Mat_Analiz_Prokhorov
.pdfЛекция 26.
1. Интегрирование по частям в интеграле Римана
2. Замена переменной в интеграле Римана
3. Вторая теорема о среднем значении
1. Интегрирование по частям в интеграле Римана
В теории определенного интеграла мы вывели два метода интегрирования, основанные на обратном прочтении формул дифференцирования произведения и композиции двух функций. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, переведем эти правила в теорию интеграла Римана.
Теорема 1 Пусть функции f и g дифференцируемы на отрезке [a, b] и произведения f g и fg непрерывны на [a, b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям интеграла Римана
b b
( f ' g)(x)dx ( fg)(b) ( fg)(a) ( fg ')(x)dx.
a a
Доказательство. Так как функции f g и fg непрерывны на отрезке [a, b], то согласно формуле Ньютона-Лейбница интегралы Римана от этих функций совпадают с их определенными интегралами. В лекции 19 формула интегрирования по частям была доказана для определенных интегралов. Следовательно, при высказанных условиях на функции f и g она справедлива и для интегралов Римана, что заканчивает доказательство теоремы 1.
2. Замена переменной в интеграле Римана
Таким же образом переведем в теорию интеграла Римана формулу замены переменной, доказанную ранее для определенного интеграла.
Теорема 2 Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x = (t) имеет непрерывную производную на
отрезке [ , ] и отображает отрезок [ , ] на отрезок [a, b] так, что ( ) = a и ( ) = b. Тогда справедлива формула замены переменной в интеграле Римана
261
b
f (x)dx f ( (t)) ' (t)dt.
Доказательство. Дифференцируемая функция x = (t) непрерывна на отрезке [ , ], поэтому композиция f o
непрерывных функций f и и произведение ( f o ) ' непрерывны на [ , ]. Таким образом, оба интеграла в формулировке теоремы 2 существуют и в смысле Римана, и в смысле определенного интеграла. Согласно формуле Ньютона-Лейбница интегралы Римана от этих функций совпадают с их определенными интегралами. В лекции 19 формула замены переменной
была доказана для определенных интегралов. Следовательно, при высказанных условиях на функции f и она справедлива и для интегралов Римана, что заканчивает доказательство теоремы 2.
3. Вторая теорема о среднем значении
Среди элементарных свойств интеграла Римана доказанная в лекции 24 первая теорема о среднем занимает свое место. Более тонкие свойства интеграла Римана выражены в следующей теореме, известной под названием второй теоремы о среднем значении.
Теорема 3 Пусть функция f монотонна на отрезке [a, b], а функция g интегрируема по Риману на этом отрезке. Тогда существует точка [a, b] такая, что справедлива формула
b
( fg )(x)dx
a
Доказательство. Монотонная на отрезке [a, b] функция отрезке.
|
|
f (a) g(x)dx f (b)b g (x)dx. |
|
a |
|
f интегрируема, а потому и произведение fg интегрируемо на этом
Интегрируемая функция g ограничена, то есть для всех x [a, b] выполняется неравенство g(x) C с некоторым C 0.
Докажем теорему 3 для невозрастающей функции f. В случае неубывающей функции заменим f на невозрастающую функцию f с сохранением всех утверждений.
На первом этапе доказательства предположим, что f(x) 0 для всех x [a, b] и покажем, что существует точка [a, b] такая, что справедлива формула
b
( fg )(x)dx f (a) g(x)dx.
a a
262
Создадим разбиение P = {x0, x1, x2, ..., xn 1, xn} отрезка [a, b] с отрезками k = [xk 1, xk], k = 1, 2, ..., n, одинаковой длины, равной (b a)/n. Благодаря свойствам аддитивности и линейности интеграла Римана
b
( fg)(x)dx
a
(1)
|
n |
xk |
n xk |
е |
( fg )(x)dx е ( f (x) f (xk 1) |
||
k 1 x k 1 |
k 1 xk 1 |
||
n |
xk |
|
n |
е |
( f (x) f (xk 1 ))g(x)dx е f (xk 1) |
||
k 1 |
xk 1 |
k 1 |
f (xk 1 ))g(x)dx
xk g(x)dx.
xk 1
Обозначим
n
Sn1 е
k 1
xk |
n |
( f (x) f (xk 1 ))g(x)dx, Sn2 |
е f (xk 1 |
xk 1 |
k 1 |
xk
) g(x)dx.
