- •М.Ю. ДУХОН
- •Часть 2
- •МОСКВА – 2005
- •СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства пределов числовых последовательностей
- •Примеры
- •Свойства бесконечно малых последовательностей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства предела функции
- •Примеры решения задач
- •Раскрытие неопределенностей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Рекомендованная литература
- •Задачи для индивидуального выполнения
- •Правила дифференцирования
- •Производные основных элементарных функций
- •Логарифмическая функция
- •Показательная функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Связь между монотонностью функции и ее производной
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод интегрирования по частям
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •ДУХОН Михаил Юльевич
- •Часть 2
Задачи для самостоятельного решения
Найти область определения функции:
1.1.1. f (x)= |
x + 4 − x . |
||
1.1.2. |
f (x)= |
x2 + 8 x + 15 . |
|
|
f (x)= |
x − 3 |
|
1.1.3. |
|
. |
|
x2 −11x + 30 |
1.1.4.f (x)= log2 (x −1)+ x −1 2 .
1.1.5.f (x)= log2 (6 − x)+ log2 (x − 2).
1.1.6.f (x)= 1x− x .
1.1.7.f (x)= arcsin2 x −1x .
1.1.8.f (x)= logx (2 x −1).
1.1.9. |
f (x)= |
|
x − 3 + |
|
7 − x |
. |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x −5 |
|
|
|
||
1.1.10. |
f (x)= |
4 − x2 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1.1.11. |
f (x)= lg (1 − x)+ lg (x −1). |
|||||||
1.1.12. |
f (x)= |
1 − x2 |
+ |
x2 −1. |
||||
1.1.13. |
f (x)= |
x2 −5 x + 4 + 5 − x . |
||||||
1.1.14. |
f (x)= |
9 − x2 |
. |
|
|
|
||
x2 −1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.15. |
f (x)= |
1 |
+ |
1 |
. |
|
||
1 − x2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
14
1.1.16. |
f (x)= |
log2 (x − 2) |
. |
||||
|
|||||||
|
f (x)= |
3 − x |
|
|
|||
1.1.17. |
x2 − 4 + |
|
5 − x . |
||||
1.1.18. |
f (x)= |
1 |
|
+ |
x + 4 . |
||
x2 − |
9 |
||||||
|
f (x)= |
|
|
|
|||
1.1.19. |
x − 2 + |
5 − x . |
|||||
1.1.20. |
f (x)= |
−x2 + 3x − 2 . |
Исследовать функцию на четность либо нечетность:
1.1.21. |
f (x)= |
|
x2 |
−1 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
1.1.22. |
f (x)= |
|
|
|
x2 |
sin x |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x −1 |
|||||||
1.1.23. |
f (x)= |
|
|
|
x3 |
+ 2 x |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f (x)= |
|
|
|
|
tgx |
||||||
1.1.24. |
|
x |
|
sin x. |
||||||||
|
|
|||||||||||
1.1.25. |
f (x)= |
|
|
1 − x2 |
. |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1.1.26.f (x)= x2 sin2 x.
1.1.27.f (x)= xx2−+11 .
1.1.28. |
f (x)= 3x2 + x . |
||
1.1.29. |
f (x)= |
lg (1 − x2 ) |
. |
|
|||
|
|
x |
1.1.30.f (x)= 5 x4 − 2 x3 + 1.
1.1.31.f (x)= 2 x3 − 3x.
15
1.1.32.f (x)= x sin x.
1.1.33.f (x)= x2 tgx.
1.1.34.f (x)= x2x+3 1 .
1.1.35. f (x)= |
sin x |
. |
|
||
|
x2 −1 |
1.1.36.f (x)= xxtgx2 −1 .
1.1.37.f (x)= 1 − sin2 x .
1.1.38.f (x)= sin x sin x.
1.1.39.f (x)= 2 x3 + 3x2 −1.
1.1.40. f (x)= |
|
x |
. |
|
1 |
+ x3 |
|||
|
|
16
1.2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие некотороечисло an , тоговорят, чтозаданачисловаяпоследовательность.
Число an называется общим членом числовой последовательности. Числоваяпоследовательностьсобщимчленом an обозначается {an }.
Примеры числовых последовательностей:
1)2, 5, 8, ... an = 3n −1.
2)3, 6, 12, ... an = 3 2n .
3) |
1, |
|
1 |
, |
1 |
,... an |
= |
1 |
. |
|
||
|
2 |
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
4) |
|
1 |
, |
2 |
|
, |
3 |
,... an |
= |
|
n |
. |
2 |
3 |
|
4 |
n + 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5)1, 4, 9, … an = n2 .
6)sin1, sin 2, sin 3,... an = sin n.
Для того чтобы задать последовательность, чаще всего используются два способа: аналитический и рекуррентный.
Суть аналитического способа задания числовой последовательности состоит в том, что последовательность задается формулой
общего члена an = f (n). Например,
an = 2n + 3 или an = n12 .
Суть рекуррентного способа задания функции состоит в том, что задаются один или несколько первых членов последовательности и формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого через предыдущие. Примером рекуррентно заданной последовательности может служить последовательность Фибоначчи: эта
последовательность задается следующим образом: a1 = a2 = 1; an+2 = an + an+1 . Начало этой последовательности выглядит так:
1,1,2,3,5,8,13,... .
17
В школьном курсе алгебры изучаются два вида числовых последовательностей – арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.
Арифметической прогрессией называется числовая последо-
вательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему плюс некоторое число d, постоянное для данной последовательности. Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Примерами арифметической прогрессии являются последовательности:
1)5, 8, 11, … an = 3n + 2 , d = 3.
