Особенности нормированных ФНЧ-прототипов следующие.

1.Частота среза равна 1 радиану.

2.АЧХ ФНЧ Баттерворта любого порядка проходит через точку с координатами (1 рад., 3 дБ). При расчёте ФНЧ Баттерворта следует иметь в виду,

что если по заданию amax=3 дБ, то нормированная частота среза такого ФНЧ совпадает с частотой среза нормированного ФНЧ-прототипа (1 рад.), значения элементов которого протабулированы (табл. П.1.1).

В противном случае (amax<3 дБ или amax>3 дБ) нормированная частота среза искомого ФНЧ должна быть определена специально с помощью выра-

жения (1). Очевидно (рис. 5, а), что получится ωˆ c <1 или ωˆ c >1 .

3. АЧХ ФНЧ Чебышёва любого порядка при любом значении ∆a проходит через точку с координатами (1 рад., ∆a дБ), затухание на частоте среза численно равно размаху пульсаций. При расчёте ФНЧ Чебышёва следует иметь в виду, что если по заданию amax = ∆a, то нормированная частота среза такого ФНЧ совпадает с частотой среза нормированного ФНЧ-прототипа (1 рад.), элементы которого протабулированы (табл. П. 1.2 - П. 1.7). В противном случае (amax > ∆a) нормированная частота среза искомого ФНЧ должна быть определена специально с использованием выражения (3). Очевидно (рис. 5, б), что получится ωˆ c >1 .

ТАБЛИЧНЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА LC-ФИЛЬТРОВ

Рассмотрим, как, зная порядок n нормированного ФНЧ, определить принципиальную схему искомого фильтра и параметры её элементов.

Масштабирование по частоте и импедансу

При расчёте фильтров часто используется одно важное с практической точки зрения их свойство. Оказывается, что если значения параметров всех реактивных элементов фильтра (емкостей конденсаторов и индуктивностей катушек) поделить на некоторый частотный множитель Kf , то АЧХ нового фильтра будет аналогична АЧХ первичного фильтра, но окажется сдвинутой в другой частотный диапазон. Это позволяет проводить масштабный сдвиг АЧХ. В качестве частотного масштабного множителя выбирается отношение двух частот, соответствующих в АЧХ нового (fnew) и старого (fold) фильтров одинаковому уровню затухания, т.е.

	K f =	fnew	(5)
		fold

Обычно такими характерными частотами для ФНЧ и ФВЧ являются частоты среза полосы пропускания, а для ПФ и РФ - центральные частоты. При этом необходимо выполнение единственного условия - и числитель, и знаменатель в выражении (5) должны быть выражены в одинаковых единицах: либо в герцах, либо в радианах.

12

Чтобы определить точный вид АЧХ нового (сдвинутого в другой частотный диапазон) фильтра, достаточно просто умножить все единицы измерения на шкале частот на множитель Kf .

Чтобы определить номиналы элементов нового фильтра, нужно разделить индуктивности катушек и ёмкости конденсаторов на частотный коэффициент Kf. При использовании круговой частоты выражение для определения

частотного коэффициента приобретает вид:
K f =ωc ωˆc ,	(6)
где ωc -частота среза искомого ФНЧ,
ωˆc - нормированная частота среза искомого ФНЧ
Если по заданию amax = 3 дБ (для фильтра Баттерворта) и, если	amax = ∆a

(для фильтра Чебышёва), то частотный масштабный множитель численно равен круговой частоте среза искомого ФНЧ:

Kf = ωc .

(7)

Масштабирование импеданса. Если полное сопротивление фильтра увеличить в Kz раз, то его АЧХ останется прежней, то есть не изменится форма и положение на оси частот. Для этого сопротивления резисторов и индуктивности катушек умножаются на Kz , а ёмкости конденсаторов с целью обеспечения столь же кратного увеличения их импеданса делятся на Kz. Значение Kz для симметричных фильтров при симметричной нагрузке (R1=R2=R) определяется выражением:

	ˆ	(8)
	Kz = R R ,
где	ˆ	нормированного ФНЧ-
	R - сопротивление нагрузок симметричного
прототипа.
	Поскольку здесь мы будем пользоваться таблицами ФНЧ-прототипов, у

ˆ
которых R =1 Ом, то коэффициент масштабирования импедансов численно
всегда будет равен требуемому R, выраженному в омах:
Kz=R.					(9)
При расчёте фильтров масштабирование по частоте и импедансу обычно
производится одновременно:
R = K z R ′,					(10)
L =		Kz L′	,		(11)
		K f
C =		C′		.	(12)
		K f Kz

Штрихами отмечены элементы схемы фильтра до его масштабирования по частоте и импедансу.

Таким образом, методика расчёта ФНЧ описана полностью. Особенности синтеза ФВЧ, ПФ и РФ рассмотрим ниже. Предварительно отметим, что

13

заключительным этапом разработки любого фильтра является построение его АЧХ и ФЧХ, позволяющее оценить степень выполнения заданных технических требований. Методику построения АЧХ и ФЧХ рассмотрим на конкретном примере расчёта ФНЧ.

Пример расчёта ФНЧ

Требуется рассчитать ФНЧ Баттерворта с граничной частотой полосы пропускания 1000 Гц и граничной частотой полосы задерживания 3125 Гц, с максимальным затуханием в полосе пропускания 0,08 дБ и гарантированным затуханием в полосе задерживания 71,6 дБ, двусторонне нагруженного на сопротивления 600 Ом.

В принятых обоначениях технические требования к фильтру имеют вид:

ФНЧ Баттерворта с amax = 0,08 дБ на fc = 1000 Гц, amin = 71,6 дБ на fs = 3125 Гц,

R1 = R2 = 600 Ом.

