II. Типовые задачи по математике.

1. Операции с векторами на плоскости.

Даны векторы и . Найти:

1. длины этих векторов;

2. ;

3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними.

1. Операции с векторами в пространстве

Даны векторы и . Найти:

1. длины этих векторов;

2. ||;

3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними

3. Прямые и окружности на плоскости.

   1. Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.

2. Определить угловой коэффициент "k" и величину отрезка "b", отсекаемого прямой на осиOY.

3. Даны уравнения прямых: а) x+y+1=0; б) x+y=0; в) 2·x+y+2=0; г) y=2·x

Какие из заданных прямых параллельны?

4. Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент к=1.

5. Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой

3у+4х-12=0 с осями координат.

1. Определить угол между прямыми х–2у–2=0 и у=–2 х+3.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и.

3. Определить, с какими из прямых а) у=3; б) у=-х; в) х=5; г) у=2х пересекается окружность х²+у²=25.

4. Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой лежит в точке С(-4;5).

5. Определить координаты центра окружности, заданной уравнением .

6. Составить уравнение окружности, представленной на рисунке.

1. Определители (детерминанты).

Вычислить определители:

1. ;

2. ;

3. .

1. Операции с квадратными матрицами.

Даны матрицы: и . Найти:

1. 5А – В;

2. 3А^t – 2B;

3. АВ.

1. Обратные матрицы.

   1. Найти обратные матрицу для матрицы .

2. Системы линейных алгебраических уравнений

   1. Решить систему методом Крамера.

8. Пределы дробно-рациональных функций и замечательные пределы

Вычислить пределы:

1. .

2. 

3. .

1. Производные элементарных функций

   1. Найти производную функции .

2. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

   1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (1;2).

3. Возрастание, убывание, экстремумы функции одной переменной.

   1. Исследовать на экстремум функцию y=2x²+6x-7.

   2. Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

4. Табличные интегралы

   1. Вычислить интеграл.

5. Интегрирование подстановкой

   1. Вычислить интеграл .

6. Интегрирование по частям

   1. 

7. Геометрический смысл интеграла

   1. Каким интегралом задается площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже?

8. Теория множеств.

   1. Пусть А – множество различных букв слова «РЕКЛАМА», В – множество различных букв слова «МАРКЕТИНГ». Найти АВ, АВ, А\В, В\А.

   2. Пусть А = { (x,y) |x<y}; В = {(x,y) |y>0 } Изобразить множества АÇВ, ВÈА, А\В, В\А.

   3. Даны множества A= {1,5,7,137},B= {5,7,23},C= {0,1,5, 23},D= {0,7,23,1998}. Найдите множество (AB) \ (CD)

   4. Пусть А={Аня; Лена; Вова}, B={Велосипед; Ролики}. Найти декартово произведениеAxB. Выделить из него функцию

9. Алгебра логики.

   1. Построить таблицу истинности для высказывания A & B  A  A & (B  C)

   2. Пусть, A= “ 2·2 = 5 ”,B= ” Париж – столица Китая ”. Сформулировать (словами) высказываниеABи определить истинно оно или ложно

   3. Пусть, P(n) = “n– натуральное, кратное трем”,Q(n) = “n< 20”. Найти множество истинности предикатаP(n)Q(n)

   4. Пусть, на множестве рек задан предикат P(x) = “x– протекает через несколько стран”. Сформулировать 4 высказывания:xP(x),xP(x) и их отрицания. Определить истинность полученных высказываний

10. Комбинаторика

    1. Сколько прямых можно провести через 8 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, так чтобы каждая прямая проходила через 2 точки?

    2. Сколько различных шестизначных чисел, начинающихся цифрой 2 и оканчивающихся цифрой 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что каждая цифра в обозначении числа встречается 1 раз?

    3. Найти mиn, если.

    4. Вычислить: .

11. Теория вероятностей.

    1. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того ,что появится не менее пяти очков.

    2. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают сразу 2 шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета.

    3. Пусть, испытание-приобретение одного лотерейного билета; событие А-«выигрыш 1000 рублей»; событие В-«отсутствие выигрыша». Найти A+BиA·B. Как называются полученные события? Чему равны их вероятности? Объяснить полученные результаты.

    4. Завод изготовил две партии телевизоров. Первая партия телевизоров в два раза больше второй. Надежность телевизоров первой партии-0.9, второй партии-0.8. Определить вероятность того, что наугад купленный телевизор будет надежным.