- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§1. Основные понятия векторной алгебры
- •§2. Проекция вектора на ось.
- •§3. Координаты вектора
- •§4. Скалярное произведение векторов
- •§5. Векторное произведение векторов
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •Глава 2. Прямая на плоскости
- •§1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости
- •§3. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •§4. Расстояние от точки до прямой
- •§5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Глава 3. Плоскость в пространстве.
- •§1. Уравнение плоскости в пространстве
- •§ 2. Взаимное расположение плоскостей в пространстве
- •Глава 4. Прямая в пространстве
- •§1. Общие уравнения прямой в пространстве
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве
- •§ 3. Переход от одного вида уравнения прямой к другому виду
- •§4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.
- •Глава 5. Взаимное расположение прямой и плоскости
§ 3. Переход от одного вида уравнения прямой к другому виду
Как показано выше, уравнения одой и той же прямой можно записать по крайней мере в трех видах: общие уравнения прямой, параметрические уравнения прямой и канонические уравнения прямой. Рассмотрим вопрос о переходе от уравнений прямой одного вида к уравнениям прямой в другом виде.
Во-первых заметим, что если заданы уравнения прямой в параметрической форме, то тем самым заданы точка, через которую проходит прямая и направляющий вектор прямой. Поэтому не составляет труда записать уравнения прямой в канонической форме.
Пример.
Даны уравнения прямой в параметрической форме
.
Записать канонические уравнения прямой.
Решение.
Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор. Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид
.
Аналогично решается задача о переходе от канонических уравнений прямой к параметрическим уравнениям прямой.
Переход от канонических уравнений прямой к общим уравнениям прямой рассматривается ниже на примере.
Пример.
Даны канонические уравнения прямой
.
Записать общие уравнения прямой.
Решение.
Запишем канонические уравнения прямой в виде системы двух уравнений
.
Избавляясь от знаменателей путем умножения обеих частей первого уравнения на 6, а второго уравнения на 4, получим систему
.
Или
.
Полученная система уравнений и есть общие уравнения прямой.
Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим уравнениям прямой. Чтобы записать канонические или параметрические уравнения прямой, надо знать точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор прямой. Если определить координаты двух точек и, лежащих на прямой, то в качестве направляющего вектора м можно взять вектор. Координаты двух точек, лежащих на прямой, можно получить как решения системы уравнений, определяющих общие уравнения прямой. В качестве точки, через которую проходит прямая, можно взять любую из точеки. Проиллюстрируем сказанное выше на примере.
Пример.
Даны общие уравнения прямой
.
Записать параметрические и канонические уравнения прямой.
Решение.
Найдем координаты двух точек, лежащих на прямой, как решения этой системы уравнений. Полагая , получим систему уравнений
.
Решая эту систему, находим . Следовательно, точкалежит на прямой. Полагая, получаем систему уравнений
,
решая которую находим . Следовательно, прямая проходит через точку. Тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор
.
Итак, прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор. Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид
.
Тогда канонические уравнения прямой запишутся в виде
.
Другой способ нахождения направляющего вектора прямой по общим уравнениям прямой основан на том, что в этом случае заданы уравнения плоскостей, а значит и нормали к этим плоскостям.
Пусть общие уравнения прямой имеют вид
и- нормали к первой и второй плоскости, соответственно. Тогда векторможно взять в качестве направляющего вектора прямой. В самом деле, прямая, будучи линией пересечения этих плоскостей, одновременно перпендикулярна векторами. Следовательно, она коллинеарна векторуи значит этот вектор можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Рассмотрим пример.
Пример.
Даны общие уравнения прямой
.
Записать параметрические и канонические уравнения прямой.
Решение.
Прямая является линией пересечения плоскостей с нормалями и. Берем в качестве направляющего вектора прямой вектор
Найдем точку, лежащую на прямой. Найдем точку, лежащую на прямой. Пусть . Тогда получаем систему
.
Решая систему, находим .Следовательно, точкалежит на прямой. Тогда параметрические уравнения прямой можно записать в виде
.
Канонические уравнения прямой имеют вид
.
Наконец, к каноническим уравнениям можно перейти исключив в одном из уравнений одну из переменных, а затем другую переменную. Рассмотрим этот метод на примере.
Пример.
Даны общие уравнения прямой
.
Записать канонические уравнения прямой.
Решение.
Исключим из второго уравнения переменную у, прибавив к нему первое, умноженное на четыре. Получим
.
Или
.
Теперь исключим из второго уравнения переменную , прибавив к нему первое уравнение, умноженное на два. Получим
.
Или
.
Отсюда получаем каноническое уравнение прямой
.
Или
.
Или
.