Mat_Analiz_Prokhorov

Рис. 2. Иллюстрация к теореме о среднем для интеграла		Рис. 3. Иллюстрация к теореме о среднем для интеграла
	Римана при m f(x)	Римана при f(x) M.
Обе функции f1 и f2 - ступенчатые и удовлетворяют неравенствам
f1	f f2.

По свойству верхней грани в определении нижнего интеграла

n

I( f ) sup

f

(x)dx

f (x)dx

е

f (x

)

.

fст f

ст

1

k 1

k

k 1

Аналогично по свойству нижней грани в определении верхнего интеграла

n

( f ) inf

f

(x)dx

f

(x)dx

е

f (x )

.

I

fст f

ст

2

k

k

k 1

251

Вычитая первое неравенство из второго, получим

		n				n
		( f ) I( f ) е( f (xk ) f (xk 1 ))		k		b a е( f (xk ) f (xk 1 ))
	I
		k 1				n k 1

b n a [ f (x1 ) f (x0 ) f (x2 ) f (x1 ) ... f (xn ) f (xn 1)]

b n a [ f (xn ) f (x0 )] b n a [ f (b) f (a)].

Переходя здесь к пределу при n , придем к неравенству

I ( f ) I ( f ) 0,

в котором возможен лишь знак равенства, что доказывает интегрируемость по Риману функции f и заканчивает доказательство теоремы 3.

4. Интегрируемость произведения интегрируемых функций

Покажем, что свойство интегрируемости по Риману инвариантно относительно операции умножения функций.

Теорема 4. Если функции f и g интегрируемы по Риману, то произведение fg также интегрируемо по Риману.

Доказательство. Пусть функция f интегрируема по Риману. Покажем сначала, что функция f 2 также интегрируема по Риману. Интегрируемая функция f финитна и ограничена и функция f также интегрируема, равна нулю вне некоторого отрезка [a, b] и во всех точках удовлетворяет неравенству f(x) M.

По свойству верхней грани в определении нижнего интеграла

I(		f		) sup			fст (x)dx
				fст	f

для всякого > 0 найдется ступенчатая функция f1 f такая, что

252

	(1)	f1 (x)dx >	I	(		f		) .

Не ограничивая общности, можем считать, что f1 0, иначе заменим функцию f1 на ступенчатую функцию f1+ f1 с сохранением неравенства f1+ f и неравенства (1) для функции f1+.

Аналогично по свойству нижней грани в определении верхнего интеграла

I

(

f

) inf

f

ст

(x)dx

найдется ступенчатая функция f2 f такая, что

fст

f

f2 (x)dx

(

f

)

(2)

I

.

Не ограничивая общности, можем считать, что f2 M, иначе заменим функцию f2 на ступенчатую функцию f2M = min{f2, M} f2 с сохранением неравенства f2M f и неравенства (2) для функции f2M .

Принимая во внимание равенствоI( f ) = I( f ),

вычитаем неравенство (1) из неравенства (2) и получаем

(3)	( f2 f1)(x)dx 2 .
Из неравенств
0 f1 f f2 M
следуют неравенства
0 f12 f 2 f22 M 2

со ступенчатыми функциями f12 и f22. По свойству верхней грани для нижнего интеграла выводим неравенство

I( f 2 ) fsupf 2 fст (x)dx f12 (x)dx ,

ст

253

а по свойству нижней грани для верхнего интеграла выводим неравенство

	( f 2 ) inf	2	fст (x)dx		f2	2 (x)dx
I							.
	fст f

Вычитая первое неравенство из второго, получаем

I( f 2 ) I( f 2 ) ( f2 2 f12 )(x)dx .

Так как

f22 f12 = (f2 f1)(f2 + f1) 2M(f2 f1),

то последнее неравенство с учетом (3) приводит к условию

I( f 2 ) I( f 2 ) 2M ( f2 f1 )(x)dx 4M .

Переходя здесь к пределу при 0, получаем неравенствоI(f 2) I(f 2) 0,

в котором возможен только знак равенства, что доказывает интегрируемость по Риману функции f2.

