р.
та Методичною радою ЧДТУ, протокол № __ від __.__.2008 р.
Черкаси ЧДТУ 2008
УДК 517 ББК 22.161.1
Дідковський Руслан Михайлович, к.т.н., доцент, Олексієнко Наталія Володимирівна, к.т.н., доцент, Грижук Олександра Павлівна, Вовненко Наталія Юріївна
Рецензент: Ламзіна Тетяна Борисівна, к.ф.-м.н.
Дідковський Р.М., Олексієнко Н.В., Грижук О.П., Вовненко Н.Ю. Практикум з вищої математики: Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли. Елементи теорії векторного поля – Черкаси: ЧДТУ, 2008. – 112 с.
Практикум містить перелік літературних джерел, короткі теоретичні відомості, питання для самоконтролю, зразки розв’язування типових завдань, задачі для самостійного розв’язування з відповідями, набори розрахункових завдань для індивідуальної роботи студентів.
Для студентів технічних спеціальностей всіх форм навчання.
УДК 517 ББК 22.161.1
Навчальне видання
ПРАКТИКУМ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли.
Елементи теорії векторного поля
Підписано до друку __.__.2008. Формат 60х84 1/16. Папір офісн. Гарн. Times New Roman. Друк оперативний. Ум. др. арк. ___. Обл.-вид.арк. ___. Тираж ___ прим. Зам. №_____
Черкаський державний технологічний університет Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 896 від 16.04.2002 р. Надруковано в редакційно-видавничому центрі ЧДТУ бульвар Шевченка, 460, м. Черкаси, 18006.
© Макет ЧДТУ, 2008
ПЕРЕДМОВА
Даний посібник призначений для студентів технічних спеціальностей вищих навчальних закладів освіти, які вивчають курс вищої математики.
Посібник містить 17 параграфів, у кожному з яких подано:
•перелік літературних джерел;
•короткі теоретичні відомості;
•питання для самоконтролю;
•зразки розв’язування типових завдань;
•задачі для самостійного розв’язування з відповідями;
•набори розрахункових завдань для індивідуальної роботи студен-
тів.
Посібник може бути застосований при проведенні практичних занять та для організації самостійної роботи студентів.
Посібник рекомендовано для студентів денної форми навчання, а також може бути використаний студентами заочної форми навчання для самостійного опрацювання матеріалу.
3
§1. ПОНЯТТЯ ПОДВІЙНОГО ІНТЕГРАЛА ТА ЙОГО ОБЧИСЛЕННЯ
Основні теоретичні відомості
[1] – гл.VIII, §1, с.408-419; [2] – §1, с.564-569; [3] – глава ХІV, §1-3, с.152-167; [4] – глава VII, §1, с.262-270; [5] – глава I, §1, с.6-9.
Нехай функція z = f (x, D R2. Розіб’ємо область D1, D2 , …, Dn , які не мають Di позначимо Si , i =1,2,...,n Mi (xi; yi ) і утворимо суму
y) визначена в замкненій обмеженій області D сіткою довільних кривих на n частин спільних внутрішніх точок. Площі цих частин
. У кожній області Di візьмемо довільну точку
n |
|
In = ∑ f (xi, yi ) Si, |
(1) |
i=1 |
|
яку назвемо інтегральною сумою функції z = f (x, y) |
по області D . |
Позначимо λ = max diam(Di ) – найбільший із діаметрів областей i=1,2,..,n
Di.
Означення. Якщо інтегральна сума (1) при λ → 0 має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області D на частини Di, ні
від вибору в них точок Mi , то ця границя називається подвійним інтегралом функції f (x, y) по області D і позначається одним із символів:
∫∫ f (x, y) dS , або ∫∫ f (x, y) dxdy .
D D
При цьому область D називається областю інтегрування, а функція f (x, y)
називається інтегровною в цій області.
Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція z = f (x, y) неперервна в замкненій обмеженій області D , то вона інтегровна
в цій області.
Деякі властивості подвійного інтеграла.
Вважатимемо підінтегральні функції інтегровними.
1. (Лінійність подвійного інтеграла.) Якщо C1 і C2 сталі числа, то
∫∫(C1 f (x, y) ± C2g(x, y)) dxdy = C1∫∫ f (x, y) dxdy ± C2 ∫∫g(x, y) dxdy.
