Кручение и сложное напряженное состояние
.docxМинистерство высшего и среднего специального образования СССР
________
Московское ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и
ордена Трудового Красного знамени
высшее техническое училище им. Н.Э.Баумана
А.С.Газарян, Л.Г.Парилова, В.Н.Шитиков
Утверждены
редсоветом МВТУ
КРУЧЕНИЕ И СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСОЯНИЕ
Методические указания
к выполнению домашнего задания
по курсу «Сопротивления материалов»
Под редакцией З.М.Конюшко
Москва 1981
Данные методические указания издаются в соответствии с учебным планом
Рассмотрены и одобрены кафедрой К-5 19.12.80 г., Методической комиссией факультета К и Учебно-методическим управлением
Рецензент к.т.н. доц. Хавов В.М.
Графические работы выполнены И.Д.Кисенко
© Московское высшее техническое училище им. Н.Э.Баумана
Настоящие указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделений и содержат образцы выполнения расчетно-графических домашних заданий по разделу «Кручение и сложно напряженное состояние».
При работе над домашним заданием следует учитывать общие рекомендации и указания по выполнению расчетно-графических работ, изложенные в разработке А.С.Газарян, Г.П.Клюева, Н.А.Сухова. Расчетно-графические работы по сопротивлению материалов. Растяжение – сжатие – М.: Изд. МВТУ, 1980.
1. Кручение
Задача 1.1
Определить размера a из условия равнопрочности участков бруса, изображенного выше.
Определить допускаемую величину момента Mдоп, используя метод расчета по допускаемым напряжениям. Найти предельное значение момент Мпред. Материал бруса идеальный упруго-пластичный.
Построить эпюры крутящих моментов Мк, наибольших касательных напряжений τmax и углов поворота сечений φ при М = Мдоп.
Дано: τТ = 240 МПа ;
nT =2,0 ;
d = 100 мм ;
l = 1 м ;
G = 8∙104 МПа.
Решение
1. Определение размера a
а) Уравнение равновесия
МА + МВ = М.
Задача один раз статически неопределима.
б) Уравнение перемещений
φСА = φСВ , = ;
JK1 = β∙a4 = 0,141 a4, JK2 = Jp2 = ;
= : , МА = МВ ∙ 0.718 . (1)
в) Условие равнопрочности
τmax1 = τmax2 ; τmax = ;
WK1 = αa3 = 0,208a3, WK2 = Wp2 = ;
= ; с учетом зависимости (1)
= ; a = 1,475 d ,
a = 1,475 ∙ 100 = 147,5 мм ≈ 148 мм.
2. Определение Мдоп
а) Условие прочности τmax ≤ ;
τmax 2 = = ;
MB = = = 2,36∙104 Н∙м .
Из (1) МА = МВ ∙ 0,718 =
= 2,36 ∙ 104 ∙ =0,718()4 = 8,13 ∙ 104 Н∙м .
б) Уравнение равновесия
МА + МВ = Мдоп ;
Мдоп = 8,13 ∙ 104 + 2,36 ∙ 104 = 10,49 ∙ 104 Н∙м .
3. Построение эпюр Мк, τmax, φ
a) Крутящие моменты
М1 = МА = 8,13 ∙ 104 Н∙м ,
М2 = МВ = 2,36 ∙ 104 Н∙м .
б) Наибольше касательное напряжение
τmax1 = = = 120 ∙ 106 = 120 МПа ,
τmax1 = = = 120 ∙ 106 = 120 МПа .
в) Углы поворота сечений
φА = 0 ;
φ1 = φА + = φA + ; ᵶ1 ϵ [ 0 , 2l ]
φ1 |ᵶ1=0 = φA = 0 ;
φC = φ1 |ᵶ1=2l = φA + = = 0,03 рад ;
φ2 = φС + = φС + ; ᵶ2 ϵ [ 0 , l ]
φВ = φ2 |ᵶ2=l = φС + = 0,03 - = 0 .
4. Определение предельного момента Мпред
Конструкция потеряет несущую способность, когда сечения первого и второго уастков будут полностью охвачены пластическими деформациями, т.е.
М1 = М1пред М2 = М2пред
Для квадратного сечения
М1пред = ,
для круглого сечения
М2пред = .
