- •Решение матричных уравнений
- •Линейные пространства
- •Линейные подпространства
- •Действия с линейными преобразованиями. Произведение линейного преобразования на число.
- •Сложение и вычитание линейных преобразований.
- •Умножение линейных преобразований.
- •Норма вектора
- •Формулировка
- •Комментарии
- •Примеры
- •Доказательство
- •Квадратичные формы
- •Уравнения поверхностей второго порядка
Линейные подпространства
Рассмотрим некоторое подмножество X1 линейного пространства X , т.е. X1 Н X .
Определение. Подмножество X1 линейного пространства X называется линейным подпространством, если для любых векторов x, y О X1 и любого числа α :
x + y О X1 ;
αx О X1 .
Рассмотрим два линейных подпространства X1 и X2 линейного пространства X .
Если любой вектор x О X может быть единственным образом представлен в виде x = x1 + x2 , где x1 О X1 и x2 О X2 , то говорят, что пространство X разложено впрямую сумму подпространств X1 и X2 .
Прямая сумма обозначается X = X1 + X2 .
Любое линейное пространство может быть разложено в прямую сумму нескольких подпространств. В частности, разложение вектора по базису связано с разложением n–мерного пространства в прямую сумму n одномерных подпространств.
Я НЕ НАШЕЛ «ПОДПРОСТРАНСТВА ПРОСТРАНСТВА R3»
№26
Матрица линейного преобразования
В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.
Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис , -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим .
Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим
(19.2) |
Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их , , ..., соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,
Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя предложение 14.3, изменим порядок суммирования
Это равенство означает, что -той координатой вектора служит .
Составим матрицу из координатных столбцов векторов , ...,
Вычислим произведение матрицы на столбец
Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому
(19.3) |
Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.
Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.
Пример 19.5 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.1.
Выберем какой-нибудь базис . Тогда
Следовательно, первый столбец матрицы имеет вид . Аналогично
Второй столбец матрицы имеет вид . В итоге
Пример 19.6 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.2. Угол возьмем равным . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базисi, j.
Из рисунка 19.7 видно, что вектор имеет координаты и .
Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота
Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид . Координаты образа второго базисного вектора равны и , его координатный столбец имеет вид . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол имеет вид
№26