- •Численные методы
- •Правила округления.
- •Оценка погрешностей арифметических операций и функций.
- •Оценка погрешности функции одной переменной.
- •Лекция № 2. Особенности машинной арифметики. Корректность вычислительной задачи.
- •Принцип равных влияний.
- •Представление данных в эвм.
- •Нелинейные уравнения.
- •Метод простой итерации (мпи).
- •Универсальный алгоритм приведения уравнения к виду,
- •Лекция № 5.
- •Обусловленность задачи решения слау.
- •Лекция № 6. Решение слау прямыми методами. Метод Гаусса и его модификации.
- •Модификации метода Гаусса.
- •Lu-разложение или матричная форма метода Гаусса.
- •Применение прямых методов для решения слау.
- •Метод простой итерации.
- •Лекция № 8.
- •Лекция № 9.
- •Лекция № 10.
- •Итерационный процесс
- •С чебышевским набором параметров.
- •Многочлены Чебышёва.
- •Вспомогательная задача.
- •Чебышёвский процесс для вычисления решения системы.
- •Лекция № 11.
- •Лекция № 13.
- •Нелинейная задача метода наименьших квадратов.
- •Метод Фибоначчи.
- •Градиентные методы.
Обусловленность задачи решения слау.
Погрешность входного данного:
Теорема 1.
Пусть – точное решение системы , – решение системы . Тогда справедливы следующие оценки:
Определение 4.
Числом обусловленности матрицы А будем называть число .
Если , то матрица называется плохо обусловленной.
Пример.
Утверждение 1.
Пусть – точное решение системы , – решение системы . Тогда справедлива оценка .
Пусть – точное решение системы , – решение системы . Тогда справедлива оценка .
Пример.
Решение системы методом Гаусса.
Обратный ход метода Гаусса:
Подсчитаем трудоёмкость метода Гаусса в общем случае.
1 шаг метода Гаусса.
Число алгоритмический действий:
Делений Умножений Вычитаний
Лекция № 6. Решение слау прямыми методами. Метод Гаусса и его модификации.
Схема единственного деления.
1 шаг. Предполагаем, что – ведущий элемент 1-ого шага.
k шаг. – ведущий элемент k-ого шага.
Выписываем (m-1) шаг метода Гаусса.
арифметических действий.
Обратный ход.
Модификации метода Гаусса.
Схема частичного выбора метода Гаусса
(выбор максимального по модулю элемента по столбцу):
1 шаг. – максимальный по модулю элемент 1-ого столбца.
Меняем местами строки .
k шаг. – максимальный по модулю элемент k-ого столбца.
Меняем местами строки .
Преимущества схемы:
Нет деления на ноль.
–вычислительная устойчивость.
Метод полного выбора:
1 шаг. – максимальный по модулю элемент всей матрицы.
Меняем местами строки и столбцы .
k шаг. – максимальный по модулю элемент в подматрице порядка (m-k).
Меняем местами строки и столбцы .
Lu-разложение или матричная форма метода Гаусса.
Обычно стоит такая задача:
Выбираем правые части.
Рассмотрим элементарные матрицы:
Свойства элементарной матрицы:
Обратная матрица является той же матрицей, но с коэффициентами .
Найдём .
Пояснение.
Матричная схема метода Гаусса:
Пример.
Метод Холецкого (метод квадратных корней).
Определение 1.
Матрица A называется положительно определённой, если .
Критерий Сильвестра .
Определение 2.
Матрица A называется симметричной, если .
Достаточное условие положительной определённости в случае : если строковое диагональное преобладание, .
Пусть .
Число арифметических действий .
Пример.
Лекция № 7.
РЕШЕНИЕ СЛАУ.
Метод прогонки.
Определение 1.
Матрица разрежена, если содержит достаточное количество нулевых элементов.
Трёх диагональная система уравнений.
1 шаг.
2 шаг.
3 шаг.
Пример.
Теорема 1.
Достаточное условие применимости метода прогонки.
Пусть коэффициенты системы удовлетворяют следующим условиям:
Тогда , т. е. прогонка может быть доведена до конца и , т. е. прогонка устойчива.
По индукции.
Существуют различные способы прогонок:
Правая прогонка (классический способ).
Левая прогонка.
Более сложные формулы.