ЛинАлгебра

Решение.

Определим ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Выпишем расширенную матрицу системы, отделяя вертикальной чертой эле-

менты матрицы системы	A		от свободных членов системы:
		1	3	5	7	9
							1
A1	= 1		− 2	3	− 4	5	2 .
		2	11	12	25	22	4

Прибавим			к	элементам		2-й строки соответствующие									элементы
3-й строки, а затем разделим все элементы 2-й строки на 3:
1						9		1	1
		3		5	7					3	5	7 9		1
A1 ~ 3		9		15 21		27		6	~ 1	3	5	7	9	2	.
	2		11	12	25	22					12	25	22	4
								4	2 11
Вычтем		из элементов				2-й		строки соответствующие							элементы
1-й строки:

	1	3	5	7
A1 ~ 0		0	0	0
	2	11	12	25

		1	3	5	7	9		1
A ~
		0	0	0	0	0		~
		2	11	12	25	22		2

Нетрудно видеть, что r ( A) = 2 , r ( A1 ) тельно, система несовместна.

	x	+ 2x			+ 3x	= 14,
	1		2		3
3x1 + 2x2 + x3 = 10,
2. x1 + x2 + x3 = 6,
2x		+ 3x			− x	= 5,
	1			2	3
x1 + x2 = 3.

Решение.

Расширенная матрица имеет вид

91

0 1 ;

22 4

3	5	7	9
				.
11	12	25	22
= 3 ,	т.е. r ( A) ≠ r ( A1 ) , следова-

		1	2	3
					14
	3		2	1	10
A =		1	1	1	6	.
1
		2	3	− 1	5
			1	0
	1				3

21

Прибавим элементы 2-й строки к соответствующим элементам 1-й и 4-й строк, а затем разделим элементы 1-й строки на 4, а элементы 4-й строки на 5:

	4 4 4		24		1			6
						1	1
	3 2 1		10		3	2 1		10
A1~	1 1 1		6	~	1	1	1	6 .
	5 5 0		15		1	1	0	3
						1	0
	1 1 0		3		1			3

Вычтем	из	элементов						3-й			строки соответствующие элементы
1-й строки, а из элементов							5-й	строки элементы						4-й строки, после этого
вычеркнем 1 и 5-ю строки:
	1	1	1
					6
								1 1				6		1 1	1
	3	2 1				10					1
	0 0						~
A1 ~			0		0			3 2			1	10 ;		A ~ 3 2	1 .
	1 1		0			3					0
								1 1				3		1 1	0
		0	0		0
	0
Найдем определитель матрицы А:
							1	1		0	0	1
						1
						3 2 1			=	2 1 1			= 1 ≠ 0.
						1	1	0		1	1	0
Следовательно,				r ( A) = 3 .					Так как найденный определитель являет-
ся минором матрицы				A1 ,			то r ( A1 ) = 3 . Получили r ( A) = r ( A1 ) = n = 3 и,

следовательно, система совместная и определенная. Для определения трех неизвестных нужны три уравнения. Возьмем, например, первое, третье и пятое уравнения, а остальные уравнения можно отбросить:

x1x1x1

+ 2x2 + 3x3 = 14,

+ x2 + x3 = 6, + x2 = 3.

Отсюда легко находим, что x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 .

1 + 5x2 + 3x4 = 1,

3.2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0,5x1 + 3x2 + x4 = 1.+ 4x3+ 8x3x

Решение.

Расширенная матрица системы имеет вид

22

		1	5	4	3		1
A1	= 2 − 1 2				− 1		0 .
		5	3	8	1
							1
Вычтем из 3-й строки 1-ю:
		1	5	4	3		1
A1	~ 2 − 1			2	− 1		0 .
		4	− 2	4	− 2
							0

Разделим	элементы				3-й строки							на	2	и	вычтем			из полученной
3-й строки 2-ю; затем вычеркнем 3-ю строку:
			1	5	4	3			1
1				− 1 2		− 1						1		5	4	3		1
	~		2						0
A											~		− 1 2 − 1					.
			0	0	0	0			0			2					0
Нетрудно видеть, что						r ( A) = r ( A1 ) = 2 .								Следовательно, система со-
вместна.
Возьмем первое и второе уравнения заданной системы:
				x + 5x					+ 4x + 3x					= 1,
					1		2				3		4
				2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0.
За базисные неизвестные примем												x1		и	x2 .	Это можно сделать,

так как определитель из коэффициентов при этих неизвестных отличен от

нуля			1	5		= −11 ≠ 0		. Свободными неизвестными служат			и x
									x				.
			2	− 1						3		4

Переписав систему в виде

x + 5x			= 1 − 4x		− 3x		,
1		2		3		4
2x1 − x2 = −2x3 + x4 ,
выразим x1 и x2 через x3	и		x4 . Полученные выражения определя-

ют общее решение системы. Задав произвольные значения свободным неизвестным x3 и x4 , получим частные решения системы.

