1. Рис. 1. Операции с матрицами

3. Для реализации вычисления по формуле D=(A∙C)^-1∙B-2. Было построено несколько проверочных матриц (для каждого шага), а также итоговая матрица, формула ячеек которой:

4. =МУМНОЖ((МУМНОЖ(A2:C4;A12:C14)^(-1));A7:D9)-2

5. Применив эту формулу получили значение матрицы D:

6. 

   -2,48448	-1,79874	-2,02219	-2,43288
   -1,89148	-2,56147	-2,38257	-1,44439
   -0,91979	-4,1454	-3,24156	0,297373

3. 3. Решение системы линейных уравнений

5. 3.1. Условие задания № 3

   1. Используя коэффициенты полученной матрицы D из задания 2, решить систему уравнений. Обратить внимание, что для формирования системы линейных уравнений, подлежащей решению, коэффициенты матрицы D использованы в порядке, отличающемся от их записи непосредственно в матрице D.

   2. 

6. 3.2. Решение задания № 3

   1. 1. Запишем систему уравнений, используя коэффициенты из полученной матрицы (округлив до 3-х знаков после запятой):

   2. 

      -2,484∙x1	-2,022∙x2	-2,433∙x3 =	-1,799
      -1,891∙x1	-2,383∙x2	-1,444∙x3 =	-2,561
      -0,920∙x1	-3,242∙x2	+0,297∙x3 =	-4,145

   3. 2. Решим полученную систему уравнений в Excel с применением последовательности операций линейной алгебры, а именно - с применением обратной матрицы (рис. 11). В результате получим вектор решения:

   4. 

X=	7,57
	-1,40
	-5,82

Используя процедуры, описанные в задании 2, а именно: МУМНОЖ, МОПРЕД и МОБР, проведем нужные вычисления в Excel (рис. 1):

• Матрица уравнения записана в ячейках А7:С9, а правая часть в Е7:Е9

• Для определения детерминанта в ячейке G8 формула будет =МОПРЕД(A7:C9)

• Для построения обратной матрицы в ячейках А13:С15 используем формулу =МОБР(A7:C9)

• Для вычисления вектора Х в G13:G15 используем =МУМНОЖ(A13:C15;E13:E15)

• Для построения единичной матрицы A18:C20 и произведения матриц E18:E20 также используем МУМНОЖ.

5. Рис. 1. Решение системы уравнений в Excel при помощи матриц

Таким образом, при помощи операций в Excel найдено решение системы линейных уравнений, а также выполнена проверка правильности найденного решения путем вычисления детерминанта, единичной матрицы и произведения матрицы на вектор.

15. 4. Приближение таблично заданной функции

В инженерной практике довольно часто встречается задача получения зависимости (формулы) между двумя величинами в том случае, когда имеется таблица значений (например, в результате экспериментальных исследований получены значения величины Y_i при некоторых конкретных значениях аргумента X_i, где i=1,2,...m). Но для последующей деятельности требуется формула, связывающая эти две величины, по которой можно было бы с некоторой точностью определить величину Y при любом значении величины X. Получение такой зависимости называется аппроксимацией таблично (точечно) заданной функции.

Частным случаем аппроксимации является интерполяция полиномом (многочленом) n-й степени. Из курса математики известно, что имея m точек, можно получить неизвестные коэффициенты полинома n=m-1 степени. Интерполяцией называется получение такой полиномиальной зависимости Y (X), в соответствии с которой для всех пар точек (называемых узлами интерполяции) имеется совпадение табличных с рассчитанными по зависимости Y(X ). Интерполяционная зависимость может быть построена единая для всего интервала определения таблично заданной функции. В этом случае степень полинома на единицу ниже количества несовпадающих узлов интерполяции. Можно построить кусочную интерполяцию, разделив все количество узлов на группы. В пределах каждого такого участка интерполяции получают полином степенью на единицу ниже количества узлов интерполяции в этой группе. Если в группу включать 2 узла, то получается полином первой степени (прямая линия). Такая интерполяция называется кусочно-линейной.

Кроме построения интерполяционных зависимостей, можно строить аппроксимирующие зависимости на основе различных функций взаимосвязи двух рассматриваемых величин. Обычно в этом случае количество неизвестных параметров выбранной функции намного ниже количества пар значений в исходной таблице Y(X ). Очевидно, что в этом случае возможно бесконечно большое количество сочетаний конкретных значений параметров аппроксимирующей функции. Необходимо выбирать такие значения параметров, которые в максимальной степени обеспечивали бы близость аппроксимирующей функции к исходным табличным значениям. Обычно применяют критерии квадратичного приближения. А именно, подбирают такие значения параметров аппроксимирующей функции, чтобы сумма квадратов отклонений (разницы вычисленных по ней значений и значений из таблицы) была минимальной.

Построение аппроксимирующих зависимостей на основе этого принципа (метода наименьших квадратов) реализовано в программе Excel. Точность аппроксимирующих зависимостей разного вида может весьма существенно различаться.