Курсовая работа / Курсовая работа (Excel) - 1812 - 2003 / курсовая по стандартизации 2
.docЦель работы:
Работа посвящена наиболее важным методам обработки экспериментальных данных, а именно, оцениваю распределений и их параметров и проверка гипотез о распределениях.
Содержание работы:
-
Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины x.
-
Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности.
-
Оценить вероятность попадания случайной величины x в заданный интервал.
-
Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий данной доверительной вероятности.
-
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины x.
-
Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие заданной доверительной вероятности.
-
Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
-
Используя критерий согласия и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом распределения с истинным законом при заданном уровне значимости.
Пример
На ста самолётах замерено давление в баллоне воздушной системы (в атм.).
Результаты измерений приведены
в таблице:
1,9 |
5,8 |
0,9 |
-5,7 |
-8,1 |
12,8 |
4,2 |
-5,6 |
6,4 |
18 |
-2,8 |
-4,9 |
0,3 |
0,8 |
12,9 |
-19,8 |
0,7 |
-8,8 |
2,4 |
28,3 |
1,8 |
2,1 |
1,5 |
-0,8 |
-11,9 |
7,7 |
-3,7 |
-3,1 |
0,2 |
9,5 |
7,8 |
-1,6 |
2 |
4,2 |
-9,6 |
3,1 |
-9 |
-8,3 |
-8,5 |
-9,7 |
1,9 |
110,9 |
8,7 |
-5,2 |
11,9 |
7,7 |
-4,3 |
-8,1 |
-6 |
-16,9 |
2,5 |
12,3 |
-2,8 |
-14,3 |
4,1 |
-25,7 |
5,1 |
-13,4 |
4,3 |
-5,5 |
15,7 |
-1,4 |
11,1 |
29,2 |
1,6 |
-3,9 |
0 |
5 |
-8,8 |
-6,2 |
10,9 |
-16,9 |
-7,9 |
-11,9 |
-6,3 |
-38,3 |
-12,7 |
-3,1 |
-2,5 |
-11 |
4,4 |
-10,4 |
0,6 |
1,9 |
7,4 |
3,6 |
-17,9 |
-4,3 |
-4,2 |
-17,2 |
-4,5 |
-16,2 |
4,8 |
9,4 |
-2,1 |
-10,4 |
-9,8 |
-10,4 |
-9,8 |
29 |
Требуется выполнить пункты 1-8, указанные в разделе “Содержание работы”.
-
По формулам
-для математического ожидания МХ- выборочное среднее:
-для дисперсии DX- исправленная дисперсия:
Кроме того, в качестве оценки дисперсии используется также выборочная дисперсия:
находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.
-0,329
=221,987
=219,767
-
По формулам
-для математического ожидания:
-для дисперсии:
(в этих формулах верхний знак относиться к нижней границе доверительного интервала, а нижний знак- к верхней границе.) рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии предварительно задав доверительную вероятность (1-). Пусть, например,(1-)=0,9.Тогда по таблице
значений функции Лапласа находим и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:
По формуле
находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал (0,9,1,1)=(-0.362,-0.296). В этот интервал не попало ни одно из экспериментальных значений.
4.По формуле
рассчитываем доверительный интервал для вероятности P. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-)=0,95. Тогда =1,96.
Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (-39, 111) и разбиваем его на 12 равных разрядов, каждый длиной 12,5 . Затем получаем таблицу:
Разряд |
Частота попадания случайной Величины Х в разряд |
Значение гистограммы Г(х) |
(-39, -26.5) |
0,01 |
0,0008 |
(-26.5, -14) |
0,08 |
0,0064 |
(-14, -1.5) |
0,41 |
0,0328 |
(-1.5, 11) |
0,38 |
0,0304 |
(11, 23.5) |
0,07 |
0,0056 |
(23.5, 36) |
0,03 |
0,0024 |
(36, 48.5) |
0 |
0 |
(48.5, 61) |
0 |
0 |
(61, 73.5) |
0 |
0 |
(73.5, 86) |
0 |
0 |
(86, 98.5) |
0 |
0 |
(98.5, 111) |
0,01 |
0,0008 |
График гистограммы представлен на рис.1.
Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле
,
где - число экспериментальных точек, лежащих левее х.
Граница интервала |
|
-39 -26,5 -14 -1,5 11 23,5 36 48,5 61 73,5 86 98,5 111
|
0 0,01 0,09 0,5 0,88 0,95 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,99
|
Её график представлен на рис.2.
6. Находим доверительные области для плотности распределения f(x) и функцию распределения F(x).
В данном случае общее число разрядов r равно13 плюс один полубесконечный разряд, r=14. Если теперь выбрать доверительную вероятность (1-), равную 0.99, то по формуле
получим
Результирующие доверительные границы для плотности f(x) на каждом разряде гистограммы представлены в табл.3, а их графическое изображение- на рис.1
Таблица3
Разряд |
Доверительные границы для плотности распределения f(x). |
(-39, -26.5) |
0,000719 --- 0,004896 |
(-26.5, -14) |
0,00575 --- 0,010055 |
(-14, -1.5) |
0,029471 --- 0,034183 |
(-1.5, 11) |
0,027314 --- 0,032011 |
(11, 23.5) |
0,005031 --- 0,009315 |
(23.5, 36) |
0,002156 --- 0,006353 |
(36, 48.5) |
0 --- 0,004126 |
(48.5, 61) |
0 --- 0,004126 |
(61, 73.5) |
0 --- 0,004126 |
(73.5, 86) |
0 --- 0,004126 |
(86, 98.5) |
0 --- 0,004126 |
(98.5, 111) |
0,000719 --- 0,004896 |
Далее по таблице распределения величины (распределение Колмогорова) находим её величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-)=0,99. Она равна =1,6. Затем по формуле
а величину находим из условия:
=
рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):
Разряд |
Доверительные границы для функции Распределения F(x). |
(-39, -26.5) |
-0.16 --- 0.16 |
(-26.5, -14) |
-0.15 --- 0.17 |
(-14, -1.5) |
-0.07 --- 0.25 |
(-1.5, 11) |
0.34 --- 0.66 |
(11, 23.5) |
0.72 --- 1.04 |
(23.5, 36) |
0.79 --- 1.11 |
(36, 48.5) |
0.82 --- 1.14 |
(48.5, 61) |
0.82 --- 1.14 |
(61, 73.5) |
0.82 --- 1.14 |
(73.5, 86) |
0.82 --- 1.14 |
(86, 98.5) |
0.82 --- 1.14 |
(98.5, 111) |
0.83 --- 1.15 |
график этой области представлен на рис.2.
7.Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с параметрами:
-
переменная х – значения интервалов,
-
среднее значение – математическое ожидание,
-
стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии,
-
интегральный критерий – 1.
Значения функции нормального распределения:
F(x)норм |
0,004619 |
0,038894 |
0,177697 |
0,466255 |
0,774816 |
0,944565 |
0,992529 |
0,999468 |
0,99998 |
1 |
1 |
1 |
1 |
,
равно . Гипотетическое значениепри выбранном уровне значимости и числе степеней свободы s = r - 1- k, где r – число разрядов в гистограмме,
k- число степеней свободы,
s=13-1-2=10.
согласно условию
равно =19,7. Таким образом и, следовательно, гипотеза H по критерию согласования является правдоподобной.
Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно рис.3:
Отсюда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:
Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости равно =1,36.Таким образом, и, следовательно, гипотеза H является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.
График гистограммы рис.1.
График плотности распределения f(x) рис. 2.
рис. 3.