D D D
2.(Адитивність подвійного інтеграла.) Якщо область інтегрування D функції f (x, y) розбити на області D1 і D2 , які не мають спільних внут-
рішніх точок, то
∫∫ f (x, y) dxdy = ∫∫ f (x, y) dxdy + ∫∫ f (x, y) dxdy.
D |
D1 |
D2 |
3. Якщо в області D має місце нерівність |
f (x, y) ≥ 0, то |
∫∫ f (x, y) dxdy ≥ 0.
D
4
4. Якщо в області D f (x, y) ≥ g(x, y), то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy ≥ ∫∫g(x, y)dxdy . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислення подвійного інтеграла. |
|
|
|
||||||||
|
y |
|
y = y2(x) |
|
Якщо |
в |
подвійному |
інтегралі |
|||||||
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy |
|
область інтегрування |
D |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обмежена знизу і зверху двома непере- |
|||||||||
|
|
|
|
|
y = y (x) |
рвними кривими: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y = y1(x), y |
= y2(x), y1 |
(x) ≤ y2(x), |
|
||||
O |
a |
|
|
b |
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
а зліва і справа двома прямими x = a |
та |
|||||||||||
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x = b (рис. 1), то |
|
|
|
|
|||||
y |
|
x = x1(y) |
|
|
|
|
|
|
b y2 (x) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ |
∫ f (x, y)dy dx. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
a y1 |
|
|
|
||
|
D |
|
|
|
|
У повторному інтегралі, що стоїть в цій фо- |
|||||||||
|
|
|
|
|
рмулі справа, спочатку обчислюють внутрішній |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
інтеграл по |
змінній y , |
вважаючи |
x |
величиною |
|||||
c |
|
|
x = x2(y) |
|
сталою. Потім від одержаного результату беруть |
||||||||||
|
|
|
зовнішній інтеграл по x на проміжку [a, b]. По- |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
O |
Рис. 2 |
x |
|
|
вторний інтеграл записують у вигляді: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b |
y2 (x) |
|
b y2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∫ |
|
∫ |
f (x, y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫dx ∫ f (x, y)dy. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(x) |
|
a y1(x) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Зауваження 1. Область D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, |
y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} назива- |
|||||||||||||
ється правильною в напрямку осі Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Якщо ж область D обмежена знизу і зверху, дивлячись в напрямі осі |
||||||||||||||
Ox , неперервними кривими: x = x1(y), |
x = x2(y), |
x1(y) ≤ x2(y) , а з боків пря- |
|||||||||||||
мими |
y = c, |
|
y = d , тобто |
c ≤ y ≤ d |
(область правильна в напрямку осі Ox ) |
||||||||||
(рис. 2), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
x2 (y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy |
∫ f (x, y)dx . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
D |
|
|
c x1(y) |
|
|
|
|
|
|
||
|
Зауваження 2. Якщо область D не є правильною ні в напрямку осі Ox , |
||||||||||||||
ні в напрямку осі Oy (тобто існують вертикальні і горизонтальні прямі, які, |
|||||||||||||||
проходячи через внутрішні точки області, перетинають її межу більше, ніж у |
|||||||||||||||
двох точках), то таку область необхідно розбити на частини, кожна з яких є |
|||||||||||||||
правильною областю в напрямку осі Ox чи Oy . Нехай D розбиваємо на об- |
|||||||||||||||
ласті D1, D2 , D3, тоді за властивістю 2 подвійного інтеграла отримаємо: |
|
||||||||||||||
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy . |
|
|||||||||||||
|
D |
|
|
D1 |
|
|
D2 |
|
|
D3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Питання для самоконтролю
1. Дайте означення подвійного інтеграла від функції f (x, y) по області D .
2. Сформулюйте достатню умову існування подвійного інтеграла.
3. Назвіть основні властивості подвійного інтеграла.
4. Дайте означення області, яка є правильною в напрямку осі Oy .
5. Дайте означення області, яка є правильною в напрямку осі Ox .
6. Сформулюйте правило розстановки меж інтегрування у повторному інтегралі.
Зразки розв’язування задач
Приклад 1. Обчисліть подвійний інтеграл
∫∫(x + y)dxdy ,
D
якщо область D обмежена лініями y = 3 − x2 і y = 3x −1.
Розв’язання.