2)25, 21, 17, … an = 29 − 4n , d = −4.
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое число q , постоянное для данной
последовательности. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Примерами геометрической прогрессии являются последовательности:
1) 6,18,54,... an = 2 3n , q = 3.
2) |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
,... a |
|
= |
1 |
, q = |
1 |
. |
|
2 |
4 |
8 |
n |
2n |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Свойства числовых последовательностей. Последователь-
ность {an}называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что an ≤ M для любого n N . Число М называется верхней
границей последовательности. Примерами последовательностей, ограниченных сверху являются последовательности:
1)an = 5 − 2n. 3;1;−1;−3; ... .
2)an = −n3 .
−1;−8;−27 ;−64; ... .
18
Последовательность {an}называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что an ≥ m для любого n N . Число
М называется нижней границей после-довательности. Примерами последовательностей, ограниченных сверху являются последовательности:
1)an = 4n − 3.
1;5;9;13; ... .
2)an = 4n .
4;16;64;256; ... .
Последовательность {an} называется ограниченной, если она
является ограниченной и сверху и снизу, иными словами, числовая последовательность является ограниченной, если существует число М
такое, что an ≤ M для любого n N .
Примерами ограниченных последовательностей являются последовательности:
1) |
|
a |
|
= |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|||||||||||
|
1 |
; |
1 |
|
; |
|
1 |
; |
1 |
|
; ... . |
||||||||||
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
16 |
|
||||||||||||||
2) |
|
an = |
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
n + 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
; |
1 |
; |
|
1 |
|
; |
1 |
; ... . |
|||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
|
an = |
|
|
|
|
n |
|
. |
||||||||||||
|
n + 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
; |
2 |
|
; |
|
3 |
|
; |
4 |
; ... . |
||||||||||
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
|
an = cos n. |
cos 1;cos 2;cos 3;cos 4; ... .
19
Числовая последовательность называется возрастающей (неубывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (не
меньше) предыдущего, то есть an+1 > an (an+1 ≥ an ) для любого
n N . Примерами возрастающих последовательностей являются последовательности:
1)an = 5n + 1.
6;11;16;21; ... .
2)an = 3n−1 .
1;3;9;27 ; ... .
3)an = n n+ 1 .
21 ; 23 ; 43 ; 54 ; ... .
Примером неубывающей последовательности является после-
довательность: 1;2;2;3;3;3;4;4;4;4; ... .
Числовая последовательность называется убывающей (невозрастающей), если каждый ее член, начиная со второго, меньше (не
больше) предыдущего, то есть an+1 < an (an+1 ≤ an ) для любого
n N . Примерами убывающих последовательностей являются последовательности:
1)an = 3 − 2n. 1;−1;−3;−5; ... .
2)an = n12 .
1; 41 ; 91 ; 161 ; ... .
Примером невозрастающей последовательности является по-
следовательность: 1; 21 ; 21 ; 13 ; 13 ; 13 ; ... .
20
Числовая последовательность называется монотонной, если она является возрастающей (неубывающей) или убывающей (невозрастающей). Все приведенные выше последовательности являются монотонными. Примерами немонотонных последовательностей являются последовательности:
1) an = (−1)n n. −1;2;−3;4; ... .
(−1)n
2)an = n + 1 .
−21 ; 13 ;− 41 ; 51 ; ... .
3) an = |
(−1)n + 1 |
n. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0;2;0;4;0;6; ... . |
|
|
|
|
|||
Предел числовой последовательности. Число а называется |
|||||||
пределом числовой |
последовательности {an}, если для любого |
||||||
ε > 0 существует такой номер |
|
n0 , что для любого n N большего |
|||||
n0 , выполняется неравенство |
|
an −a |
|
< ε . |
|||
|
|
Тот факт, что число а является пределом числовой последовательности {an} записывается так:
lim an = a.
n→∞
Если числовая последовательность имеет предел, она называ-
ется сходящейся.
Пример 1.2.1. Доказать, что число 0 является пределом число-
|
1 |
, т. е. доказать, что lim |
1 |
= 0. |
|
вой последовательности |
|
|
|
||
|
|
||||
n |
n→∞ n |
|
21
Доказательство. Пусть дано число ε > 0. Рассмотрим нера-
венство 0 − n1 < ε .
Решим это неравенство относительно п.
0 − n1 < ε n1 < ε n > ε1 .
Таким образом, если |
n > n , где |
n |
= |
|
1 |
|
+ 1 , то выполняет- |
|
|
ε |
|
||||||
|
0 |
0 |
|
|
ся неравенство 0 − n1 < ε , что в соответствии с определением преде-
ла числовой последовательности доказывает, что lim |
1 |
= 0 ([p] – |
|
||
n→∞ n |
|
целая часть числа р, то есть наибольшее целое число, не превосходящее р).
|
|
|
Пример 1.2.2. Доказать, что lim |
|
n |
= 1. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n + 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Доказательство. Пусть дано число ε > 0. |
Рассмотрим нера- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
< ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
венство |
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решим это неравенство относительно п. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 − |
n |
|
< |
ε |
|
|
n + 1 − n |
|
|
< ε |
1 |
|
|
< ε |
n + 1 > |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n + 1 |
n + 1 |
n + 1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
||||||||||
n > |
1 |
|
−1 n > 1 −ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −ε |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Отсюда следует, что при n > |
|
|
+ 1 |
выполняется нера- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
ε |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
венство 1 − n n+ 1 < ε , что и доказывает утверждение.
22