Для доказательства основного утверждения теоремы 4 воспользуемся формулой (f + g)2 = f 2 + 2fg + g2, из которой находим, что

fg	( f g)2	f 2 g 2	.
		2

Если функции f и g интегрируемы по Риману, то функции f + g, f 2, g2 интегрируемы по Риману, а следовательно, и функция fg интегрируема по Риману, что заканчивает доказательство теоремы 4.

254

Лекция 25.

1. Интеграл с переменным верхним пределом

2. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

3. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом

4. Формула Ньютона-Лейбница

1. Интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим важное понятие математического анализа - так называемый интеграл с переменным пределом интегрирования.

Пусть функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b] . Значит, произведение f [a, b] интегрируемо по Риману. Выберем произвольно точку c [a, b] и рассмотрим отрезок [a, c] [a, b] . Его характеристическая функция [a, c] интегрируема по

Риману, а следовательно, и произведение f [a, b] [a, c] = f [a, c] интегрируемо. Это означает, что функция f интегрируема на отрезке [a, c].

Заметим, что допустимо выбрать c = a. В этом случае f [a, a] представляет собой ступенчатую функцию, принимающую значение f(a) в точке a и нулевое значение во всех остальных точках. Интеграл от такой функции равен нулю.

Превратим точку c в переменную величину c = x [a, b] и будем рассматривать

(1)	f [a,x ] (t)dt x	f (t)dt F(x)
	a

как функцию переменного x [a, b]. Эта функция определена на отрезке [a, b] и называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования от функции f. Чтобы избежать путаницы в обозначениях, мы намеренно применили разные буквы: t как переменную интегрирования и x как верхний предел. Зачастую в литературе используют один и тот же символ в обозначениях переменной интегрирования и переменного предела интегрирования, рассчитывая, что читатель по смыслу различает роль каждого знака в формуле.

Отметим два крайних значения функции F

255

b	a
F(b) f (t)dt,	F (a) f (t)dt 0 .
a	a

Разумеется, сходным образом можно определить интеграл с переменным нижним пределом интегрирования, но свойство аддитивности интеграла Римана

b	x	b
	f (t)dt	f (t)dt f (t)dt
a	a	x

элементарно сводит его к интегралу с переменным верхним пределом.

Формулу (1) можно интерпретировать как некий оператор, сопоставляющий данной функции f, определенной на отрезке [a, b], функцию F, определенную на том же отрезке. При таком взгляде разумно поставить задачу исследования свойств функции F в зависимости от известных свойств функции f.

2. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

Покажем, что интеграл F с переменным пределом интегрирования обладает свойствами, лучшими по сравнению с функцией f. Начнем демонстрацию этого тезиса с доказательства того, что интегрируемая функция f порождает непрерывную функцию

F.

Теорема 1 Пусть функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b]. Тогда функция F,

x

F(x) f (t)dt

a

непрерывна на отрезке [a, b].

Доказательство. Непрерывность функции F в крайних точках отрезка [a, b] понимается как односторонняя: непрерывность справа в точке a и непрерывность слева в точке b.

Интегрируемая функция f ограничена. Значит, для всех x [a, b] выполняется неравенство f(x) M с некоторым заданным числом M.

Выберем произвольно точку x0 [a, b]. Пусть x > x0, x [a, b].

256

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству непрерывности интеграла с переменным верхним пределом. Тогда по свойству аддитивности интеграла Римана

x

x0

x

F(x) F (x0 ) f (t)dt f (t)dt f (t)dt,

a

a

x0

откуда получаем оценку

F (x) F(x0 )

f (t)dt

x

f (t)

dt x

Mdt M (x x0 ).

x

x0

x 0

x0

Устремляя x к x0, видим, что правая часть неравенства стремится к нулю, следовательно,

x limx F(x) F(x0 ),

0 0

что означает непрерывность справа функции F в точке x0.

Симметричными рассуждениями устанавливаем, что функция F непрерывна слева в точке x0. Одновременная непрерывность слева и справа равносильна непрерывности функции F в точке x0. Если точка x0 совпала с одной из крайних точек a или b отрезка [a, b], то рассуждения относятся только к односторонней непрерывности в этой точке. Поскольку x0 - произвольная точка отрезка, то функция F непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], что заканчивает доказательство теоремы 1.

3. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом

Значительно более важным оказывается вывод о том, что непрерывная функция f порождает дифференцируемую функцию F.

