Кручение и сложное напряженное состояние

Министерство высшего и среднего специального образования СССР

________

Московское ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и

ордена Трудового Красного знамени

высшее техническое училище им. Н.Э.Баумана

А.С.Газарян, Л.Г.Парилова, В.Н.Шитиков

Утверждены

редсоветом МВТУ

КРУЧЕНИЕ И СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСОЯНИЕ

Методические указания

к выполнению домашнего задания

по курсу «Сопротивления материалов»

Под редакцией З.М.Конюшко

Москва 1981

Данные методические указания издаются в соответствии с учебным планом

Рассмотрены и одобрены кафедрой К-5 19.12.80 г., Методической комиссией факультета К и Учебно-методическим управлением

Рецензент к.т.н. доц. Хавов В.М.

Графические работы выполнены И.Д.Кисенко

© Московское высшее техническое училище им. Н.Э.Баумана

Настоящие указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделений и содержат образцы выполнения расчетно-графических домашних заданий по разделу «Кручение и сложно напряженное состояние».

При работе над домашним заданием следует учитывать общие рекомендации и указания по выполнению расчетно-графических работ, изложенные в разработке А.С.Газарян, Г.П.Клюева, Н.А.Сухова. Расчетно-графические работы по сопротивлению материалов. Растяжение – сжатие – М.: Изд. МВТУ, 1980.

1. Кручение

Задача 1.1

Определить размера a из условия равнопрочности участков бруса, изображенного выше.

Определить допускаемую величину момента M_доп, используя метод расчета по допускаемым напряжениям. Найти предельное значение момент М_пред. Материал бруса идеальный упруго-пластичный.

Построить эпюры крутящих моментов М_­к­, наибольших касательных напряжений τ_max и углов поворота сечений φ при М = М_доп.

Дано: τ_Т = 240 МПа ;

n_T =2,0 ;

d = 100 мм ;

l = 1 м ;

G = 8∙10⁴ МПа.

Решение

1. Определение размера a

а) Уравнение равновесия

М_А + М_В = М.

Задача один раз статически неопределима.

б) Уравнение перемещений

φ_СА = φ_{СВ ,} = ;

J_K1 = β∙a⁴ = 0,141 a⁴, J_K2 = J_p2 = ;

= : , М_А = М_В ∙ 0.718 . (1)

в) Условие равнопрочности

τ_max1 = τ_max2 ; τ_max = ;

W_K1 = αa³ = 0,208a³, W_K2 = W_p2 = ;

= ; с учетом зависимости (1)

= ; a = 1,475 d ,

a = 1,475 ∙ 100 = 147,5 мм ≈ 148 мм.

2. Определение М_доп

_­а) Условие прочности τ_max ≤ ;

τ_{max 2} = = ;

M_B = = = 2,36∙10⁴ Н∙м .

Из (1) М_А = М_В ∙ 0,718 =

= 2,36 ∙ 10⁴ ∙ =0,718()⁴ = 8,13 ∙ 10⁴ Н∙м .

б) Уравнение равновесия

М_А + М_В = М_доп ;

М_доп = 8,13 ∙ 10⁴ + 2,36 ∙ 10⁴ = 10,49 ∙ 10⁴ Н∙м .

3. Построение эпюр М_к, τ_max, φ

a) Крутящие моменты

М₁ = М_А = 8,13 ∙ 10⁴ Н∙м ,

М₂ = М_В = 2,36 ∙ 10⁴ Н∙м .

б) Наибольше касательное напряжение

τ_max1 = = = 120 ∙ 10⁶ = 120 МПа ,

τ_max1 = = = 120 ∙ 10⁶ = 120 МПа .

в) Углы поворота сечений

φ_А = 0 ;

φ₁ = φ_А + = φ_A + ; ᵶ₁ ϵ [ 0 , 2l ]

φ₁ |_ᵶ1=0 = φ_A = 0 ;

φ_C = φ₁ |_ᵶ1=2l = φ_A + = = 0,03 рад ;

φ₂ = φ_С + = φ_С + ; ᵶ₂ ϵ [ 0 , l ]

φ_В = φ₂ |_ᵶ2=l = φ_С + = 0,03 - = 0 .

4. Определение предельного момента М_пред

Конструкция потеряет несущую способность, когда сечения первого и второго уастков будут полностью охвачены пластическими деформациями, т.е.

М₁ = М_1пред М₂ = М_2пред

Для квадратного сечения

М_1пред = ,

для круглого сечения

М_2пред = .

