ЛинАлгебра

Эти решения можно записать также в виде

x1

= −

x2

=

x3

= t .

a12

a13

a11

a13

a11

a12

a21

a23

a21

a23

a21

a22

При этой форме записи решений необходимо помнить, что если один из знаменателей обращается в нуль, то соответствующий числитель следует приравнять к нулю.

Примеры. Решить СЛАУ:

5x − 3x							= 1,
1 .		1				2
		x1 + 11x2 = 6.
Решение.
Находим определитель														системы и определители 1 , 2 , вхо-
дящие в числители формул (2.10):
		− 3																			1		− 3
=	5				= 5 11 − (−3) 1 = 58,												1		=					= 1 11 − (−3) 6 = 29,
	1	11																			6	11
2 =		5 1		= 5 6 − 1 1 = 29 .
		1	6
Отсюда,					x	=		1	=	29	=	1	;	x		=			2	=		1	.
															2
			1				58					2										2

2.3x1 + 4x2 + 5x3 = 0,x1 + 2x2 − 3x3 = 0.

Решение.

Используя формулы (2.14), находим

x1	=	4	5	t = −22t, x2	= −	3	5	t = 14t, x3	=	3	4	t = 2t ,
		2	− 3			1	− 3			1	2

где t можно придавать любые значения.

Системы трех линейных уравнений

Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

a11 x1a21 x2a31 x3

+ a12 x2 + a13 x3 = b1 ,
+ a22 x2 + a23 x3 = b2 ,	(2.15)
+ a32 x2 + a33 x3 = b3

при	≠ 0 находится по формулам Крамера:
	x =	1	, x		=	2	, x		=	3	,	(2.16)
				2				3
	1

где

31

a11

a12

a13

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

=

a21

a22

a23

,

1 =

b2

a22

a23

,

2 =

a21

b2

a23

,

3 =

a21

a22

b2

.

a31

a32

a33

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

Если	= 0 ,	то исходная система либо неопределенная, либо несо-
вместная.
Если	= 0	и 1 = 2 = 3 = 0 , то система неопределенная.
Если	= 0	и среди определителей 1 , 1 , 3 есть хотя бы один

не равный нулю, то система несовместная. Рассмотрим однородную систему трех уравнений:

a11 x1a21 x1a31 x1

+ a21 x2 + a13 x3 = 0,
+ a22 x2 + a23 x3 = 0,	(2.17)
+ a32 x2 + a33 x3 = 0.

1.	Если определитель системы (2.17)	≠ 0 ,	то она имеет един-
ственное (нулевое) решение: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 .
2.	Если определитель системы (2.17)	= 0 ,	то система имеет
бесчисленное множество решений.

Во втором случае, если среди миноров определителя однородной системы есть хотя бы один, отличный от нуля, то система сводится к двум независимым уравнениям (третье является следствием), а если все миноры этого определителя равны нулю, то система сводится к одному уравнению

(остальные два являются его следствием).
	Примеры.						Решить СЛАУ
				x + 2x						+ x				=			8,
				1				2					3
1 .			3x1 + 2x2							+ x3 = 10,
			4x1 + 3x2 − 2x3 = 4.
	Решение.
	Находим определитель																						системы. При вычислении определителя
воспользуемся теоремой о разложении по элементам первой строки:
			2	1								2 1											3	1									3 2
=		1				= 1												− 2										+ 1									= −7 + 20 + 1 = 14 ≠ 0.
		3 2		1
		4	3	− 2								3		− 2									4	− 2									4	3
	Вычислим определители																				1 ,			2 ,					3 , входящие в числители фор-
мул (2.16):
			2	1						2				1						10				1							10			2
1 =	8				= 8											− 2										+ 1											= −56 + 48 + 22 = 14,
	10		2	1
	4		3	− 2						3			− 2								4			− 2							4			3

32

2

3

=	1	8	1		= 1				10	1				− 8				3	1		+ 1		3		10				= −24 + 80 − 28 = 28,
	3	10	1
	4	4	− 2						4	− 2								4	− 2				4		4
		2	8				2			10						3			10					3	2
=	1			= 1								− 2									+ 8						= −22 + 56 + 8 = 42.
	3	2	10
	4	3	4				3			4						4			4					4	3

Подставляя найденные значения в формулы (2.11), получим решение

системы:	x	=		1	=		14		= 1,		x		=	2	=	28	= 2,	x		=	3	=	42	= 3 .
												2							3
	1					14									14							14
	4x + x							+ x			= 0,
		1				2				3
2.	x1 + 3x2 + x3 = 0,
		x1		+ x2 + 2x3							= 0.

