- •Оглавление
- •§1.2. Время как фактор в финансовых расчетах
- •§1.3. Проценты, виды процентных ставок
- •Глава 2
- •1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
- •2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):
- •3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу ды (360/360):
- •§ 2.2. Погашение задолженности частями
- •§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите
- •§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке
- •§2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
- •Дисконтные множители, I - d » 20%
- •§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •§ 2.7. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 3 сложные проценты
- •§3.1. Начисление сложных годовых процентов
- •1 См.: Томас д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976.
- •§3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам
- •§3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •§3.4. Дисконтирование по сложной ставке
- •§3.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения
- •§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки
- •§3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты
- •1 См. Математическое приложение к главе. 64
- •Глава 4
- •(IWf-lw/.NiwJt'...
- •§4.2. Эквивалентность процентных ставок
- •360 Х 0,4 лолло|г ллЛо«,п,
- •§4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
- •§4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта
- •§4.5. Налоги и инфляция
- •1 Доказательство (4.38) см. В Математическом приложении к главе. 82
- •1 См. Математическое приложение к главе.
- •§4.6. Кривые доходности
- •1 В гл. 7 приводится пример выбора поведения инвестора в зависимости от ожиданий размера процентной ставки.
- •1. Приведем доказательство формулы (4.38). По определению
- •2. Докажем формулу (4.41):
- •Глава 5
- •§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •1 В переводной литературе обычно не различают термины: поток платежей и член потока.
- •1 Июля 1 января 2000 г. 2001 г.
- •1 Января 1 января 2003 г. 2004 г.
- •§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •§5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •§5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •1 |П 1,2 ' oiUMct.
- •Глава 6
- •1 Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126
- •§6.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •§6.3. Постоянная непрерывная рента
- •§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей
- •1 Доказательство см. В Математическом приложении к главе.
- •§6.5. Конверсии рент
- •§6.6. Изменение параметров рент
- •Глава 7
- •§7.2. Нелинейные модели
- •§7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе
- •§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки
- •§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определению
- •Глава 8 риск и диверсификация
- •§8.1 Риск
- •§8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода
- •1 Напомним следующие свойства коэффициента корреляции:
- •1 В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством.
- •§8.3. Минимизация дисперсии дохода
- •Глава 9
- •§9.1. Расходы по обслуживанию долга
- •§9.2. Создание погасительного фонда
- •22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами.
- •§9.3. Погашение долга в рассрочку
- •§9.4. Льготные займы и кредиты
- •§9.5. Реструктурирование займа
- •§9.6. Ипотечные ссуды
- •§9.7. Расчеты по ипотечным ссудам
- •Глава 10 измерение доходности
- •§10.1. Полная доходность
- •§10.2. Уравнение эквивалентности
- •§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •§10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •§10.5. Долгосрочные ссуды
- •§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)
- •Дополнительная литература
- •Глава 11 облигации
- •§11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •§11.2. Измерение доходности облигаций
- •§11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска
- •§11.5. Оценивание займов и облигаций
- •Глава 12
- •§12.2. Чистый приведенный доход
- •§12.3. Свойства чистого приведенного дохода
- •§12.4. Внутренняя норма доходности
- •1 В сопровождающем программу тексте этот показатель ошибочно назван "скоростью оборота".
- •2 Для определения внутренней нормы доходности применяется итерацион ный процесс, поэтому желательно указать некоторое ориентировочное началь ное значение ставки.
- •§12.5. Срок окупаемости
- •§12.6. Индекс доходности
- •§12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности
- •§12.8. Сравнение результатов оценки эффективности
- •§12.9. Моделирование инвестиционного процесса
- •§12.10. Анализ отзывчивости
- •Математическое приложение к главе
- •Глава 13 лизинг
- •§13Л. Финансовый и оперативный лизинг
- •§13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту
- •Периодические платежи по лизингу
- •§13.3. Методы расчета лизинговых платежей
- •1. Платежи постнумерандо
- •2. Платежи пренумерандо
- •Глава 14 форфейтная операция
- •§14.1. Сущность операции а форфэ
- •§14.2. Анализ позиции продавца
- •§14.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 15 коротко об опционах
- •§15.1. Сущность опциона, основные понятия
- •§15.2. Цена опциона
- •§15.3. Модель Блека—Шоулза
- •Глава 16 страховые аннуитеты
- •§16.1. Финансовая эквивалентность в страховании
- •§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности
- •1 Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности населения ссср 1984—1985 гг.
- •§16.3. Коммутационные функции
- •Фрагмент таблицы коммутационных чисел1
- •§16.4. Стоимость страхового аннуитета
- •20|Лзо:51 Озо уЗю.З V.Oowo.
- •Глава 17 личное страхование
- •§17.1. Нетто-премии в личном страховании
- •1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.
