Тема 4 испр

Тема 4. Краевые задачи для уравнения Лапласа.

План.

1. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Формула Грина

2. Свойства гармоничных функций.

3. Примеры решения внутренних и внешних краевых задач для урав­нения Лапласа.

4. Теория потенциала.

1. В последующих четырех темах рассмотрим особенности решения различ­ных типов уравнений в частных производных. Начнем анализ с уравнений эллиптического типа. Простейшими их представителями являются уравнения Лапласа

  (4.1) и Пуассона

  (4.2) Необходимость решения уравнений (4.1) и (4.2) связана с исследованием стационарных процессов (стационарное распределение тепла, задачи электростатики, обтекание тел в жидкости и т. д.).

Рассмотрим частные случаи уравнения Лапласа для систем, обладающих цилиндрической или сферической симметрией. В случае сферической симметрии искомая функция зависит только от расстояния от исследуемой точки до начала координат. Тогда уравнение (5.1) принимает вид:

  (4.3) Последовательно интегрируя уравнение (5.3), получим:

Полагая имеем

  (4.4) Функция (4.4) удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки и называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве.

В задачах с осевой симметрией уравнение (4.1) принимает вид:

  (4.5) Выполняя преобразования, аналогичные проделанным для (4.3), получим решение уравнения (4.5) в виде:

  (4.6) Функцию (4.6) называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

Рассмотрим физическую интерпретацию фундаментальных решений уравнения Лапласа. Можно показать, что выражение (4.4) описывает распределение потенциала электростатического поля, создаваемого точечным зарядом, помещенным в начало координат. Действительно, если точеный заряд поместить в начало координат, то потенциал электростатического поля будет определяться .

В такой модели объемная плотность сосредоточенного точечного заряда должна описываться дельта-функцией:

  . (4.7) Тогда из известного уравнения для потенциала электростатического поля следует:

.

Таким образом, фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве является обобщенным решением уравнения Пуассона

  (4.8) во всем пространстве

Аналогичным образом можно показать, что фундаментальное решение (4.6) описывает распределение потенциала электростатического поля в пустоте, создаваемого равномерно заряженной бесконечно протяженной нитью с линейной плотностью электрического заряда . То есть, функция является обобщенным решением уравнения Пуассона

  . (4.9) Важное место при изучении эллиптических уравнений занимают формулы Грина, являющиеся следствием теоремы Остроградского-Гаусса:

  (4.10) Пусть векторное поле имеет вид:

тогда

  (4.11) Рассмотрим правую часть (4.10):

  (4.12) Подставляя (4.11) и (4.12) в (4.10), получим:

  (4.13) Соотношение (4.13) называется формулой Грина.

Для дальнейшего анализа введем следующие обозначения. Пусть имеется некоторый объем , ограниченный поверхностью . Точка - фиксированная точка объема , точки и - произвольные точки, принадлежащие объему и поверхности .

Обозначим через - расстояние между точками и , - расстояние между точками и ,

Пусть есть решение уравнения Пуассона

  (4.14) а функция - фундаментальное решение уравнения Лапласа, являющееся обобщением решения уравнения

Подставляя функции и в формулу Грина (4.13), запишем:

Используя свойства - функции

запишем

  (4.15) Соотношение (4.15) устанавливает связь между значением функции в любой выбранной точке и значениями функции и ее производной вдоль внешней нормали к поверхности . Соотношение (4.15) называют интегральной формулой Грина.

Обозначая через и значения и на поверхности , перепишем интегральную формулу Грина в виде суммы трех слагаемых:

  (4.16) где

Функции и носят название объемного потенциала, потенциала простого слоя и потенциала двойного слоя.

Аналогичное соотношение может быть получено для решения уравнения Пуассона на плоскости в области , ограниченной контуром :

  (4.17) Функция

  (4.18) называется логарифмическим потенциалом.

2. Функцию, непрерывную в некоторой области вместе со своими частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяющую уравнению Лапласа, называют гармонической.

Для установления свойств гармонических функций воспользуемся формулой Грина (4.13) и интегральной формулой Грина (4.15).

1. Если функция - гармоническая в области , то

  (4.19) Для доказательства соотношения (4.19) воспользуемся формулой (4.13). Положим . Тогда Поскольку - гармоническая функция, то по определению Тогда формула Грина принимает вид:

В результате мы получаем (4.19).

2. Формула среднего значения. Пусть - гармоническая функция в области . Полагая функцию , запишем выражение (4.15) в виде:

  (4.20) Пусть область представляет собой шар радиуса с центром в точке Введем сферическую систему координат с центром . Тогда на сфере

Тогда выражение (4.20) принимает вид:

Учитывая (4.19), перепишем последнее выражение в виде:

  (4.21) Правая часть формулы (4.21) представляет собой среднее значение функции на сфере. Из (4.21) следует, что среднее значение гармонической функции на сфере равно ее значению центре сферы. Соотношение (4.21) называют формулой среднего значения гармонической функции.

3. Принцип максимального значения. Если функция непрерывна в замкнутой области (включая поверхность ) и гармонична в объеме , то она достигает своего экстремального значения на поверхности .