Решение.

Находим определитель системы

. При вычислении определителя

к элементам 1-й строки прибавим элементы

3-й строки, умноженные на

–4, а к элементам 2-й строки – элементы 3-й,

умноженные на –1:

1

1

0

− 3

− 7

− 3 − 7

4

=

1 3

1

=

0

2 − 1

= 1

= 17 ≠ 0.

1

1

2

1

1

2

2

− 1

Так как

≠ 0 ,

то

система

имеет

только нулевое решение:

x1 = x2 = x3 = 0 .

1 + 2x2 − x3 = 0,

3.x1 + 2x2 + 9 x3 = 0,

x1 + x2 + 2x3 = 0.3x

Решение.

Определитель системы уравнений

=	3	2	−1	= 3		2	9		− 2		1	9		− 1		1	2		= −15 + 14 + 1 = 0.
	1	2	9
	1	1	2			1	2				1	2				1	1

Следовательно, система имеет решения, отличные от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье является их следствием):

3x1 + 2x2 − x3 = 0,

x1 + 2x2 + 9x3 = 0.

Отсюда по формулам (2.13) получаем

x =	2	− 1	t = 20t, x	2	= −	3	− 1	t = −28t, x	3	=	3	2	t = 4t.
1	2	9				1	9				1	2

33

2.5. МЕТОД ГАУССА

Решение СЛАУ с помощью определителей можно производить только в случае квадратной матрицы системы. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Этот метод применим и для случая систем произвольного вида.

Вначале рассмотрим метод Гаусса для СЛАУ, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель системы ≠ 0 , т.е. система имеет единственное решение. Система имеет следующий вид:

a x + a x

+ K + a

x

= a

+1

,

11 1

12

2

1n

n

1n

a21x1 + a22 x2

+ K + a2n xn = a2n +1,

(2.18)

+ an 2 x2

+ K + ann xn = ann +1.

an1 x1

Процесс решения состоит из двух этапов. Первый этап, называемый прямым ходом метода Гаусса, заключается в приведении системы к треугольному виду. Второй этап, называемый обратным ходом метода Гаусса, заключается в последовательном определении неизвестных из полученной прямым ходом системы уравнений.

Прямой ход

Допустим

a11 ≠ 0

(если a11 = 0 ,

то изменим порядок уравнений,

выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при

x

не ра-

вен нулю). Коэффициенты системы

aii

называются главными.

1 шаг. 1-е уравнение системы делим на

a11 . Умножаем полученное

уравнение на

a21

и вычитаем из 2-го;

затем умножаем на

a31

и вычи-

таем из

3-го;

наконец, умножаем на

an1

и вычитаем из

n -го. В ре-

зультате первого шага получаем эквивалентную систему

x

+ с

x

+ ... + c

x

= c

,

1

12

2

1n

n

1n +1

a′

x

2

+... + a′

x

n

= a′

,

22

2n

2n +1

− − − − − − − − − − − − − −

a′

x

+ ... + a′

x

= a

,

n

n

nn +1

n 2

nn

в которой

с

=

a1 j

, j = 2,3,..., n + 1;

a′ = a

− a

c

,i = 2,3,..., n,

j = 2,3,..., n + 1.

ij

1 j

a11

ij

i1 1 j

2 шаг. Действия первого шага применяем к уравнениям полученной

системы, начиная со 2-го: делим 2-е уравнение на

a′ ≠ 0 . Далее умножа-

22

ем полученное уравнение сначала на

a′

и вычитаем из 3-го, затем на –

32

a′

и вычитаем из 4-го и, наконец, умножаем на

a′

и вычитаем из

42

n 2

n -го.