Тогда

М_1пред = = 259 ∙ 10³ Н∙м ,

М_1пред = = 62,8 ∙ 10³ Н∙м .

Уравнение равновесия

М_пред = М_1пред + М_2пред =

= 259 ∙ 10³ + 62,8 ∙ 10³ = 321,8 ∙ 10³ =

= 321,8 ∙ 10³ ≈ 322 ∙ 10³ Н∙м .

Задача 1.2

Валик AD, защемленный по концам и имеющий круглое поперечное сечение диаметром d, нагружается парой сил М. При этом жесткий рычаг 1, закрепленный в сечении В, упирается в ограничители 2.

Построить эпюры крутящих моментов М_к и углов поворота сечений φ. Определить коэффициент запаса по текучести n_T.

Дано: М = 25 Н∙м ,

l = 0,2 м ,

d = 10 мм ,

L = 0,1 м ,

Δ = 1 мм ,

G = 8 ∙ 10⁴ МПа ,

τ_Т = 150 МПа .

Решение

1. Раскрытие статической неопределимости

При упоре рычага 1 в ограничители 2 на валик AD в сечении В передает пара сил М_В

Уравнение статического равновесия

∑М_ᵶ = 0, – М_А – М_В + М – М_D = 0. (1)

Задача дважды статически неопределима.

Уравнение перемещения

φ_в = , = , (2)

φ_DA= 0, – + – = 0 . (3)

Преобразую (1), (2) и (3), получим

М_А + М_В + М_D = M ,

M_B + M_D = M – ,

M_B + 3M_D = 2M .

Здесь J_p = , d = 0,01 м, M = 25 Н∙м,

= 3,93 Н

М_А + М_В + М_D = 25 , М_А = 3,93 Н,

M_B + M_D = 21,07 , М_В = 6,60 Н∙м,

M_B + 3M_D = 50 ; М_D = 14,47 Н∙м

2. Определение крутящих моментов

Участок АВ

М_АВ = М_А = 3,93 Н∙м

(направлен против часовой стрелки).

Участок ВС

М_ВС = М_А + М_В = = 3,93 + 6,6 = 10,53 Н∙м (направлен против часовой стрелки).

Участок CD

М_CD = M_A + M_B – M = 3,93 + 6,6 – 25 = – 14,47 Н∙м (направлен по часовой стрелке).

3. Определение углов поворота φ Начало отсчета выбираем в сечении А.

φ_А = 0;

φ_в = φ_ВА = = = 0,01 рад;

φ_С = φ_В + φ_СВ = φ_В + ,

φ_С = 0,01 + = 0,0368 рад;

φ_D = φ_C + φ_DC = φ_C + ,

φ_D = 0,0368 – = 0 .

4. Определение коэффициента запаса

n_T = , τ_max = , W_p = .

τ_max = = 73,7 МПа ,

n_T = = 2,035 .

Задача 1.3

Трубка и вал, выполненные из одного материала, закре- плены левыми торцами, а правыми соединены с жесткой крышкой. К трубке приложена пара сил М. Построить эпюры крутящих моментов М_К, наибольших касательных напряжений τ_max и углов поворота сечений φ для вала и трубки. Найти предельную величину момента М_пред. Материал идеальный упруго-пластичный

Дано: М = 600 Н∙м ,

l = 1 м, D_ср = 40 мм,

δ = D_ср , d = D_ср,

τ_T = 200 МПа, G = 8 ∙ 10⁴ МПа .

Решение

1. Кручение в области упругих деформаций

Рассмотрим отдельно трубку и вал.

а) Уравнение равновесия для трубки М_А^тр – М + Х = 0 (1)

б) Уравнение равновесия для вала М_А^в = Х. (2)

Задача один раз статически неопределима

в) Уравнение перемещений

φ_ВА^тр = φ_ВА^в , + = ; (3)

J_К­^тр = J_p^тр = = , J_К­^в = J_pв = = .

Решая уравнения (1), (2), (3), получаем

X = ,

,

г) Построение эпюр

Трубка Крутящие моменты

Наибольшие касательные напряжения

τ_max = , ;

Углы поворота сечений

φ_А = 0 ; φ_D = φ_A + =

φ_В = φ_D +

Вал

Крутящий момент

М_AB = X = 150 Н∙м.

Наибольшее касательное напряжение

, ;

Углы поворота сечений

φ_А = 0 ; φ_B = φ_A + =

2. Определение предельного момента М_пр

Рассмотрим два возможных случая потери несущей способности.

1. 

2. 

Реализует…