8.4.2. Соединение конденсаторов

Емкостные батареи – комбинации параллельных и последовательных соединений конденсаторов.

1) Параллельное соединение (рис. 5.6):

				Общим является напряжение U
					q1	= C1U;
					q2	= C2U;
				Суммарный заряд:
				q = q1 + q2 = U(C1 + C2). (8.4.9)
Результирующая емкость:
	C	q	C C			(8.4.10)
				2
	U		1

Сравните с параллельным соединением сопротивлений R:
1		1		1		(8.4.11)
	R		R		R
		1		2

Таким образом, при параллельном соединении конденсаторов, их емкости складываются.

2) Последовательное соединение :

q

Общим является заряд q

U1

q

;

U2

;

C1

1

C2

U Ui q

(8.4.12)

Ci

1

1

1

C1

C2

1

1

C

(8.4.14)

R = R1 + R2

(8.4.13)

C

Ci

8.4.3. Расчет емкостей различных конденсаторов

1. Емкость плоского конденсатора.

E ;

0

						x1	σ
	φ	φ	2			Edx		d
	1						ε0 ε
где d = x		– x				x2
				– расстояние между
,	2	1
пластинами.					q σS
Так как заряд							, то

C	q			ε	ε	S
	φ	φ				d
			2	0				(8.4.16)
	1

2. Емкость цилиндрического конденсатора.

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического

конденсатораλ				ln	R2	(8.4.17)
φ	2πε	0	ε		R
					1

где λ – линейная плотность заряда, R1и R2 – радиусы цилиндрических обкладок.

q = λl, (l – длина конденсатора)				lλ ln	R2			q
					R
			φ
					1				(8.4.18)
				2πε0εl				C
Cцил.	2πε0εl
	ln R
		R2							(8.4.19)
	1

Понятно, что зазор между обкладками мал: d = R2 d << R1, тогда

	ln	R2		R2 R1
		R		R
		1	1

	C	цил.		2πε0εlR1		ε	ε	S
								d
				R R		0
				2	1

3. Емкость шарового конденсатора.

–R1, то есть

(8.4.20)

φ1 φ2	q			1		1		(8.4.21)
	4πε			R		R
		ε
	0			1		2

Это разность потенциалов между обкладками

шарового конденсатора, где R1 и R2 – радиусы шаров.

		q	,	C	4πε0εR1R2	(8.4.22)
Рис. 8.10		C			R2 R1

В шаровом конденсаторе R1 ≈ R2; S = 4πR2; R2 – R1 = d – расстояние между обкладками. Тогда

Cшар.	4πε0εR2	ε0	ε	S	.	(5.4.23)
	d			d

Таким образом, емкость шарового конденсатора,

Сшар. ε0ε dS ,

что совпадает с емкостями плоского и цилиндрического конденсатора.

8.4.4. Энергия заряженного конденсатора

Если замкнуть обкладки конденсатора, то по проволоке потечет ток, который может даже расплавить ее. Значит, конденсатор запасает энергию. Вычислим ее.

Конденсатор разряжается U' – мгновенное значение напряжения на обкладках. Если при этом значении напряжения между обкладками проходит заряд dq, то работа

dA = U'dq.

(8.4.24)

Работа равна убыли потенциальной энергии конденсатора:

dA = – dWc.

(8.4.25)

Так как q = CU, то dA = CU'dU', а полная работа

A dA.

	0				1 CU 2	(8.4.26)
A W C U dU
c					2
	U
	Wc		CU 2			(8.4.27)
			2

Энергию конденсатора можно посчитать и по другим формулам:

W		q2		1	qU
						(8.4.28)
c		2C		2

8.5. Энергия электростатического поля

Где же сосредоточена энергия конденсатора? На обкладках? То есть на зарядах? А может, в пространстве между обкладками? Только опыт может дать ответ на этот вопрос.

	В пределах электростатики дать ответ на этот вопрос
	невозможно. Поля и заряды, их образовавшие не могут
	существовать обособленно. Их не разделить. Однако
	переменные поля могут существовать независимо от
	возбуждавших их зарядов (излучение солнца, радиоволны, …)
	и они переносят энергию. Эти факты заставляют признать, что
	носителем энергии является электростатическое поле.
	Носителем энергии в конденсаторе, Wc является
	электростатическое поле.							Найдем Wc:
		CU 2		ε0εSU 2	d		ε0ε U			2
	Wc									Sd
		2		2d	d		2
								d

U
Sd = V – объем. Отсюда:
d E;
	W	ε0εE2	V
		2
(8.5.1)	c
Если поле однородно, заключенная в нем энергия

распределяется в пространстве с постоянной плотностью. Тогда можно посчитать удельную энергию ωуд:

(8.5.2)	уд W	;	ωуд	ε0εE2
	V		2

ED

Или, так как D = ε0εE, то (8.5.3)ωуд 2

Эти формулы справедливы для однородного поля.

Если поле создано двумя точечными зарядами q1 и q2, то для

каждого из них
W	q φ		Здесь φ		– потенциал поля, создаваемого зарядом q
1	;						2
		1 12		W2	12 q2φ21
в точке, где расположен заряд q1, φ21						– потенциал поля от заряда q1

в точке с зарядом q2.