Очевидно, что функция достигает своего максимального значения либо внутри объема , либо на поверхности . Воспользуемся методом доказательства от противного. Пусть функция достигает максимального значения во внутренней точке объема .

Обозначим через множество всех точек области , для которых . Так как в общем случае , то множество не совпадает с , и у множества существует граничная точка , являющаяся внутренней для . Тогда из непрерывности функции следует .

Построим сферу с центром в точке радиуса таким образом, чтобы на этой сфере имелась хотя бы одна точка , не принадлежащая множеству .

Поэтому Тогда

  (4.22) с другой стороны, для гармонической функции из (4.21) следует

Последнее равенство противоречит (4.22), откуда вытекает принцип максимального значения.

Из принципа экстремального значения вытекают еще три свойства гармонической функции.

4. Если гармоническая в области функция удовлетворяет на границе области условию , то она удовлетворяет этому условию и внутри области .

5. Если гармоническая в области функция принимает на границе области постоянное значение, то она постоянна и во всей области . Так, если , то в .

6. Если функции и гармоничны в области , то выполнение на границе области неравенства влечет за собой выполнение этого неравенства и внутри области .

3. Краевые задачи для уравнения Лапласа могут быть решены двумя основными способами: методом разделения переменных и методом функций Грина. Метод разделения переменных был подробно рассмотрен в предыдущей теме. Поэтому наибольшее внимание уделим методу функций Грина.

Решение задач 45 и 46 определяется с точностью до произвольной постоянной

Функцией Грина для задачи Дирихле назовем функцию , которая является обобщенным решением краевой задачи:

(4.23)

Так как функция Грина имеет особенность вида , то ее можно представить в виде

где - гармоническая функция краевой задачи

Запишем формулу Грина (4.13), в которой функция есть искомое решение задачи Дирихле (4.), а функция :

(4.24)

Учитывая, что , , а в области и из формулы (4.24) получаем

.

Отсюда, используя свойство дельта-функции, находим

(4.25)

Эта формула делает решение задачи Дирихле в любой точке , если известна функция Грина для этой задачи.

Используя определение функции Грина (4.23), дадим следующую электростатическую интерпретацию функции Грина для задачи Дирихле.

Пусть точечный заряд помещен в точку внутри проводящей заземленной поверхности . Функцию Грина можно интерпретировать как потенциал поля, создаваемое точечным зарядом , помещенным в точку внутри поверхности . Потенциал этого поля складывается из потенциала поля точечного заряда и потенциала поля, создаваемого индуцированными (наведенными) на поверхности зарядами противоположного знака. Такая электростатическая аналогия позволяет построить функцию Грина для областей простой формы (полупространство, шар, слой), используя решение задач электростатики.

Приведем примеры решения задач Дирихле методом функции Грина.

Задача Дирихле для полупространства. Найти решение краевой задачи

(4.26)

В этой задаче поверхность представляет собой плоскость , которую можно замкнуть в бесконечности. Для нахождения функции Грина воспользуемся электростатической аналогией. Если вблизи заземленной проводящей плоскости расположен заряд , то потенциал электростатического поля в области можно найти, поместив в точку отрицательный заряд . Поскольку потенциал искомого поля будет равен сумме потенциалов, создаваемых этими двумя зарядами, функцию Грина определим как

, (4.27)

где ; . Очевидно, что на поверхности а поэтому .

Найдем производную функции по внешней нормали поверхности (?????????):

Тогда согласно (4.25) решение задачи Дирихле для полу пространства имеет вид

(4.28)

Интеграл в правой части уравнения (4.28) называют интегралом Пуассона для полупространства.

Третья краевая задача. Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа с граничным условием третьего рода

(4.29)

где .

Пусть область представляет собой круг радиуса , ограниченный окружностью . Тогда задача (4.29) в полярных координатах будет иметь вид

(4.30)

(4.31)

Решение этой задачи будем искать методом разделения переменных в виде

. (4.32)

Подставляя предполагаемую форму решения (4.32) уравнение (4.30) и разделяя переменные, получаем

Отсюда следует, что функция должна быть найдена из решения уравнения

, (4.34)

а для функции получаем задачу на собственные значения

(4.35)

Здесь условие периодичности функции является следствием периодичности искомого решения по угловой переменной с периодом .

Задача (4.35) имеет нетривиальные периодические решения только при , Эти решения имеют вид

(4.36)

где и - произвольные постоянные.

Из (4.34) для функции при получаем уравнение

(4.37)

Будем искать частные решения этого уравнения в виде степенной функции , . Подставив эту функцию в уравнение (4.37):

устанавливаем, что показатель степени определяется из уравнения т. е. .

Следовательно, уравнение (4.41) имеет следующие два линейно независимых решения: и .

Решение внутренней задачи Дирихле должно быть ограниченно в центре круга при . Поэтому из двух найденных решений следует взять лишь ,

Таким образом, согласно (4.37) частные решения уравнения (4.35) можно записать так:

В силу линейности и однородности уравнения (4.35) суперпозиция частных решений