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n неизвестными:

a11 x1a21 x1

am1 x1

+ a12 x2 + K + a1n xn = 0,

+ a22 x2 + K + a2 n xn = 0,

(2.5)

+ am 2 x2 + K + amn xn = 0.

Однородная система всегда совместна, так как ее решением являются нули (тривиальное решение): x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0.

23

k = n − r ( A) .

У любой однородной системы r ( A) = r ( A1 ) , так как расширенная

матрица A1 отличается от матрицы	A только нулевым столбцом.
Если у однородной системы	r ( A) = r ( A1 ) = n , то она имеет только
нулевое решение.

Если помимо нулевых решений у однородной системы имеются другие решения, то такая система называется нетривиально совместимой.

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть	A – матрица однородной системы линейных
уравнений размера m × n .	Для того чтобы система была нетривиально
совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы A был мень-
ше n , т.е. r ( A) < n .
Для линейной однородной системы уравнений, в которой число
уравнений равно числу неизвестных, утверждение		«ранг матрицы	A
меньше числа неизвестных»	равносильно условию	det A = 0 .
Пусть однородная СЛАУ имеет k ненулевых линейно независимых
решений (ни одно из них	нельзя выразить линейно через остальные)
X 1 , X 2 ,..., X k . Эти решения образуют фундаментальную систему,			если
любое решение системы X	можно представить в виде

X = c1 X 1 + c2 X 2 + ... + ck X k ,

где c1 , c2 , ...ck − произвольные постоянные.

Число решений k в фундаментальной системе равно числу свободных неизвестных и определяется по формуле

Примеры. Имеет ли однородная СЛАУ ненулевые решения? Если имеет, то найти их, выписав фундаментальную систему решений.

1.x1 − 2x2 = 0,2x1 + 3x2 = 0.

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы

		1	− 2
				0
A =					.
1		2	3	0
Приведем матрицу A1 с помощью элементарных преобразований к
ступенчатому виду: умножим элементы 1-й строки на − 2						и прибавим к
соответствующим элементам 2-й строки.
		1	− 2	0
A ~					.
1		0	7	0
Число неизвестных		n = 2 ;		r ( A) = r ( A1 ) = 2 .		Поскольку

r ( A) = r ( A1 ) = n , то однородная система определенная и имеет единствен-

24

ное нулевое решение: x1 = 0, x2 = 0 . Таким образом, общее решение системы: (0; 0).

2.x1 − x2 + x3 = 0,

2x1 + x2 − x3 = 0.

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: умножим 1-ю стро-

ку на − 2	и прибавим ко 2-й, затем 2-ю строку разделим на 3.
	1 − 1		1			0	1		− 1 1		0	1 − 1	1		0
A =							~					~			.
1		1	− 1					0	3 − 3				− 1
	2					0					0	0 1			0
Так как				− 1					то r ( A) = r( A ) = 2 < 3 = n ,				то система
		D =	1			= 1 ≠ 0 ,
			0	1						1

неопределенная. Количество базисных переменных равно r ( A) = 2 , а количество свободных переменных равно k = n − r ( A) = 3 − 2 = 1. Для определения базисных переменных выберем какой-нибудь не равный нулю

минор второго порядка, например D .	Его столбцы 1-й и 2-й столбцы
матрицы A − соответствуют переменным	x1 и x2 − это будут базисные

переменные, а x3 − свободная переменная. Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару x2 , x3 , так как

соответствующий им минор равен нулю:						− 1	1	= 0 .
						1	− 1
Запишем систему, соответствующую полученной матрице:
x	− x		+ x		= 0,
1		2		3
x2	− x3 = 0.

Выразим базисные переменные через свободную. Из второго уравнения x2 = x3 . Подставляя значение x2 в первое уравнение, получим x1 = 0 .