34

Продолжаем этот процесс, пока возможно. В ходе приведения системы к ступенчатому виду могут появиться нулевые уравнения, то есть равенства вида 0 = 0 . Такие уравнения следует отбросить.

В итоге исходная система может быть преобразована к так называе-

мому треугольному виду:

x

+ с x

+ c x

+ ... + c

x

+ c

x

= c

,

1

12

2

13

3

1 n −1

n −1

1n

n

1 n +1

x2 + c23 x3

+ ... + c2 n −1 xn −1

+ c2n xn

= c2 n +1

,

(2.19)

xn −1 + cn −1n xn = cn −1 n +1,

xn = cn n +1.

Обратный ход

Из системы уравнений (2.19), начиная с последнего уравнения, последовательно определяем неизвестные, подставляя найденные значения неизвестных в предыдущие уравнения:

x

n

= c

n n +1

,

= cn −1 n +1 − cn −1 n xn ,

xn −1

= c1 n +1 − c1n xn − .... − с13 x3 − c12 x2 ,

x1

n

или xi = ci n +1 − ∑ci j x j ,

i = n, n − 1,...,2,1. Решение получено.

j = i +1

Контроль вычислений

Дополним расширенную матрицу системы (2.18) (n + 2) -м, так называемым контрольным столбцом элементов

a

a

11

12

a21

a22

an1

an 2

n +1

где ain + 2 = ∑aij , i = 1,2,..., n ,

j =1

a13

a1n

a1 n +1

a1 n + 2

a23

a2n

a2 n +1

a2 n + 2

,

an3

ann

an n +1

an n + 2

то есть является суммой всех элементов

i -й строки.

При линейных преобразованиях элементов матрицы такому же преобразованию должны подвергнуться элементы контрольного столбца. Каждый элемент контрольного столбца преобразованной матрицы должен быть равен сумме элементов соответствующей строки.

Метод Гаусса является инструментом не только решения систем уравнений произвольного размера, но и ее исследования.

Если система имеет единственное решение, то в результате прямого хода метода Гаусса система уравнений приведется к треугольному виду, в котором последнее уравнение будет содержать одно неизвестное.

35

В случае неопределенной системы, допускающей бесчисленное множество решений, треугольной системы не получится. В этом случае система приводится к ступенчатому виду:

x

+ c x

+ ... + c

x

+ ... + c

x

= c

1

12

2

1k

k

1n

n

1n +1,

x2 + ... + c2k xk

+ ... + c2n xn = c2n +1,

xk + ... + ckn xn = ckn +1.

Если же система уравнений несовместна, то после приведения к ступенчатому виду она будет содержать хотя бы одно уравнение вида 0 = cin +1 , т.е. уравнение, в котором все неизвестные имеют нулевые коэф-

фициенты, а правая часть отлична от нуля. Такая система не имеет решений.

Замечание. На практике удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов и свободных членов.

Примеры. Используя метод Гаусса, решить СЛАУ.

3x + 2x			+ x	= 5,
	1	2		3
1 . x1	+ x2 − x3 = 0,
		+ 5x3 = 3.
4x1 − x2
Решение.
Расширенная матрица имеет вид
					3	2	1		5
							− 1
				1		1			0 .
					4	− 1	5
									3

Введем контрольный столбец, каждым элементом которого является сумма четырех элементов i -й строки. При линейных преобразованиях будем проводить контроль вычислений, сравнивая значение контрольного столбца с суммой всех элементов строки.

