Свободные затухающие колебания

Пружинный маятник: . , где  - параметр (коэффициент) затухания, .

Математический маятник: .

Решение уравнения свободных затухающих колебаний:

Предположим, что . Тогда , . , . Отсюда . Обозначив , получим: - решение уравнения свободных затухающих колебаний.

Если трение мало , то .

Основные характеристики затухающих колебаний.

Время релаксации – время, в течение которого значение параметра убывает в e раз: .

Декремент затухания характеризует, во сколько раз амплитуда колебаний убывает за один период: .

Логарифмический декремент затухания характеризует, во сколько раз изменяется логарифм убывания амплитуды: .

Пусть и совершается N колебаний, т.е. . Тогда , .

Скорость и ускорение затухающих колебаний: , , .

Добротность системы .

Энергия , .

. При .

Вынужденные колебания

Для пружинного маятника: , где m – масса тела, F – амплитуда силы,  - циклическая частота силы.

Для математического маятника: .

Длительность переходного режима совпадает со временем релаксации.

- амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний, - фазо-частотная характеристика вынужденных колебаний.

Общее уравнение: , где первое слагаемое представляет собой начальное колебаний системы, которое из-за затухания постепенно сходит на нет, а второе – установившийся режим вынужденных колебаний.

Резонанс.

Найдём максимум амплитуды колебаний в зависимости от частоты воздействующей силы. Для этого решим уравнение . Получим: .

Резонанс – явление резкого возрастания (убывания) амплитуды вынужденных колебаний при стремлении частоты воздействия внешней силы к частоте собственных колебаний (точнее, к величине , где  - коэффициент затухания, но обычно ).

Резонансная частота – частота внешней возбуждающей силы, при которой достигается максимум амплитуды вынужденных колебаний.

Наложение колебаний

Сложение колебаний одного направления

Пусть, . Тогда .

Векторная диаграмма:

, , . Тогда ,

.

Таким образом, .

Биения: Рассмотри два колебания: и , где . Результирующее колебания будет описываться уравнением .

Частота биения: , период .

Взаимно перпендикулярные колебания

Рассмотрим два колебания, происходящие во взаимно перпендикулярных направлениях: , .

1. Если и , то график представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

2. Если , и , то график представляет собой эллипс, полуоси которого равны A и B.

3. , - график представляет собой параболу.

4. Общий случай: , .

Фигура Лиссажу - эта линия, которую описывает тело, одновременно колеблющееся в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Свойства фигур Лиссажу:

1. Если колебания происходят с амплитудами A и B, то фигуру Лиссажу можно вписать в прямоугольник со сторонами и .

2. Если - величина рациональная, то фигура Лиссажу замкнута, иначе – незамкнута.

3. Отношение частот колебаний в горизонтальном и вертикальном направлениях равно отношению числа касаний фигуры вертикальных и горизонтальных сторон.

Механические волны

Распространение волн в упругой среде

Волны – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.

Упругие волны – волны, распространяющиеся в упругой среде.

Волновая поверхность – геометрическое место точек среды, колеблющихся в одной фазе.

Волновой фронт – поверхность, разделяющая возмущённую и невозмущённую части среды.

Виды волн:

1. Поперечные – колебания в которых происходят поперёк направления распространения.

2. Продольные – колебания в которых происходят вдоль направления распространения.

В газообразной и жидкой среде колеблется плотность или, что то же, давление. В твёрдой среде и на границе раздела фаз – деформация или, что то же, механическое напряжение.

Волновое уравнение

Исследуем колебания струны. Пусть в какой-то момент времени струна деформирована так, как показано на рисунке. Тогда уравнение движения для этой струны выглядит так: . Т.к. и , то . Спроектируем это уравнение на ось : и на ось z: . Т.к. и очень малы, то , . Тогда . Введём линейную плотность , тогда . Таким образом мы получили волновое уравнение поперечной волны: , где .

Волновое уравнение для продольной волны выглядит так: , где , p – давление в среде распространения волны.

Анализ механических волн

Пусть . Тогда , и , , , . Подставим это в волновое уравнение: .

Общее решение волнового уравнения: , где и - произвольные функции.

Гармоническое решение волнового уравнения: .

Период волны , фаза волны .

- фазовая скорость волны.

Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за один период,

Волновое число .

Волновой вектор: , сонаправлен с направлением распространения волны.

Фазовая скорость волны – скорость, с которой движутся точки волны, колеблющиеся в одной фазе. .

Геометрические свойства волн

Для трёхмерного случая выражение , где  - это оператор Лапласа, в декартовой системе координат .

Плоские, цилиндрические и сферические волны – волны, волновой фронт которых представляет собой соответственно плоскость, цилиндр и сферу.

В случае плоской волны в волновом уравнении достаточно заменить , т.е. .

Для цилиндрической волны или, для гармонических колебаний, . Здесь - проекция волнового вектора на ось .

Уравнение сферической волны: , . Здесь - проекция волнового вектора на радиус-вектор.

Бегущие и стоячие волны

Если , то направление распространения волны сонаправленно с осью z. Если же , то направление распространения волны противоположно направлено оси z.

Рассмотрим сложение двух одинаковых волн, двигающихся навстречу друг другу. Т.е. пусть , . Тогда - уравнение стоячей волны.

Узлы – это точки, амплитуда колебаний которых равна 0 (т.е. ).

Пучности – это точки, амплитуда колебаний которых максимальна (т.е. ).

Длина стоячей волны .

Граничные условия для стоячих волн:

1. Пусть струна закреплена с обеих сторон. Тогда и , где L – длина струны, откуда и , т.е. или .

2. Пусть теперь струна закреплена с одной стороны. Тогда и , откуда и .

3. Наконец, пусть струна не закреплена ни на одном конце. Тогда и , откуда и .

Стоячие волны возбуждаются на струне или в акустической трубе только при соблюдении одного из этих условий.

Основной тон – колебание с максимальной длиной волны: . Остальные колебания называются обертонами.