Побудуємо область D . Лінія y = 3 − x2 – парабола з вершиною в точці
(0; 3), |
|
симетрична |
відносно |
осі Oy і обмежує область |
|
D зверху. Лінія |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = 3x −1 – пряма, яка обмежує область знизу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо координати точок перетину цих ліній: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
− x |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
A(−4; −13), |
B(1; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3x −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
Оскільки область |
D є правильною в напрямку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
осі Oy , то маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
-4 |
|
-2 |
|
|
0 1 x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3−x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
∫∫(x + y)dxdy= ∫ dx |
∫(x + y)dy = ∫ |
|
xy + |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
−4 3x−1 |
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x−1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 |
− x2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
(3x −1)2 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
x(3− x2) + |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− x(3x −1) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
-10 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3x − x3 |
|
|
9 |
− 3x2 + |
|
x4 |
− 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
(3x −1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x2 − |
x |
4 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
x5 |
− 2x3 + |
|
x2 |
|
|
(3x −1)3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
10 |
|
|
|
2 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
9 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
512 |
|
|
|
|
|
|
|
2197 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
− |
+ |
+ |
|
− 2 + |
− |
|
− 24 + 64 +18 + |
|
−128 − 8 − |
= −93,75. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
10 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 2. Змініть порядок інтегрування у повторному інтегралі |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
6−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ dx ∫ f (x, y)dy . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−3 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
10 |
y |
|
|
Побудуємо |
область |
D , |
яка обмежена зліва і |
|||
|
|
|
справа прямими |
|
x = −3, x = 2 |
відповідно, знизу пара- |
|||||
|
9 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
болою y = x2, зверху прямою y = 6 − x (рис. 2). |
||||||||
|
8 |
|
|
||||||||
|
|
|
Область правильна відносно вісі Oy . Тобто |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
6 |
|
|
|
D = {(x; y) | −3 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 6 − x . |
|||||
|
D1 |
|
|
|
Спроектуємо область D на вісь Oy . Проекцією |
||||||
|
4 |
|
|
|
буде відрізок [0; 9]. |
|
|
|
|||
|
D2 |
|
|
Оскільки лінія, на якій містяться точки виходу з |
|||||||
|
2 |
|
|
|
області (під час руху зліва направо), задана двома різ- |
||||||
|
|
|
|
|
ними рівняннями |
x = 6 − y |
і x = |
y , то дану область |
|||
-3 |
0 |
2 |
x |
|
потрібно розбити на дві частини D1 і D2. Маємо: |
||||||
|
|
|
|
|
D1 = {0 ≤ y ≤ 4; − y ≤ x ≤ y }; |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
D2 = {4 ≤ y ≤ 9; − y ≤ x ≤ 6 − y }. |
|||||
|
|
|
2 |
|
6− x |
4 |
|
y |
|
9 |
6− y |
|
Тому |
|
∫ |
dx |
∫ f (x, y)dy = ∫dy |
|
∫ f (x, y)dx + ∫dy |
∫ f (x, y)dx. |
|||
|
|
|
−3 |
|
x2 |
0 |
− |
y |
|
4 |
− y |
Задачі для самостійного розв’язування
1.1.Обчисліть повторні інтеграли:
2 |
3 |
2 + 2xy)dy; |
2 |
y2 |
||
а) ∫dx∫(x |
б) ∫dy ∫(x + 2y)dx ; |
|||||
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
2π |
|
a |
5 |
5−x |
||
|
cos2 xdx∫ ydy ; |
|
|
|||
в) ∫ |
г) ∫dx |
∫ |
4 + x + y |
dy . |
||
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1.2.Змініть порядок інтегрування:
0 |
|
|
1−x2 |
|
1 |
2−x2 |
а) ∫ dx ∫ f (x, y)dy ; |
б) ∫dx ∫ f (x, y)dy; |
|||||
−1 |
|
|
x+1 |
0 |
x |
|
2 |
y |
1 |
4 |
|||
в) ∫dy ∫ f (x, y)dx ; |
г) ∫ dy ∫ f (x, y)dx ; |
|||||
1 |
1 |
|
|
|
−2 |
y2 |
y
7
e |
ln x |
|
|
|
|
π |
sin x |
д) ∫dx ∫ f (x, y)dy ; |
|
е) ∫dx ∫ f (x, y)dy |
|||||
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
9/16 |
|
|
|
3/ 4 |
3/ 4 |
|
|
|
y |
|
|||||
є) |
∫ dy ∫ f (x, y)dx + ∫ dy ∫ f (x, y)dx ; |
|
|||||
|
0 |
y |
9/16 |
y |
|
||
2 x2 |
|
|
|
4 10−x |
7 10−x |
ж) ∫dx ∫ f (x, y)dy + ∫dx ∫ f (x, y)dy + ∫dx ∫ f (x, y)dy.
