Описание аппаратуры

В работе определяется момент инерции колебательной системы, геометрические параметры которой можно менять.

Внешний вид лабораторной установки представлен на рис. 4. Основными элементами установки являются колебательная система 1, оптический датчик 2 и стойка для измерения жёсткости пружин 3. Датчик подключён к компьютеру; результаты выполняемых измерений выводятся на экран его монитора (на рисунке не изображён).

Колебательная система (рис. 5) в свою очередь состоит из закрепленного на вертикальной оси диска (шкива) 1, ремень 2 которого связан с упругими одинаковыми пружинами 3, зацепленными за штыри стойки. К шкиву жестко прикреплена металлическая планка 4 с рядом отверстий 5, в которых фиксируются съёмные грузы 6. Система приводится во вращательно-колебательное движение; колебания регистрируются оптическим датчиком 7 в форме импульсов, которые возникают при перекрытии оптической оси датчика непрозрачной пластиной 8, жестко скрепленной со шкивом колебательной системы.

В состоянии покоя моменты сил натяжения ремня по обе стороны от оси диска уравновешивают друг друга, однако, если диск повернуть относительно вертикальной оси, одна из пружин растянется сильнее, а растяжение другой уменьшиться. Суммарный момент этих сил окажется отличным от нуля, система устремится в исходное состояние, однако по инерции проскочит его: начнутся колебания.

Для описания происходящего запишем основной закон динамики вращательного движения.

При повороте диска на угол  длина одной из пружин уменьшается на x  R, а длина другой – увеличивается на ту же величину³. Но по закону Гука сила F упругости пружины F  kx, где k – коэффициент упругости пружины, следовательно, модуль изменения силы натяжения каждой из пружин будет равен F  kR. И если в состоянии равновесия пружины были натянуты с силой F₀ каждая, то теперь сила натяжения добавочно растянутой

F₁  F₀  F  F₀  kR, (14)

а у той, растяжение которой уменьшилось,

F₂  F₀  F  F₀  kR. (15)

Момент силы F₁ (радиус R, проведённый в точку приложения силы, перпендикулярен линии её действия) равен

M₁  F₁R  (F₀  kR)R. (14)

Аналогично для момента силы F₂ можно записать

M₂  F₂R  (F₀  kR)R. (15)

Для использования формулы (10) найдём сумму моментов этих сил:

.

Вектора и направлены в противоположные стороны; выберем ось координат, направленную в сторону вектора, тогда его проекция на эту ось окажется положительной, а проекция вектора– отрицательной. В этом случае

M₁  M₂  (F₀  kR)R  (F₀  kR)R  2kR², или, согласно (10),

2kR²  I. (16)

Данное уравнение позволяет найти зависимость угла поворота  от времени t. Для этого его следует преобразовать к виду

0

и ввести обозначение ₀²  . Тогда получаем

 ₀²  0. (17)

Легко показать (обычной подстановкой), что решением уравнения (17) должна являться функция вида

  Acos(₀t  ), (18)

которая описывает гармонические колебания. Период этих колебаний (то есть время, за которое совершается одно полное колебание) зависит от момента инерции системы:

T   , (19)

что позволяет найти момент инерции, измерив период колебаний системы с известными R и k:

I  . (20)

В настоящей работе предлагается, измерив периоды колебания системы при разных положениях грузов 6 на планке 5 (см. рис. 5), вычислить значения соответствующих моментов инерции. Когда оба груза будут помещены в центр диска (обозначим это положение 0-0), по измеренному периоду T₀ определяется момент инерции I₀, симметричному расположению грузов в ближайших к оси отверстиях (положение 1-1) будет соответствовать период T₁ и момент инерции I₁, следующему расположению грузов (2-2) – период T₂ и момент инерции I₂, затем (3-3) – T₃ и I₃ и, наконец, T₄ и I₄ (4-4).

Когда оба груза находятся в центре (0-0), момент инерции системы I₀  I_Д  2I_Г, где I_Д – момент инерции диска относительно оси вращения, I_Г – момент инерции одного груза относительно вертикальной оси.

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера в положении (1-1) должно выполняться условие I₁  I₀  2md₁², положению (2-2) соответствует I₂  I₀  2md₂² и так далее. Таким образом, из теоремы Штейнера следует, что зависимость I от расстояния d от центра груза до оси вращения системы должна иметь вид:

I  I₀  2md², (21)

то есть зависимость I(d²) должна быть линейной, а её график в координатах I – d² должен иметь вид прямой, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс численно равен 2m. Именно это следствие из теоремы и проверяется в данной работе.