Тогда
М1пред = = 259 ∙ 103 Н∙м ,
М1пред = = 62,8 ∙ 103 Н∙м .
Уравнение равновесия
Мпред = М1пред + М2пред =
= 259 ∙ 103 + 62,8 ∙ 103 = 321,8 ∙ 103 =
= 321,8 ∙ 103 ≈ 322 ∙ 103 Н∙м .
Задача 1.2
Валик AD, защемленный по концам и имеющий круглое поперечное сечение диаметром d, нагружается парой сил М. При этом жесткий рычаг 1, закрепленный в сечении В, упирается в ограничители 2.
Построить эпюры крутящих моментов Мк и углов поворота сечений φ. Определить коэффициент запаса по текучести nT.
Дано: М = 25 Н∙м ,
l = 0,2 м ,
d = 10 мм ,
L = 0,1 м ,
Δ = 1 мм ,
G = 8 ∙ 104 МПа ,
τТ = 150 МПа .
Решение
1. Раскрытие статической неопределимости
При упоре рычага 1 в ограничители 2 на валик AD в сечении В передает пара сил МВ
Уравнение статического равновесия
∑Мᵶ = 0, – МА – МВ + М – МD = 0. (1)
Задача дважды статически неопределима.
Уравнение перемещения
φв = , = , (2)
φDA= 0, – + – = 0 . (3)
Преобразую (1), (2) и (3), получим
МА + МВ + МD = M ,
MB + MD = M – ,
MB + 3MD = 2M .
Здесь Jp = , d = 0,01 м, M = 25 Н∙м,
= 3,93 Н
МА + МВ + МD = 25 , МА = 3,93 Н,
MB + MD = 21,07 , МВ = 6,60 Н∙м,
MB + 3MD = 50 ; МD = 14,47 Н∙м
2. Определение крутящих моментов
Участок АВ
МАВ = МА = 3,93 Н∙м
(направлен против часовой стрелки).
Участок ВС
МВС = МА + МВ = = 3,93 + 6,6 = 10,53 Н∙м (направлен против часовой стрелки).
Участок CD
МCD = MA + MB – M = 3,93 + 6,6 – 25 = – 14,47 Н∙м (направлен по часовой стрелке).
3. Определение углов поворота φ Начало отсчета выбираем в сечении А.
φА = 0;
φв = φВА = = = 0,01 рад;
φС = φВ + φСВ = φВ + ,
φС = 0,01 + = 0,0368 рад;
φD = φC + φDC = φC + ,
φD = 0,0368 – = 0 .
4. Определение коэффициента запаса
nT = , τmax = , Wp = .
τmax = = 73,7 МПа ,
nT = = 2,035 .
Задача 1.3
Трубка и вал, выполненные из одного материала, закре- плены левыми торцами, а правыми соединены с жесткой крышкой. К трубке приложена пара сил М. Построить эпюры крутящих моментов МК, наибольших касательных напряжений τmax и углов поворота сечений φ для вала и трубки. Найти предельную величину момента Мпред. Материал идеальный упруго-пластичный
Дано: М = 600 Н∙м ,
l = 1 м, Dср = 40 мм,
δ = Dср , d = Dср,
τT = 200 МПа, G = 8 ∙ 104 МПа .
Решение
1. Кручение в области упругих деформаций
Рассмотрим отдельно трубку и вал.
а) Уравнение равновесия для трубки МАтр – М + Х = 0 (1)
б) Уравнение равновесия для вала МАв = Х. (2)
Задача один раз статически неопределима
в) Уравнение перемещений
φВАтр = φВАв , + = ; (3)
JКтр = Jpтр = = , JКв = Jpв = = .
Решая уравнения (1), (2), (3), получаем
X = ,
,
г) Построение эпюр
Трубка Крутящие моменты
Наибольшие касательные напряжения
τmax = , ;
Углы поворота сечений
φА = 0 ; φD = φA + =
φВ = φD +
Вал
Крутящий момент
МAB = X = 150 Н∙м.
Наибольшее касательное напряжение
, ;
Углы поворота сечений
φА = 0 ; φB = φA + =
2. Определение предельного момента Мпр
Рассмотрим два возможных случая потери несущей способности.
Реализует…