1. Определяем требуемый порядок ФНЧ Баттерворта в соответствии с выражением (2)

lg

100,1amin

−1

lg

100,1 71,6

−1

n ≥

100,1amax

−1

=

100,10,08

−1

= 8,983 n = 9.

2 lg

ωs

2 lg

2π 3125

ωc

2π 1000

2. Определяем значение нормированной частоты среза ωˆc .

Известно, что табулированный нормированный ФНЧ Баттерворта на ωˆc =1 имеет затухание amax = 3 дБ. Для определения такой ωˆc , на которой ФНЧ

Баттерворта имеет затухание amax = 0,08 дБ, воспользуемся выражением (1), присвоив переменным следующие значения: a2 = 3 дБ на ω2 = 1, a1 = 0,08 дБ на

ω1 = ωˆc , n = 9:

lg

100,1a2

−1

lg

100,1 3 −1

100,1a1

n =

−1

или 9 =

100,1 0,08 −1

.

2lg ω2

2lg

1

ω

ωˆ

c

1

Решая полученное уравнение относительно ωˆc , получим:

lg

1

=

1

lg

100,3

−1

ωˆ

c

=0,8016.

ωˆc

18

100,008

−1

3. Выбираем принципиальную схему ФНЧ Баттерворта. Так как порядок фильтра n = 9 - нечётный, то остановимся на варианте А схемы (рис.4), со-

14

держащем меньшее количество индуктивностей. Выбранная принципиальная схема представлена на рис.6.

R1	L2	L4	L6	L8
~ C1	C3	C5	C7	C9	R2

Рис.6 Принципиальная схема ФНЧ Баттерворта 9-го порядка

4. Определяем параметры нормированного ФНЧ Баттерворта 9-го по-

рядка по таблице значений элементов фильтров Баттерворта (табл. П.1):

C

′

=C

9

′ = 0,3473 Ф; L

′ =

L ′ =1,0 Гн; C

′ =C

′

=1,532 Ф;

1

2

8

3

7

L

′

= L

′ =1,879 Гн; C

5

′ = 2,0 Ф; R ′

= R

′

= R ′

=1,0 Ом .

4

6

1

2

5. Определяем частотный масштабный множитель в соответствии с

выражением (6):

K f

=ωc ωˆc = 2π fc

ωˆc

= 2π 1000 0,8016 =7838,3

и коэффициент масштабирования импедансов в соответствии с (9)

Kz=R=600.

6. Масштабируем (денормируем) табулированный нормированный ФНЧ-прототип Баттерворта по частоте и импедансу, используя выражения

(10), (11), (12):

R1 = R2 = Kz R = 600 1 =600 (Ом);

C1 =C9 =

C1′

0,3473

= 0,07385 (мкФ);

=

7838,3 600

K f K z

C3 = C7 = 0,3258 мкФ; C5 = 0,4253 мкФ;

L2 = L8

=

K z L2

′

=

600

1

= 76,55 (мГн); L4= L6=143,8 мГн.

K f

7838,3

Корректировать полученные значения емкостей конденсаторов под промышленные номиналы в данном примере не представляется возможным ввиду относительно большого их количества при порядке n=9.

7. Построение и анализ АЧХ и ФЧХ полученного ФНЧ Баттерворта. Составим эквивалентную расчётную схему, заменив в принципиальной

схеме (рис.4) фильтр каскадным соединением трёх, эквивалентных П- и Т-

15

образным звеньям фильтра, четырёхполюсников N1, N2 и N3. Полученная эквивалентная схема представлена на рис.7.

R1		L2	L4	L6		L8
~ E1	C1	C3		C5	C7	C9	R2
		N1		N2		N3

Nф

Рис.7 Эквивалентная расчётная схема замещения ФНЧ Баттерворта 9-го порядка

Коэффициенты Aф, Bф, Cф, Dф эквивалентного четырёхполюсника фильтра Nф могут быть получены перемножением матриц A, B, C, D-коэффициентов четырёхполюсников звеньев: ||Nф||=||N1||×||N2||×||N3||.

Выразим A, B, C, D-коэффициенты четырёхполюсников N1, N2, N3 через параметры элементов соответствующих звеньев фильтра.

N1	: A1	=1 + Z L	YC	; B1 = Z L ; C1			=YC		+YC		+ Z L				YC	YC		3	; D1	=1 + Z L	YC .
		2	3		2		1			3				2	1					2		1
N 2	: A2	=1 + Z L	YC	; B2	= Z L	+ Z L + Z L				Z L		YC	5	; C2		=YC ; D2 =1 + Z L YC .
		4	5		4		6		4	6									5			6		5
N3	: A3	=1 + Z L	YC	; B3	= Z L	; C3	=YC	7	+YC			+ Z L YC					YC ; D3			=1 + Z L		YC	7	.
		8	9		8					9					8	7			9	8
В	полученных		выражениях			Z L2 , Z L4 , Z L6 , Z L8									, YC1 , YC3 , YC5 , YC 7						, YC9 -

полные сопротивления и проводимости соответствующих элементов фильтра:

Z Li = 0 + jωLi, YC k = 0 + jωCk .

Комплексная рабочая передаточная функция фильтра

N р ( jω) = 2 ZR1R2 ,

прив

где Zприв=AфR2+Bф+(CфR2+Dф)R1 - полное приведённое (к R1) сопротивление передачи фильтра.

Вместо Nр(jω) можно пользоваться рабочей постоянной передачи фильт-

ра gр: g p

=ln

1

= −ln

N

р ( jω)

= ap

+ jbp , где рабочее за-

N р

( jω)

− j Arg N р

( jω)

тухание фильтра ap выражено в неперах, а рабочий коэффициент фазы bp - в тех же единицах, что и аргумент комплекса Nр(jω).

16