Теорема 2 Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то функция F,

F(x) x f (t)dt

a

257

дифференцируема на отрезке [a, b] и для всех x [a, b] справедлива формула F (x) = f(x).

Доказательство. Выберем произвольно точку x0 [a, b] и докажем, что функция F дифференцируема в точке x0. Непрерывность функции f и предел в определении производной

	F' (x0 ) lim	F (x) F(x0 )
		x x
	x x0
		0

в крайних точках a и b отрезка [a, b] понимаются односторонне: справа в точке a и слева в точке b. Пусть x > x0, x [a, b]. Тогда по свойству аддитивности интеграла Римана и первой теореме о среднем

		x	x0		x
F (x) F(x0 )		f (t)dt f (t)dt			f (t)dt		f (c)(x x0 )	f (c),
		a	a		x0
x x			x x		x x		x x
0			0	0			0

где c [x0, x]. Если x стремится к x0, то и c стремится к x0. Переходя в последнем равенстве к пределу при x x0 и пользуясь непрерывностью функции f в точке x0, получим

lim	F (x) F(x0 )	lim	f (c) f (x )
x x0 0	x x0	c x0 0	0

Симметричными рассуждениями устанавливаем, что

	lim	F(x) F (x0 )	lim		f (c) f (x0 )
		x x0
	x x0 0		c x0	0

что доказывает дифференцируемость функции F в точке x0 и формулу F (x0) = f(x0).

Если точка x0 совпала с одной из крайних точек a или b отрезка [a, b], то рассуждения относятся только к одностороннему пределу в этой точке. Поскольку x0 - произвольная точка отрезка, то функция F дифференцируема в каждой точке отрезка [a, b] и всюду справедлива найденная формула для производной, что заканчивает доказательство теоремы 2.

Благодаря связи между интегралами с переменным верхним и переменным нижним пределами интегрирования

258

b	b	x	b
G(x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt F(x),
x	a	a	a

видим, что функция G также дифференцируема на отрезке [a, b], во всех точках которого справедлива формула G (x) = F (x) = f(x).

4. Формула Ньютона-Лейбница

Помимо непосредственного вывода, теорема 2 влечет глубокие следствия. Так, формула для производной F означает, что функция F является первообразной функции f. Выразим этот факт как следствие теоремы 2.

Следствие Непрерывная на отрезке [a, b] функция f имеет первообразную на этом отрезке. Одной из первообразных явлется интеграл с переменным верхним пределом

F(x) x f (t)dt .

a

Еще более важное заключение следует из теоремы 2, если положить в ней x=b и, принимая во внимание, что F(a) =0, переписать формулу в виде

b

f (t)dt F(b) F(b) F (a)

a

Функция F здесь является интегралом с переменным верхним пределом интегрирования и в то же время первообразной для

функции f. Как было показано, приращение первообразной F(b) F(a) не зависит от выбора первообразной. Сформулируем окончательный результат как отдельную теорему.

Теорема 3 Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она имеет первообразную F на этом отрезке и справедлива формула

	b
(2)	f (x)dx F(b) F(a).

a

Формула (2) называется формулой Ньютона-Лейбница.

259

Без большого преувеличения формулу Ньютона-Лейбница можно отнести к главной формуле математического анализа. Она связывает воедино две ветви математического анализа - дифференциальное и интегральное исчисление, которые и до той поры решали свои задачи с разной степенью эффективности, но действовали поврозь. С появлением формулы НьютонаЛейбница математический анализ становится единой наукой.

В левой части формулы Ньютона-Лейбница находится интеграл Римана от функции f на отрезке [a, b], непосредственный продукт интегрального исчисления. В правой части формулы находится приращение первообразной функции f на отрезке [a, b]. Понятие первообразной, как результата операции, обратной по отношению к дифференцируемости, - это продукт дифференциального исчисления.

Формула Ньютона-Лейбница делает осмысленным поначалу казавшееся странным название и обозначение определенного

интеграла от функции f, понимаемого как приращение F(b) F(a) любой из первообразных функции f. Когда стало ясно, что он равен интегралу Римана, естественным для него выглядит обозначение

b

f (x)dx,

a

такое же, как и для интеграла Римана.

260