Обозначив свободную переменную x3 через t , получим общее реше-

	x		0			0
	1
ние системы	X = x2		= t		= t	1	. Таким образом, общее решение сис-
						1
	x3		t

	0
темы			Фундаментальную систему решений образует решение
	X = t	.
	t

25

		0
				и X = t X 1 . Для удобства общее решение будем записывать в
X 1	=	1
		1
виде			(0; t; t ), а фундаментальную систему решений − (0; 1; 1).

1 − 3x2 − x3 + x4 = 0,

3.2x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0,

x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 0.x

Решение.

Расширенная матрица системы имеет вид

		1	− 3	− 1	1	0
A1	= 2		− 1 − 2 3			0 .
		1	2	− 1	2	0

Преобразуем матрицу A1 : умножим элементы 1-й строки на − 2 и прибавим к соответствующим элементам 2-й строки; умножим элементы

1-й строки на	− 1 и прибавим к соответствующим элементам 3-й строки.
			1	− 3	− 1	1
							0
	A1	~ 0		5	0	1	0 .
			0	5	0	1	0
Вычеркнув 3-ю строку, равную 2-й, получим
			1	− 3	− 1	1
							0
	A ~							.
	1			5	0	1	0
		0
Число	неизвестных		n = 4 ;			r ( A) = r ( A1 ) = 2 .			Поскольку

r ( A) = r ( A1 ) < n , то однородная система имеет ненулевые решения.

За базисные неизвестные выберем x ,					1	1		= 1 ≠ 0		Неизвест-
	x								.
1		4			0	1

ные x2 и x3 - свободные, их можно задавать произвольно.

Выпишем систему, которая соответствует полученной матрицы и выразим базисные неизвестные через свободные

x − 3x

− x

+ x

= 0,

x = 8x

+ x

,

1

2

3

4

1

2

3

5x2 + x4 = 0;

x4 = −5x2 .

Обозначим x2 = t

и

x3

= s ,

где

t, s − произвольные постоянные.

Выпишем решение системы

X

в матричном виде:

26

x			8t + s			8			1
1
x2		t + 0 s			1			0		= tX 1		+ sX 2 .
X =		=	0 t + s		= t			+ s
x3						0			1
			− 5t + 0 s
x4						− 5			0
Решения
						8					1
						1		и			0
			X	1 =		0			X 2 =		1
											0
					− 5

образуют фундаментальную систему решений.
Таким образом, общее решение системы (8t + s; t; s; − 5t ),	фундамен-
тальную систему решений образует пара решений {(8;1;0;−5),	(1;0;1;0)}.

2.3.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Рассмотрим систему

n

линейных уравнений с

n

неизвестными:

a x + a x

+ K + a

x

= b ,

11

1

12

2

1n

n

1

a21 x1 + a22 x2

+ K + a2 n xn

= b2 ,

(2.6)

an1 x1 + an 2 x2 + K + ann xn = bn .

Матрица системы

A

– квадратная. В матричной форме система

имеет вид

AX = B .

(2.7)

Определение 2.7. Определитель

= det A , составленный из коэф-

фициентов системы, называется определителем системы.

Определение 2.8. Если

≠ 0 ,

то система называется невырожден-

ной.

По теореме 1.3 матрица

A

имеет обратную матрицу

A−1 . Ум-

ножив обе части уравнения (2.7) на матрицу

A−1

слева,

получим

A−1 AX = A−1B .

Так как A−1 A = E

и

EX = E , то

X = A−1B ,

где

X –

матрица-

столбец искомых неизвестных.

Пример. Решить СЛАУ с использованием обратной матрицы

x

+ x

+ 2x

= 2,

1

2

3

3x1 + 2x2 + x3 = 2,

− x1 − x2 + 4x3 = 4.

27

Решение.

В матричной форме СЛАУ примет вид AX = B ,

		1	1	2		x			2
где						1
	A =	3	2	1 ,		X = x2	,	B =	2	.
		− 1	− 1	4					4
						x3

Определитель матрицы

A

равен

A

= −6 ≠ 0 . Обратная матрица примет

вид

9

− 6

− 3

A−1

1

= −

− 13

6

5 .

6

− 1

0

− 1

Теперь можно получить решение системы в матричном виде

X = A−1 B

9 − 6

− 3

2

− 6

1

1

1

X = −

− 13

6

5

2 = −

6

= − 1 .

