3.4. Предельная ошибка выборки

Учитывая, что на основе выборочного обследования нельзя точно оценить обобщающую характеристику ГС, необходимо найти пределы, в которых он находится. В конкретной выборке разностьможет быть больше, меньше или равна. Каждое из отклоненийотимеет определенную вероятность. При выборочном обследовании реальное значениев ГС неизвестно. Зная среднюю ошибку выборки, с определенной вероятностью можно оценить отклонение выборочной средней от генеральной и установить пределы, в которых находится изучаемый параметр (в данном случае среднее значение) в генеральной совокупности. Отклонение выборочной характеристики от генеральной называетсяпредельной ошибкой выборки .Она определяется в долях средней ошибки с заданной вероятностью, т.е.

= t, (2)

где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки.

Вероятность появления определенной ошибки выборки находят с помощью теорем теории вероятностей. Согласно теореме Чебышёва, при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной ГС вероятность того, что разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала, близка к единице:

при.(2)

А. М. Ляпунов доказал, что независимо от характера распределения генеральной ГС при увеличении объема выборки распределение вероятностей появления того или иного значения выборочной средней приближается к нормальному распределению(центральная предельная теорема). Следовательно, вероятность отклонения выборочной средней от генеральной средней, т.е. вероятность появления заданной предельной ошибки, также подчиняется указанному закону и может быть найдена как функция отt с помощью интеграла вероятностей Лапласа:

,(2)

где – нормированное отклонение выборочной средней от генеральной средней.

Значения P(интеграла Лапласа) для разныхtрассчитаны ииме­ются в специальной таблице,которая приведена в Приложении 1.

Вероятность, которая принимается при расчете выборочной характеристики, называется доверительной. Чаще всего принимают вероятностьP= 0,950, которая означает, что только в 5 случаях из 100 ошибка может выйти за установленные границы. Задавшись конкретным уровнем вероятности, выбирают величину нормированного отклонения t по Приложению 1 и рассчитывают предельную ошибку выбор­ки по формуле (2).

После расчета предельной ошибки находят доверительный интервалобобщающей характеристики ГС совокупности по формуле (2) – для среднего значения, и по формуле (2) – для доли единиц,обладающих каким-либо значением признака:

или (–) (+) (2)

или (–)d (+) (2)

Следовательно, при выборочном наблюдении определяется не одно, точное значение обобщающей характеристики ГС, а лишь ее доверительный интервал с заданным уровнем вероятно­сти. И это серьезный недостаток выборочного метода статистики.

3.5. Необходимая численность выборки

Разрабатывая программу выборочного наблюдения, задаются конкретным значением предельной ошибки и уровнем вероятности. Не­известной остается минимальная численность выборки, обеспечиваю­щая заданную точность. Ее можно получить из формул средней и пре­дельной ошибок в зависимости от типа выборки. Так, подставляя фор­мулы сначала (2) и затем (2) в формулу (2) и решая ее относи­тельно численности выборки, получим следующие формулы:

для повторной выборкиn = ;(2) для бесповторной выборкиn= .(2)

Вариация () значений признака к началу выборочного наблюдения как правило неизвестна, поэтому ее берут приближенно одним из способов:

1. берется из предыдущих выборочных наблюдений;

2. по правилу «трех сигм», согласно которому в размахе вариации укладывается примерно 6 стандартных отклонений (H/=6, отсюда= Н² /36);

3. если приблизительно известна средняя величина изучаемого признака, то = ² /9;

4. если неизвестна дисперсия доли единиц, обладающих каким-либо значением признака, то используется ее максимально возможная величина = 0,25.