методичка по моделированию

¯

U dV = U V

−

R

V dU

¯

U = cos 5t

¯

R

′

¯

=

¯

dU =

cos 5t

dt = 5 sin 5t

·

dt ¯

=

¯

15t

dt

¯

¯

dV = e

¯

¯

¡

¢

¯

¯

15t

1

15t

¯

¯

V =

e

dt =

e

¯

15

¯

¯

¯

15t

R

cos 5t

¯

sin 5t

5

15t

e

¯

15t

¯

=

¯

e

−

µ

e

− Z

¯

( 5) sin 5t

·

dt =

15

15

15

15

−

¶

sin 5t

5 cos 5t

25

Z

=

e15t −

e15t −

e15t · sin 5t · dt.

15

225

225

Введем переменную I =

e15t · sin 5t · dt, тогда:

sin 5t

t

5 cos 5t

15t

25

I =

e15

−

e R

−

· I;

15

225

225

250

I = µ

sin 5t

5 cos 5t

¶ e15t;

−

225

15

225

I =

9

µ

sin 5t

−

5 cos 5t

¶ e15t;

10

15

225

C(t) = 3I;

C(t) = 3 ·

9

µ

sin 5t

−

5

cos 5t

¶ e15t + C.

10

15

225

Подставим полученное C(t) в общее решение автономного

уравнения:

x(t) = C(t) · e−15t;

x(t) =

27

µ

sin 5t

−

5 cos 5t

¶ e15t · e−15t + C · e−15t;

10

15

225

x(t) = C · e−15t

+

27

µ

3 sin 5t

−

1 cos 5t

¶

4 общее решение

10

45

45

неавтономного уравнения. После алгебраических и тригонометрических преобразований приведем решение к виду (9).

p

x(t) = C · e

−15t

+

27

(3 sin 5t − 1 cos 5t).

10

·

45

3

1

32 + 12 · µ

cos 5t¶ =

√

sin 5t −

√

32 + 12

32 + 12

p p

= 32 + 12 ·(cos ϕ sin 5t−sin ϕ cos 5t) = 32 + 12 ·sin(5t−ϕ).

11

√

ϕ = arctg

µ √32 + 12

2

2

¶ = arctg

µ

3

¶.

3

1

3 + 1

1

√

3

2

2

x(t) = C

·

e−15t +

27 ·

+ 1

·

sin(5t

−

ϕ).

·

45

10

√

Ã5t − arctg

! .

x(t) = C · e−15t +

1

·

45

· sin

3

27

− ·

10

µ

1

¶

x(t) = C · e−15t +

Ã5t − arctg

!

45

√10

· sin

3

4 общее ре-

·

µ

1

¶

27

шение неавтономного уравнения.

Компьютерное моделирование

В MATHCAD решение линейных дифференциальных уравнений выполняется с помощью функции Odesolve. Эта функция требует записи вычислительного блока, состоящего из трех частей:

1)ключевого слова Given (Дано);

2)дифференциального уравнения и начальные или граничные условия к нему;

3)функции оdesolve(x, xk) (решение ОДУ), где x 4 имя переменной, относительно которой решается уравнение, xk 4 конец интервала интегрирования (начало интервала интегрирования указано ранее, в начальных условиях).

Результаты счета удобно представлять графически на плоскости (t, x) (временная зависимость) и на фазовой плоскости (x, x˙ ). Ниже приведены фрагменты программы, реализующие

решение ДУ (I) и (II).
Given					Given
	d		1			d		1
		x(t) = 3 · sin(5t) −		· x(t)			x(t) = 3 −		· x(t)
	dt		15			dt		15
x(0) = 10					x(0) = 10
x := Odesolve (t, 10)					x := Odesolve (t, 120)
t := 0, 0.05..10					t := 0, 0.05..120
12

Вывод: исследовалось виляние параметров дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами на решение:

x˙ + λ · x = a,

x˙ + λ · x = A sin(ωt).

Данная система моделировалась в MATHCAD при значении

λ= ±15;

λ= ±151 .

По результатам компьютерного моделирования получаем, что:

•при λ > 0 решение x(t) устойчиво, с ростом t x(t) стремит-

ся к нулю, что наблюдается на соответствующих рисунках

(вставить в отчет распечатку результатов счета при λ = 151

и λ = 15). Это объясняется наличием в решении слагаемого e−λt 4 убывающей экспоненты;

13

•при λ < 0 решение x(t) неустойчиво, что наблюдается на

соответствующих рисунках (вставить в отчет распечатку

результатов счета при λ = −151 и λ = −15), что объясняется наличием в решении слагаемого eλt 4 возрастающей

экспоненты.

Кроме параметров λ, A, ω рассматривалось влияние начальных условий и параметров счета (начало и конец интервала интегрирования, шаг интегрирования). Для этого задается порядка пяти вариатнов значений x(0), и анализируются полученные временные зависимости и фазовые диаграммы.

