Введем обозначение

. (1)

С учетом последнего соотношения выражение для сигнала управления частотой УКСГ можно переписать в виде

(2)

Из рисунка 27 видно, что частота генерируемых колебаний определяется переменной

A_n= A₀ +R₀ U_{1 n-1}. (3)

где - значение константы, УКСГ, при разомкнутом кольце ФАПЧ, R₀ – константа управления

Текущий отсчет пилы связан с предыдущим и An следующим соотношениями

(4)

Воспользовавшись (1), найдем

.

Определим разность фаз

.

Подставляя в последнее соотношение (4), а затем (3) и (2) и учитывая, что

, получим

(5)

Построим график зависимости от

Рисунок 29 – Фазовый портрет системы ФАПЧ

Из рисунка видно, что синусоида пересекает ось абсцисс в точках 1, 2, 3 и т.д.

Точки, обозначенные нечетными числами, являются точками устойчивого равновесия системы, т.к. любому увеличению фазы по сравнению со значением в данной точке соответствует уменьшение приращения фазы, что возвращает точку в исходную позицию.

Соответственно уменьшение фазы приводит к увеличению ее приращения. В отличие от точек 1, 3, 5… точки 2, 4, 6 …являются точками неустойчивого равновесия.

Заметим, что точкам устойчивого равновесия соответствуют значения фазовых сдвигов 0, 2, 4 и т.д.

Таким образом, в установившемся режиме . Следовательно, произведение сигналов. Поскольку один из сомножителей пропорционален, а второй, то одновременно они не могут быть равны нулю. Следовательно, в установившемся режиме один из сомножителей максимален и является выходным сигналом фазового детектора, а второй равен нулю. Чтобы выяснить, какой из выходов детектора нужно использовать, определяется сигнал

.

При наличии помех для выбора выходного сигнала детектора целесообразно использовать не непосредственно сигнал U_{2 n}, а этот сигнал, пропущенный через ФНЧ1. Для этой цели достаточно одного рекурсивного звена первого порядка. Схема такого звена показана на рисунке 30.

Рисунок 30 – Рекурсивное звено первого порядка

Коэффициент системной функции A_F выбирается в пределах A_F = - (0.990..0.999).

Выходной сигнал фазового детектора определяется соотношением

От константы управления R₀ зависит скорость переходного процесса в системе ФАПЧ. Чем больше константа, тем короче переходной процесс, однако при превышении константой некоторого критического значения система становится неустойчивой. Поэтому эту константу нужно выбирать из условия

R₀ = (0.2 .. 0.3)/(X_cX_Г)².

Для повышения помехоустойчивости системы синхронизации применяется ФНЧ2.

В состав квадратурного фазового детектора входит 90 – градусный фазорасщепитель (рисунок 28). Графическое представление алгоритма функционирования нерекурсивного 90-градусного фазорасщепителя приведено на рисунке 31.

Рисунок 31 – нерекурсивный 90-градусный фазорасщепитель