6

6

− 1

0

− 1

4

− 6

1

x

1

Таким образом,

1

Следовательно,

x2

=

− 1 .

x1 = 1, x2

= −1, x3 = 1.

1

x3

Решение матричных уравнений

Иногда

необходимо

решить

матричное

уравнение

вида

AX = B

( XA = B ).

Если

A − квадратная невырожденная матрица, то решение это-

го уравнения имеет вид

X = A−1 B

( X = BA−1 ),

где

A−1 − обратная к A

матрица.

Примеры.

1 .

Решить матричное уравнение

XA = B ,

где A =

2

− 3

B

1

4

,

=

.

4

− 3

2

− 2

Решение.

Матрица

A − квадратная

невырожденная матрица, так как

2

− 3

Решением матричного уравнения является мат-

det A =

= −1 ≠ 0 .

− 3

4

рица X

2×2

,

которая определяется по формуле

X = BA−1 .

Поскольку

A−1 =

− 4 − 3

то

1 4

− 4

− 3

− 16

− 11

,

X =

=

.

− 2

− 3

− 3

2 − 2

− 2

− 2

− 2

− 16

− 11

2 − 3

1

4

Проверка:

=

.

− 2

− 2 − 3

4

2

− 2

28

	2 . Решить уравнение AX = B ,
		1	1	− 1		1	− 1	3
где
	A =	2	1	0 ,	B =	4	3	2	.
		1	− 1			1	− 2	5
				1

Решение.
Для матрицы				A	обратной является матрица следующего вида (см.
п.1.5):
								1	0	1
					A−1 =	1
							− 2		2	− 2 .
						2
									2
							− 3			− 1
Для упрощения дальнейших вычислений множитель												1	оставим
											2
перед матрицей.
Решением уравнения будет матрица
				1	0		1		1	− 1	3
X = A−1 B =	1
			− 2		2 − 2			4		3	2 =
	2
				− 3					1	− 2
					2 − 1						5

				1 + 0 + 1	− 1 + 0 − 2	3 + 0 + 5				2	− 3	8
		1						1
	=		− 2 + 8 − 2		2 + 6 + 4	− 6 + 4 − 10 =				4	12	− 12 .
		2						2
				− 3 + 8 − 1	3 + 6 + 2	− 9 + 4 − 5				4	11 − 10

В конечном итоге решение матричного уравнения примет вид

		1				1
				0
		2				2
X =	− 1			1	− 1 .
	−	3		1	−	1
		2				2

2.4. ПРАВИЛО КРАМЕРА

Следствием решения СЛАУ с использование обратной матрицы является метод Крамера.

Невырожденная система линейных уравнений (2.6) имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера

	x		=	i	, i = 1, n,	(2.8)
		i
где	i – определитель, полученный из определителя системы					заме-
ной	i-го столбца столбцом свободных членов матрицы A .

29

Системы двух линейных уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

a11 x1 + a12 x2 = b1 ,a21 x1 + a22 x2 = b2 .

Система (2.9), если определитель системы	=	a11	a12	≠ 0 ,
		a21	a22

единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

b1

a12

a11

b1

x =

1

=

b2

a22

; x

2

=

2

=

a21

b2

.

1

(2.9)

имеет

(2.10)

Если определитель = 0 , то система является либо несовместной, либо неопределенной. В последнем случае система сводится к одному уравнению (например, первому), второе же уравнение является следствием первого.

Условие несовместности системы (2.9) можно записать в виде

a11

=

a12

≠

b1

.

(2.11)

a21

a22

b2

Условие неопределенности системы (2.9) можно записать в виде

a11

=

a12

=

b1

.

(2.12)

a21

a22

b2

Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с тремя

неизвестными

a x + a x

+ a x

= 0,

11

1

12

2

13

3

(2.13)

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0.

1.

Если

a11

=

a12

=

a13

,

то система сводится к одному уравне-

a21

a22

a23

нию (например, первому), из которого одно из неизвестных выражается через два других, значения которых остаются произвольными.

2.

Если условие

a11

=

a12

=

a13

не выполнено, то решения сис-

a21 a22

a23

темы находятся по формулам:

a13

a11

a13

a11

a12

x =

a12

t,

x

2

= −

t, x

3

=

t,

(2.14)

1

a21

a23

a21

a23

a21

a22

где t может принимать любые значения.

30