Первое уравнение системы (3) можно преобразовать к виду

или

.

Второе уравнение можно преобразовать к виду

.

Таким образом, мы имеем систему уравнений

,

. (4)

Ее решение позволяет найти оценки параметров aиb.

Для упрощения расчетов (при нечетном количестве точек ряда – 2к+1) будем считать, что ряд образуется для моментов времени –к, -к+1, … 0, 1, 2, ….. к .

Тогда

и система уравнений имеет решение

,

. (5)

Полученная модель используется для прогноза экономического показателя на момент времени t_L

(6)

Пример. Опишем динамику добычи угля в Англии за ряд лет (табл.) линейной зависимостью.

Таблица

ti	yi	ti^2	yiti	i
1	227	1	227	-6,3
2	219	4	438	-2,7
3	209	9	627	2,9
4	197	16	788	10,5
5	193	25	965	10,0
6	200	36	1200	-1,4
7	199	49	1393	-4,8
8	197	64	1576	-7,2
9	191	81	1719	-5,6
10	177	100	1770	4,0
11	175	121	1925	1,6
12	167	144	2004	5,2
13	193	169	2509	-25,2
14	144	196	2016	19,4
Итого 105	2688	1015	19157	0

Система уравнений (4) имеет вид

,

откуда =225,1 ;= - 4,41, т. е. линейная модель имеет вид

.

При прогнозировании на 5 лет (t_L=19) прогноз добычи угля по модели составит

.

Задание 3

Выберите из таблицы временной ряд в соответствии с номером Вашего варианта (по последней цифре шифра зачетной книжки)

Номер	Временной ряд
варианта	1	2	3	4	5
1	26,7	110,1	276,8	683,9	1005,2
2	616	635	657	707	716
3	85,4	87,2	93,4	97,1	97,2
4	865	867	910	999	1025
5	304	325	344	359	386
6	212,3	216,2	219,8	223,2	226,4
7	145,0	152,9	164,6	168,8	181,3
8	59,1	56,1	58,9	58,4	57,5
9	78,5	81,1	87,3	91,7	96,4
10	292,3	327,6	369,3	412,4	458,9

1. Рассчитать показатели динамики – абсолютный прирост, коэффициент роста, коэффициент прироста (цепные и базисные).

2. Найти средний абсолютный прирост и средний коэффициент роста.

3. Подобрать линейную зависимость вида . Найти оценки коэффициентовипо методу наименьших квадратов.

4. Сделать прогноз показателя по математической модели тренда на 3 года вперед.

8. ОШИБКИ ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИК ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ПО ВЫБОРКЕ

Часто по выборке определяется среднее значение какого-либо признака − (выборочное среднее) или выборочная доля элементов, обладающих каким-либо качественным признаком (w).

Разница между этими показателями в выборке и генеральной совокупности называется ошибкой оценки характеристик генеральной совокупности по выборке.

Выборочное среднее и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие элементы совокупности попали в выборку.

Следовательно, ошибки оценки этих характеристик генеральной совокупности по выборке также являются случайными величинами.

Среднее квадратическое отклонение оценок характеристик генеральной совокупности по выборке

1. Для оценки среднего значения генеральной совокупности по выборке

,

где _x – среднее квадратическое отклонение для самих данных;

n − количество элементов в выборке.

2. Для оценки доли в генеральной совокупности по выборке

,

где p – доля объектов, обладающих признаком, в генеральной

совокупности.

В приведенных формулах _x и p являются характеристиками генеральной совокупности, которые при выборочном наблюдении неизвестны. Поэтому их заменяют аналогичными характеристиками выборочной совокупности − и w.

Тогда

,

.

При бесповторном отборе подкоренное выражение умножается на величину

,

где N – объем генеральной совокупности.

При n<<N выборку можно считать повторной.

Предельные ошибки оценок характеристик генеральной совокупности

Для решения практических задач необходимо знать не только среднюю квадратическую, но и предельную ошибку с гарантирующим ее уровнем доверительной вероятности. Формулы для определения предельной ошибки  приведены в таблице.

Метод отбора	Для средней	Для доли
Повторный
Бесповторный

Величина t зависит от требуемого уровня доверительной вероятности и определяется по таблицам функции Лапласа.

Например, при Р = 0,95 t = 1,96, а при Р = 0,997 t = 3.

Определение численности выборки

Разрабатывая программу выборочного наблюдения, задают величину допустимой ошибки и доверительную вероятность Р. Неизвестным является тот минимальный объем выборки n, который должен обеспечить заданную точность.

