- •Міністерство освіти і науки україни
- •Матриці і операції над ними. Визначники матриць. Властивості визначників. Обернена матриця.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера:
- •Дослідити на сумісність системи лінійних рівнянь та знайти їх розв’язок у випадку сумісності:
- •Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:
- •Завдання для самостійної роботи.
- •3.Вектори в просторі. Основні поняття. Лінійні операції з векторами. Прямокутна система координат у просторі.
- •Довжину вектора будемо позначати таким чином:
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Застосування в задачах геометрії. Умови перпендикулярності та компланарності векторів.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •5.Загальне і канонічне рівняння прямої. Рівняння прямої у відрізках на осях. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки. Перетин двох прямих.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •6. Кут між двома прямими. Пучок прямих, які проходять через дану точку. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •7. Криві другого порядку: коло, еліпс.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •8. Криві другого порядку: гіпербола, парабола.
- •I. Гіпербола
- •II.Парабола
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •9. Рівняння площини в просторі.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •10. Пряма в просторі. Площина і пряма.
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи.
- •11. Нескінченна числова послідовність. Границя числової послідовності і її властивості. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •12. Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Основні правила диференціювання.
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи.
- •Література
Зразки розв’язування задач.
Задача 1. Перевірити, чи належать точки ,,,прямій.
Розв’язання.Якщо координати точки задовольняють рівнянню, тобто перетворюють його в тотожність, то ця точка належить заданій прямій; якщо координати точки не задовольняють рівнянню, то точка не належить прямій.
Підставивши замість змінних ів рівняннякоординати точки, дістанемо тотожність, отже точканалежить заданій прямій. Аналогічно переконуємося у тому, що точканалежить прямій, а точкиіне належать.
Задача 2. Побудуйте прямі:
;
б) ;
в) .
Розв’язання.
Рис. 5.1
б) Знайдемо змінну з рівняння:. На осівізьмемо точкуі проведемо пряму паралельно осі(рис.5.2).
в
Рис. 5.2
Н
Рис. 5.3
Задача 3. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку і паралельна вектору.
Розв’язання. Використовуючи канонічне рівняння прямої, маємо .
Доводимо рівняння до загального вигляду:
; ;.
Задача 4. Загальне рівняння прямої перетворити в рівняння у відрізках на осях та побудувати пряму.
Розв’язання. Перетворимо рівняння: . Праву та ліву частини рівняння розділимо на:.
Тоді - рівняння у відрізках на осях.
Т
Рис. 5.4
Задача 5. Обчислить кутовий коефіцієнт прямої .
Розв’язання. Розв’язавши рівняння відносно, дістанемо, звідки.
Задача 6.Складіть рівняння прямої, яка проходить через точкуі утворює з віссюкут 1350.
Розв’язання. Щоб скласти шукане рівняння прямої, треба знайти і. Знайдемо кутовий коефіцієнт. Для визначенняпідставимо в рівняння з кутовим коефіцієнтомкоординати даної точки і значення. Дістанемо:, звідки. Шукане рівняння має вигляд.
Задача 7. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки і.
Розв’язання. За умовою задачі: ,,,. Підставивши ці значення в рівняння прямої, яка проходить через дві точки, дістанемо:;і.
Задача 8. Трикутник задано вершинами: ,.і. Складіть рівняння медіани.
Розв’язання. Знайдемо координати точки - середини сторони:
; ;
; .
Отже, координати точки дорівнюють . Тоді рівняння сторони, де, має вигляд:;
;
;
;
;
.
Задача 9. Знайдіть вершини трикутника, якщо його сторони задано рівняннями . ;;.
Розв’язання.Щоб знайти координати вершин трикутника, треба розв’язати три системи рівнянь:
.
Перша система має розв’язок:
Друга система має розв’язок:
.
Третя система має розв’язок:
.
Отже, вершинами трикутника є точки ;;.
Завдання для самостійної роботи.
При якому значенні коефіцієнта прямапроходить через точку перетину прямихі.
Пряма проходить через точку і утворює з віссюкут, що дорівнює. Знайдіть на цій прямій точку з абсцисою.
Дано рівняння сторін трикутника: ;і. Знайдіть рівняння його медіан.
На прямій знайдіть точку, яка лежить від осі в три рази далі, ніж від осі.
Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до даного вектора і проходить через точку перетину даних прямих:
, ;.
; ;.