- •§17.2. Страхование жизни
- •§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем
- •§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы
- •40 60 75 " Возраст
- •§17.5. Страховые пенсионные схемы
- •Расчет размера пенсии
- •§17.6. Страховые резервы в личном страховании
- •82 461 1 Ю iPso '
- •Коммерческий отдел — тел. 433-2510, 433-2502
- •Internet: http://www.Deio.Ane.Ru
- •Isbn 5-77494)193-9
§17.5. Страховые пенсионные схемы
Пенсионное страхование по существу представляет собой последовательно повторяемое страхование на дожитие. Пусть пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда стоимость страхования разовой выплаты пенсии, равной 5, определяется стоимостью страхования на дожитие до 60 лет (см. (17.1)). Аналогично можно последовательно определить стоимость страхования на дожитие и до других возрастов. В итоге стоимость страхования составит:
{ЕХ + 2ЕХ + ... + ^.^yEj
где w — максимальный возраст, учитываемый в расчете.
Проще, однако, воспользоваться страховыми аннуитетами, о которых речь шла в гл. 16.
Необходимость в расчете нетто-тарифов (нетто-премий в ра-чете на 1 руб. установленной пенсии) возникает при использовании схемы, в которой за исходную принимается величина пенсии. Тариф может быть определен для единовременного взноса (покупка пенсии разовым платежом) или при условии, что премия выплачивается в рассрочку. Обсудим оба варианта, но только для пенсионных схем индивидуального страхования. Актуарные расчеты в групповом пенсионном страховании требуют более обширной информационной базы, расширенных таблиц смертности (где учитывается выход из состава группы участников в связи с увольнением и выходом на пенсию по инвалидности).
359
Единовременный взнос. Поскольку речь идет о разовом взносе, то нетто-тариф, очевидно, равен стоимости аннуитета, соответствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия — произведению нетто-тарифа на размер пенсии. Например, для годовых пенсий пренумерандо имеем
Ех= Rxax= R-jt, (17.10)
X
где ах — стоимость немедленного годового аннуитета пренумерандо (см. (16.18)), R — размер годовой пенсии.
В свою очередь для отложенной на п лет пенсии получим
^-Лх^-Л-^*-, (17.11)
где ^ах — стоимость отложенного годового аннуитета пренумерандо (см. (16.20)).
Таким же способом получим суммы единовременных взносов и для других условий выплаты пенсий. Формулы для расчета стоимости страховых аннуитетов приведены в табл. 16.3.
ПРИМЕР 17.6. Необходимо определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 40 лет. Размер годовой пенсии 1 тыс. руб., выплаты пренумерандо с 60 лет пожизненно. В этом случае имеем отложенный, пожизненный аннуитет пренумерандо. Норматив доходности равен 9%. Для приведенных данных получим
N6o 3082,2 а ллосс 20|*<о - ц^ «-55J - 1'04855' 0ТКУда
^40 = 1 х 1.0*855 • 1,04855 тыс. руб.
Если бы пенсия страховалась не пожизненно, а на срок 15 лет, то ее стоимость в момент выхода на пенсию составила (см. (16.22)):
с л Neo - N75 3082,2 - 684,24
5,0 = 1 * "6015! = Б = 389J7 = 6'16173 ТЫС* РУ6"
В свою очередь для страхователя 40 лет получим (см. (16.24)):
360
с л ^60 - ^75 3082,2 - 684,24 ло„с„
Е4о = 1 х 201*60:151 = —q = ^^ = 0,81577 тыс. руб.
Заметим, что чем выше процентная ставка (норматив доходности), тем ниже тариф страхования и оно более привлекательно для клиента. Однако при этом повышается риск для страховщика — он обязан обеспечить указанный уровень доходности аккумулируемых средств.
Нетрудно найти и стоимость сберегательно-страховой пенсионной схемы. Пусть до пенсионного возраста применяется сберегательная схема, после — страховая. Если пенсия выплачивается с 60 лет, а единовременный взнос в х лет, то стоимость для пожизненной пенсии пренумерандо равна
Ех = R х *<ю х v6°"x = Я-lf-v60-*.
ПРИМЕР 17.7. Вернемся к примеру 17.6 (вариант с выплатой пенсий в течение 15 лет).
Стоимость смешанной пенсионной схемы в возрасте 40 лет составит
Е4о = 1 х "60:151 * v2° = 6,16173 х 1,09-20 - 1,099 тыс.руб.
Размеры единовременных взносов (выплаты пенсий в течение 15 лет) для трех вариантов пенсионных схем приведены в следующей таблице.
Таблица 17.1 Стоимости страхования по трем пенсионным схемам
Возраст застра- |
Пенсионные схемы | ||
хованного |
Сберегательная |
Страховая |
Смешанная |
60 лет 40 лет |
8061 1438 |
6162 816 |
6162 1099 |
Страховая схема оказывается более дешевой по сравнению со сберегательной, смешанная схема занимает промежуточное место по размеру единовременного взноса для сорокалетнего застрахованного. Однако, нельзя забывать, что страховые схемы не предусматривают наследования остатков средств на счете участника. Сберегательная схема, наоборот, предполагает это.