0 0 2 0 4 x−4
1.3.Обчисліть подвійні інтеграли по областях, що обмежені заданими лініями:
а) ∫∫(x + 2y)dxdy, D : y = x, y = 2x, x = 2, x = 3;
D
б) ∫∫(3x2 − 2xy + y)dxdy,D :x = 0, x = y2, y = 2;
D
в) ∫∫yln xdxdy,D :xy =1, y = |
|
|
|
x |
,x = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫∫(3x + y)dxdy,D :x2 + y2 ≤ 9, y ≥ x + 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫∫y2 cos xydxdy, D :x = 0, y = |
|
, y = 2x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫∫(xy − 4x3 y3)dxdy, |
D :x =1, y = x3, y = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
є) ∫∫(cos2x + sin y)dxdy, D : x = 0, y = 0, 4x + 4y − π = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πa |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y−1 |
||||
Відповіді: 1.1. а) 17; |
|
б) 11,2; в) |
|
|
|
|
|
1.2. а) |
|
|
∫ f (x, y)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
; г) 60,4. |
∫ dy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1− y2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
y |
2 |
|
|
2− y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
б) ∫dy∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx ; |
|
в) ∫ dx ∫ f (x, y)dy + ∫dx∫ f (x, y)dy ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 1/ x |
|
1 |
|
x |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e |
|
|
|
1 |
π −arcsin y |
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
г) ∫dx ∫ f (x, y)dy + ∫dx ∫ f |
(x, y)dy ; д) ∫dy ∫ f (x, y)dx ; е) ∫dy |
|
∫ f (x, y)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
− |
x |
|
|
1 |
− |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
e y |
|
|
|
0 |
|
arcsin y |
|||||||||||
3/ 4 |
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
y+4 |
|
8 10− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
є) ∫ dx ∫ f (x, y)dy ; ж) ∫dy ∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
x2 |
|
0 |
|
|
|
|
3 |
y |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5(2ln2 −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.3. а) |
25 |
1 |
; |
б) 244 ; |
в) |
|
; |
г) –90; д) 1; |
е) − |
1 |
; |
є) |
π |
+ 1− 2 |
2 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
21 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
8
Розрахункові завдання
Задача 1. Обчисліть подвійний інтеграл по області D , що обмежена заданими лініями.
1. ∫∫(x − y)dxdy; D: y = 0, y = x, x + y = 2.
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∫∫ |
x2 |
dxdy; |
D: x = 2, y = x, xy =1. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
D y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
D: x = y2 −1, x = −1, y = 2. |
||||||||||
3. |
∫∫e y dxdy; |
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
∫∫(9x2 y2 + 48x3y3)dxdy; D: x =1, y = |
|
, y = −x2. |
||||||||||||
x |
|||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
∫∫cos(x + y)dxdy; |
D : x = 0, y = π , y = x. |
|||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
∫∫xdxdy; D: x = 0, y = x3, y + x = 2. |
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
∫∫ |
|
|
x |
|
dxdy; D: x = 0, y = x2 +1, y = 2x. |
|||||||||
y |
+1 |
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
∫∫sin(x + y)dxdy; |
D: y = 0, y + x = π , y = x. |
|||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
∫∫x2(y − x)dxdy; |
D: x = y2, y = x2. |
|||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. ∫∫x2 y3dxdy; D:y = 0, y =1− x2. |
|||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. ∫∫x2(y − x)dxdy; |
D: y = − |
|
, y = x2, x = 2. |
||||||||||||
x |
D
12. ∫∫(x + 2y)dxdy; D : y = 3, y = −3, x = 5,x = y2 − 4.
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. ∫∫(x + y)dxdy; |
D : y2 = 2x, x + y = 4, x + y =12. |
||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. ∫∫xydxdy; D : xy =1, x + y = 5. |
|||||||||
D |
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. ∫∫ydxdy; |
D: x+ y = 2, x = |
y2 |
−1. |
||||||
|
|||||||||
D |
|
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. ∫∫ |
|
|
x2 |
|
dxdy; |
D : x =1, y = x, y = 0. |
|||
1 |
+ y2 |
||||||||
D |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9