xk 1
Оценим Sn1
|
|
n |
xk |
|
|
|
|
|
|
|
n |
xk |
|
|
|
|
|
||
Sn1 |
|
е |
x |
( f (x) f (xk 1 ))g (x)dx |
е |
x |
( f (x) f (xk 1 ))g(x)dx |
|
|||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|||||||||||||
|
|
n |
xk |
|
|
|
|
|
|
|
n |
xk |
|||||||
|
е |
|
|
|
f (x) f (xk 1 ) |
|
|
|
g(x) |
|
dx Cе |
|
f (x) f (xk 1) |
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 xk 1 |
|
|
k 1 xk 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
xk |
|
n |
xk |
|
|
||
Cе |
( f (x) f (xk 1 ))dx Cе |
( f (xk ) f (xk 1 ))dx |
||||||
k 1 xk 1 |
|
k 1 xk 1 |
|
|
||||
n |
|
xk |
n |
|
|
|
|
|
Cе( f (xk ) f (xk 1)) dx Cе( f (xk ) f (xk 1 )) |
|
k |
|
|
||||
|
|
|||||||
k 1 |
|
xk 1 |
k 1 |
|
|
263
C b n a ( f (x1 ) f (x0 ) f (x2 ) f (x1 ) ... f (xn ) f (xn 1 ))
C(b a)( f (xn ) f (x0 )) |
|
C(b a)( f (b) f (a)) |
. |
|
n |
n |
|||
|
|
Перейдем в этом неравенстве к пределу при n и увидим, что
lim Sn 0.
n 1
Рассмотрим функцию
G(x) x g(t)dt.
a
Функция G непрерывна на отрезке [a, b], G(a) = G(x0) = 0, и по второй теореме Вейерштрасса достигает на [a, b] своего минимума и максимума. Обозначим
Представим сумму Sn2 в виде
n
Sn2 е
k 1
m min G(x) и M max G(x). |
|
|
|
||
x [a,b] |
x [a,b] |
|
|
|
|
xk |
n |
xk |
xk 1 |
|
|
f (xk 1) g (t)dt е f (xk 1) |
|
g(t)dt |
|
|
|
g(t)dt |
|
||||
xk 1 |
k 1 |
a |
a |
|
|
n
е f (xk 1)(G(xk ) G(xk 1 ))
k 1
f(x0)G(x1) + f(x1)(G(x2) G(x1)) + ... + f(xn 1)(G(xn) G(xn 1)) =
264
G(x1)( f (x0 ) f (x1 )) G(x2 )( f (x1) f (x2 )) ... G(xn 1)( f (xn 2 ) f (xn 1)) G(xn ) f (xn 1)
n 1
еG(xk )( f (xk 1) f (xk )) G(xn ) f (xn 1 ).
k 1
Пользуясь тем, что f(xk 1) f(xk) 0 и f(xn 1) 0 и что m G(x) M, отсюда получим оценки для Sn2
n 1 |
n 1 |
е m( f (xk 1 ) f (xk )) mf (xk 1 ) Sn2 |
е M ( f (xk 1 ) f (xk )) Mf (xk 1) |
k 1 |
k 1 |
или |
|
m(f(x0) f(x1) + f(x1) f(x2) + ... + f(xn 2) f(xn 1) + f(xn 1)) Sn2 |
|
M(f(x0) f(x1) + f(x1) f(x2) + ... + f(xn 2) f(xn 1) + f(xn 1)), |
|
что равносильно неравенствам |
|
mf(a) Sn2 Mf(a). |
|
Если f(a) = 0, то f = 0 тождественно на [a, b] и сформулированное утверждение становится очевидным. Теперь предположим, что f(a) > 0. Тогда поделим последние неравенства на f(a) и получим
|
m |
Sn2 |
M. |
|
|
f (a) |
|||
Возвращаясь к формуле (1), находим, что |
|
|
|
|
|
b ( fg )(x)dx Sn1 |
|||
m |
a |
|
|
M . |
|
f (a) |
|
||
|
|
|
|
Переходя в этих неравенствах к пределу при n , получим
265
m |
b |
( fg )(x)dx |
M. |
a |
|
||
|
f (a) |
||
|
|
|
Обозначим
b ( fg)(x)dx
a . f (a)
По теореме Коши о промежуточном значении непрерывная функция G принимает на отрезке [a, b] все промежуточные значения между минимальным m и максимальным M. В частности, найдется точка [a, b] такая, что
G( ) = , или иначе
b
( fg )(x)dx f (a)G( ) f (a) g(x)dx,
a a
что доказывает утверждение первого этапа теоремы 3.
На втором этапе рассмотрим общий случай произвольных значений f(x). Пользуясь тем, что f(x) f(b) 0, применим
результат первого этапа к произведению (f(x) f(b))g(x) монотонной функции y = f(x) f(b) и интегрируемой функции y = g(x) и получим
b b
( fg )(x)dx ( f (x) f (b) f (b))g(x)dx
aa
b |
b |
( f (x) f (b))g(x)dx f (b) g(x)dx
a |
a |
266
|
|
|
|
|
( f (a) f (b)) g(x)dx f (b)b g(x)dx |
||||
|
a |
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (a) g(x) f (b) g(x)dx g(x)dx |
|
|||
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (a) g(x)dx f (b)b g(x)dx, |
|
|
|
|
a |
|
|
|
что заканчивает доказательство теоремы 3.
267