Прямой ход

Для упрощения вычислений поменяем местами первое и второе уравнения:

3 2 1				5		11	1 1				− 1		0			1
1 1 − 1				0		1 ~ 3 2					1		5			11 .
	− 1 5			3				4		− 1
4						11					5		3			11
Выполним 1-й шаг метода Гаусса: из 2 и 3-й строк вычтем 1-ю, ум-
									1	1	− 1						1
														0
ноженную соответственно на						и 4:				− 1
				3				0			4			5			8	.
									0	− 5	9			3			7

36

Изменив знаки во 2-й строке и умножив ее на 5, прибавляем к 3-й:

	1 1			− 1	0	1	1 1			− 1	0	1
	0		1	− 4	− 5	− 8	~ 0		1	− 4	− 5	− 8 .
		0	0 − 11		− 22			0	0	1	2	3
						− 33

Система уравнений приняла треугольный вид:

x		+ x		− x = 0,
	1		2	3
		x2 − 4x3 = −5,
				x3 = 2.

Она имеет единственное решение.

Обратный ход

Из последнего уравнения имеем											x3 = 2 . Подставляя это значение
во второе уравнение, получаем										x2 = 3	и, наконец, из первого уравнения
находим	x1 = −1 .
		x + x				+ x		+ x		+ x = 7,
		1		2			3		4	5
	3x + 2x					+ x + x				− 3x = −2,
2.		1			2	3			4	5
			x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23,
			+ 4x2			+ 3x3 + 3x4				− x5 = 12.
	5x1

Решение.

Расширенная матрица c контрольным столбцом имеет вид

	1	1	1	1	1		12
						7
					− 3	− 2
3		2	1	1			2
	0	1	2	2	6	23	44	.
		4	3	3	− 1	12	26
5

Прямой ход

Вычтем из 2-й строки 1-ю, умноженную на 3, из 4-й – 1-ю, умноженную на 5:

1 1			1	1	1		12		1		1	1	1	1		7		12
						7
3		2	1	1	− 3	− 2	2		0		− 1 − 2		− 2	− 6		− 23		− 34
	0	1	2 2		6	23	34		~	0	1	2	2	6		23		34	.
		4	3 3		− 1	12					− 1	− 2	− 2	− 6		− 23
5							26		0									− 34

37

Прибавим к 3-й строке 2-ю, а из 4-й вычтем 2-ю:

1		1	1	1	1		12		1		1	1	1	1		7		12
						7
0		− 1 − 2		− 2	− 6	− 23	− 34		0		− 1 − 2		− 2	− 6		− 23		− 34
	0	1	2	2	6	23	34		~	0	0	0	0	0		0		0	.
		− 1	− 2	− 2	− 6	− 23					0	0	0	0		0
0							− 34		0									0

Вычеркнем нулевые строки:

1	1	1	1	1		12
					7
						.
	− 1	− 2	− 2 − 6		− 23
0						− 34

Запишем систему, соответствующую полученной матрице:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7,

− x2 − 2x3 − 2x4 − 6x5 = −23.

Система имеет ступенчатый вид. В этом случае она является неопределенной, то есть допускает бесчисленное множество решений.

Обратный ход

В качестве базисного минора возьмем минор, составленный из ко-

эффициентов при неизвестных

x , x

2

(так как

1

1

= −1 ≠ 0 ).

Сами

1

0

− 1

неизвестные

x1 , x2

в этом случае будут являться базисными,

а неиз-

вестные

x3 ,

x4 , x5 –

свободными неизвестными. Отправив свободные

неизвестные в правую часть уравнений системы, получим

x + x

= − x

− x

− x

+ 7,

1

2

3

4

5

x2

= −2x3 − 2x4

− 6x5 + 23.

Подставляя выражение для

x2 в первое уравнение системы, полу-

чим общее решение системы в виде

x = x

+ x

+ 5x

− 16,

1

3

4

5

x2 = −2x3 − 2x4

− 6x5 + 23.

Для получения частного решения следует свободным неизвестным

x3 , x4 ,

x5

присвоить

произвольные

значения,

например,

x3 = 1, x4 = 2,

x5

= 0 . Тогда одним из частных решений будет решение:

x1 = −13,

x2 = 18,

x3 = 1,

x4

= 2,

x5 = 0 .