Варианты заданий к лабораторной работе )Исследование влияния параметров

на динамическую систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением первого порядка+

Задание: для набора параметров λ, A, ω получить временные реализации и фазовые портреты, соответствующие различному поведению систем x˙ + λ · x = A и x˙ + λ · x = A sin (ωt).

Вари-	Значения параметров λ, A, ω
ант

1	λ1 = 2	λ2 = −2	λ3 =	1		λ4 = −	1		A = 4	ω = 3
				2			2
2	λ1 = 3	λ2 = −3	λ3 =	1		λ4 = −	1		A = 3	ω = 4
				3			3
3	λ1 = 4	λ2 = −4	λ3 =	1		λ4 = −	1		A = 2	ω = 5
				4			4
4	λ1 = 5	λ2 = −5	λ3 =	1		λ4 = −	1		A = 5	ω = 2
				5			5
5	λ1 = 6	λ2 = −6	λ3 =	1		λ4 = −	1		A = 6	ω = 3
				6			6
6	λ1 = 7	λ2 = −7	λ3 =	1		λ4 = −	1		A = 3	ω = 6
				7			7
7	λ1 = 8	λ2 = −8	λ3 =	1		λ4 = −	1		A = 10	ω = 2
				8			8

14

	8		λ1 = 9		λ2 = −9		λ3 =	1					λ4 = −		1				A = 2		ω = 10
								9							9
	9		λ1 = 10		λ2 = −10		λ3 =	1					λ4 = −		1				A = 7		ω = 3
								10						10
	10		λ1 = 15		λ2 = −15		λ3 =	1					λ4 = −		1				A = 3		ω = 7
								18						15
	11		λ1 = 20		λ2 = −20		λ3 =	1					λ4 = −		1				A = 4		ω = 2
								20						20
	12		λ1 = 25		λ2 = −25		λ3 =	1					λ4 = −		1				A = 0.2		ω = 20
								25						25
	13		λ1 = 2		λ2 = −2		λ3 =		1				λ4 = −		1				A = 20		ω = 0.2
									2						2
	14		λ1 = 3		λ2 = −3		λ3 =		1				λ4 = −		1				A = 10		ω = 5
									3						3
	15		λ1 = 4		λ2 = −4		λ3 =		1				λ4 = −		1				A = 5		ω = 10
									4						4
	16		λ1 = 5		λ2 = −5		λ3 =		1				λ4 = −		1				A = 5		ω = 10
									5						5
	17		λ1 = 6		λ2 = −6		λ3 =		1				λ4 = −		1				A = 50		ω = 2
									6						6
	18		λ1 = 7		λ2 = −7		λ3 =		1				λ4 = −		1				A = 100		ω = 10
									7						7
	19		λ1 = 8		λ2 = −8		λ3 =		1				λ4 = −		1				A = 10		ω = 0.5
									8						8
	20		λ1 = 9		λ2 = −9		λ3 =		1				λ4 = −		1				A = 50		ω = 5
									9						9

Библиографический список

1.Яблонский, А. А. Курс теории колебаний : учеб. пособие / А. А. Яблонский, С. С. Норейко. – 4-е изд., стер. = СПб. : Лань, 2003. – 256 с.

2. Стрелков, С. П. Введение в теорию колебаний : учебник /

С. П. Стрелков. – 3-е изд., испр. = СПб. : Лань, 2005. – 440 с.

3.Охорзин, В. А. Прикладная математика в системе MATHCAD : учеб. пособие / В. А. Охорзин ; доп. Мин-вом образования РФ для студ. вузов. – 3-е изд., стер. = СПб. : Лань, 2009. – 352 с.

4.Неймарк, Ю. И. Математическое моделирование как наука и искусство. = Н. Новгород: ННГУ, 2010. – 420 с.

5.Демидович, А. А. Лекции по теории устойчивости. = СПб. : Лань, 2009. – 480 с.

15

Оглавление

Краткая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Общая схема математического моделирования . . . . . . . . . . . . . . . 3 Некоторые сведения о линейных дифференциальных

уравнениях первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Пример выполнения лабораторной работы šИсследова-

ние влияния параметров на динамическую систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением первого порядкаœ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Варианты заданий к лабораторной работе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Белых Владимир Николаевич Киняпина Марина Сергеевна

Математические модели сложных систем

Методические указания к выполнению лабораторной работы

Редактор Н. С. Ал¨eшина Корректор Д. В. Богданов

Компьютерная верстка Л. Р. Семенова

Подписано в печать 02.11.12

1

Формат 60 × 84 /16. Гарнитура Times. Ризография. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 140 экз. Заказ 252.

Издательско-полиграфический комплекс ФБОУ ВПО XВГАВТY

603950, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5а