Формулы для определения численности выборки приведены в таблице

Метод отбора	Для средней	Для доли
Повторный
Бесповторный

Величины,w оцениваются по выборке меньшего размера. Часто в качестве w выбирается 0,5 (по наихудшему случаю).

Пример.

Рассмотрим пример оценки доли полезного использования рабочего времени на предприятии (генеральной совокупности). Допустим, что предварительных данных об использовании рабочего времени нет. Допустимую ошибку установим в размере 0,05, а уровень значимости 0,05 (доверительная вероятность равна 0,95). Тогда необходимое число наблюдений составит

наблюдений.

Допустим, что по данным 1000 наблюдений получено, что время полезной работы наблюдается в 90 % наблюдений. Используя приведенную выше формулу, можно определить среднеквадратичную ошибку оценки доли полезного времени

.

Предельная ошибка выборочной доли составляет 0,02. Поэтому с вероятностью 0,95 можно утверждать, что истинное значение доли полезно используемого рабочего времени находится в диапазоне (0,88 – 0,92), т. е. составляет от 88 до 92 %.

Задание 4.

Результаты моментного наблюдения за поведением покупателей в магазине самообслуживания приведены в таблице.

Код действия покупателя	1	2	3	4	5	6	7
Количество покупателей	215	105	200	46	100	473	15

1 − ищут нужный отдел;

2 − подходят к прилавку;

3 − изучают ассортимент товаров и их цены;

4 − выбирают необходимый товар;

5 − переносят товар к кассе;

6 − оплачивают товар;

7 − выходят из магазина.

Найти выборочную долю покупателей, которые в момент обследования совершают действие, которое указано в таблице в соответствии с номером варианта задания.

Вариант	Код действия	Вариант	Код действия
1	1	6	6
2	2	7	7
3	3	8	3 или 4
4	4	9	5 или 6
5	5	10	1 или 2

и предельную ошибку для оценки доли в генеральной совокупности с доверительной вероятностью Р = 0,95.

9. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Во многих науках (физика, экономика и т. д.) используются модели, в которых некоторые переменные (не случайные) связаны функциональной зависимостью. Примером таких зависимостей является закон Бойля-Мариотта или формула Ф. Котлера.

При статистической зависимости переменные (случайные величины) не связаны функционально. Однако закон распределения одной из них зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина. Поэтому речь идет об условном распределении Y при заданном х.

В частности, можно рассматривать M(Y/x) как некоторую функцию х (регрессия).

При исследовании статистической зависимости между признаками пытаются ответить на следующие вопросы:

• существует ли статистическая связь между признаками;

• какова степень этой связи;

• какова форма связи.

Первые два вопроса решаются на основании корреляционного анализа. В качестве меры тесноты связи обычно используется коэффициент корреляции - . Присвязь становится функциональной.

Выборочный коэффициент корреляции r рассчитывается по формуле

.

где - значение случайной величины X для i-го наблюдения (объекта);

- значение случайной величины Y для i-го наблюдения (объекта);

, - выборочные средние значения случайных величин X и Y;

n – число наблюдений (объем выборки).

На практике используются следующие формулы для «ручных» вычислений

;

;

.

После того, как вычислен выборочный коэффициент корреляции r следует проверить гипотезу об отсутствии корреляционной связи для генеральной совокупности Н₀: .

Для этого вычисляется критерий

и сравнивается с табличным значением критерия Стьюдента сстепенями свободы уровня значимости.

Если , то с надежностьюможно отвергнуть гипотезу Н₀ и считать, что корреляция имеется.

Для измерения тесноты связи используется не только коэффициент корреляции, но и корреляционное отношение.

Рассмотрим аналитическую группировку. Имеет место следующее соотношение

,

где − полная дисперсия признака-результата;

−внутригрупповая дисперсия;

−межгрупповая дисперсия.

Внутригрупповая дисперсия характеризует ту часть дисперсии признака-результата, которая не зависит от признака-фактора. Ее оценка определяется по формуле

,

где - оценка дисперсии признака – результата в пределах отдельной

группы по признаку-фактору;

n_i – численность i-й группы.

Межгрупповая дисперсия отражает ту часть общей дисперсии признака-результата, которая объясняется влиянием признака-фактора. Ее оценка определяется по формуле

,

где − групповое среднееi-й группы.

Коэффициент детерминации определяет долю объясненной дисперсии в общей дисперсии признака-результата

.

Корреляционное отношение определяется как

.

Оно является мерой тесноты связи при любой форме зависимости, а не только линейной, как коэффициент корреляции.