Совместим три кривые, характеризующие динамику накопления для трех видов пенсионных схем (см. рис. 17.3).
361
8061 j |
|
|
| |
|
/•6162\ |
|
| |
1438 |
|
|
|
|
1099 |
|
|
|
|
816 4 |
|
|
|
W |
0 60 |
75 |
^ Возраст 1 | ||
|
Рис. 17.3 |
|
|
Рассрочка взносов. В практике страхования премии часто выплачиваются в виде ряда последовательных платежей, иными словами, в рассрочку. При расчете нетто-тарифов с рассрочкой для описания взносов можно воспользоваться ограниченными (на период рассрочки) аннуитетами. С другой стороны, пенсии также представляют собой страховые аннуитеты. В силу эквивалентности финансовых обязательств обоих участников стоимости соответствующих аннуитетов должны быть равны друг другу. Например, в случае, когда один аннуитет (взносы) является немедленным, ограниченным, второй (Пенсии) — пожизненным, отсроченным, причем оба предусматривают ежегодные платежи постнумерандо, получим следующее равенство:
Pax.t] = R na*
(17.12)
где Р — годовая сумма взносов (нетто-премии), R — годовая сумма пенсии.
Откуда
D _ r nax _ D "x+n+\ Nx+{ /Vjc+z+i
ах-А
Z)
(17.13)
N.
х+я+1
^Yjc+1 Wjc+/+I
Например, если первая выплата пенсии производится, допустим, в 60 лет (х + п + 1 = 60), возраст при заключении страхового контракта 40 лет, а рассрочка равна 10 годам, то
362
УУ60
p-RN _ N •
/v4, /v5I
Выражения, аналогичные (17.12), могут уравнивать стоимости различных видов аннуитета. Например, если оба аннуитета предусматривают годовые выплаты пренумерандо, то вместо (17.12) получим
П *x:t]
„a* N,
p=Rf~ = RY^lT- (,7И)
ax:t] 1Ух 1УхН
ПРИМЕР 17.8. Определим размер премии для следующих условий. Сорокалетний мужчина вносит премию в течение 5 лет, пенсия годовая, пожизненная, в размере 10 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо. В этом случае на основе (17.14) получим
р = |
innnn 6° innnn 3082,2 |
10 000 х л. — 10 000 х ЛЛЛ__ Л ^ЛЛЛ^ , ^40 ~ ^45 30375,6 ~ 18086,4 | |
|
= 2508,1 руб. |
Чем больше период рассрочки, тем, очевидно, меньше сумма взноса. Так, при рассрочке в 10 лет получим для тех же условий
Чо 3082,2
Р = 10 000 х ——=77- = 10 000 х ~-
nao'nso 30375,6 - 10465,3
= 1548,0 руб.
Расчет размера пенсии по сумме взносов. Пусть на счет застрахованного ежегодно поступают взносы. Эти взносы, разумеется, должны быть "очищены" от нагрузки, которая поступает в пользу страховой организации. Очевидно, что каждый взнос обеспечивает некоторую сумму пенсии. Для начала положим, что пенсия обеспечивается единовременным взносом Е. Тогда из соотношений типа Е = Rax находим размеры пенсий R. Так, для немедленной пенсии пренумерандо имеем R = Е/ах, для отложенной пенсии R = Е/пах и т.д.
363
Пусть теперь постоянная премия выплачивается в рассрочку в течение / лет, причем взносы одинаковы. Размер пенсии без корректировки на инфляцию определяется элементарно — достаточно решить уравнение (17.12) или аналогичные выражения относительно R. Например, для отложенной годовой пенсии пренумерандо с ограниченным периодом взносов получим
R= Р
ax:t\
Перейдем теперь к ситуации, когда взносы производятся последовательно в течение некоторого срока и изменяются по времени. Первый взнос Р{ можно рассматривать как единовременную премию, обеспечивающую пенсию в сумме Л,, и т.д. Пусть взносы и пенсии выплачиваются в начале года. Пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда для каждого взноса можно написать равенство
*| = Л
60
, Л2 - Р2
60
ух+\
... , Rk - Л*
60
М
*>x+k-l
Общая сумма пенсии
p-lpJ-^—
У-1 ^60
(17.15)
ПРИМЕР 17.9. Пусть на пенсионный счет участника (мужчины) поступают в течение 5 лет взносы пренумерандо. Первый взнос 150 руб. сделан в возрасте 40 лет, второй взнос — 200 руб. и т.д. Пенсия выплачивается с 60 лет, Л/60 = 3082,2. В последней графе табл. 17.2 показаны размеры пенсий, обеспеченные каждым очередным взносом и размер пенсии, обеспеченной всеми взносами.
Таблица 17.2