2.6. КОМПАКТНАЯ СХЕМА ИСКЛЮЧЕНИЯ

Компактный метод решения системы (2.18) требует меньшего количества промежуточных вычислений, чем метод Гаусса, и становится осо-

бенно простой, когда матрица системы симметрична ( aij	= a ji ). Схема
предполагает последовательное определение неизвестных	xn , xn −1,..., x1

38

в указанном порядке из уравнений после вычисления элементов матрицы размера n×(n + 1) , полученной из расширенной матрицы системы:

b11b21bn1

c12

c13

c1n

c1 n +1

b

c

c

c

2 n +1

,

(2.20)

22

23

2n

bn 2

bn3

bnn

cn n +1

Элементы последней матрицы (2.20) вычисляются с помощью рекуррентных формул прямого хода метода, которые могут быть легко реализованы с использованием компьютерной техники.

Прямой ход

Вычисления элементов матрицы (2.20) проводятся последовательно, начиная с элемента главной диагонали, в следующем порядке: сначала вычисляются элементы, расположенные в столбце под элементом главной диагонали, затем элементы, расположенные в строке справа от элемента главной диагонали по формулам:

= ai1

(i = 1,2,..., n);

c1 j =

a1 j

( j = 2,3,..., n

+ 1);

bi1

a11

j −1

= aij

− ∑bik ckj ;

bij

(i, j = 2,3,..., n); i ≥ j;

(2.21)

k =1

1

i −1

c

=

a

−

∑b

c

(i = 2,3,..., n; j = 2,3,..., n + 1); i < j.

ij

b

ij

ik

kj

ii

k =1

Обратный ход

В результате обратного хода метода получаем решение исходной системы

n
xi = cin +1 − ∑cij x j (i = n, n − 1,...,2,1).	( 2 . 2 2 )

j = i +1

Контроль вычислений

Дополним расширенную матрицу столбцом элементов, в котором каждый элемент является суммой всех элементов данной строки, т. е.

n +1

ai n + 2 = ∑aij , i = 1,2,..., n.

j =1

Матрицу (2.20) дополним столбцом элементов сin + 2 , i = 1,2,..., n , которые вычисляются по формулам (2.21)

b11b21bn1

c12

c13

c1n

c1 n +1

c1 n + 2

b

c

c

c

2 n +1

c

2 n + 2

.

22

23

2n

bn 2

bn3

bnn

cn n +1

cn n + 2

39

При заполнении этой матрицы должно выполняться равенство

n +1

1 + ∑cij = cin +2 , i = 1,2,..., n,

j =i +1

то есть элемент последнего столбца должен быть на единицу больше суммы элементов строки, начиная с элемента, следующего за элементом главной диагонали. Контроль проводится при заполнении каждой строки матрицы (2.20). Кроме того, должны выполняться следующие соотношения:

xi + 1 = yi ,

n
где yi = cin +2 − ∑cij y j ,		i = n, n − 1,...,1.
j =i +1
Пример. Решить СЛАУ, используя компактную схему:
		2x1 −			x3 + x4 = 1,
					+ 3x3 − 2x4 = 4,
	− x1 + 2x2
		x1 + 3x2			+ 3x3 − 2x4 = 6,
		− x − 2x		2	+ 2x	= −7.
		1			3
Решение.
Здесь n = m,	≠ 0 .		Расширенная матрица системы с 6-м кон-

трольным столбцом, каждым элементом которого является сумма пяти элементов соответствующей строки, имеет вид

	2	0	− 1	1		3
					1
− 1		2	3	− 2	4	6
	1	3	− 1	1	6	10
	− 1	− 2	2	0	− 7
						− 8

Прямой ход

Заполнение матрицы (2.20) производится, начиная с 1-го столбца, который, в соответствии с формулами (2.21), совпадает со столбцом расширенной матрицы системы. Элементы 1-й строки, начиная со 2-го, де-

лятся на коэффициент при		x1 :
				1		1				1			3
	2	0	−
				2		2				2			2
	− 1
		b22	c23		c24				c25				c26		.
	1	b	b		c	34			c	35			c
		32	33										36
	− 1	b42	b43		b44				c45				c46

	1			1		1		3
Проведем контроль 1-й строки: 1 + 0 + −			+		+		=		.
	2			2		2		2

40