Лекция_МОБ

Лекция

Балансовые модели

1. Экономико-математическая модель МОБ

Основой построения математической модели МОБ является матрица коэффициентов прямых материальных затрат:

(3)

Коэффициент а_ij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.

Коэффициент а_ij является безразмерной величиной. Кроме того, из (3) следует, что 0≤ а_ij<1.

С учетом (3) запишем систему балансовых уравнений (1) в виде:

(4)

Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A=(a_ij), вектор-столбец валовой продукции Х и вектор-столбец конечной продукции Y: , . Тогда система (4) примет матричную форму:

X = AX + Y (5)

Система уравнений (4) или в матричной форме (5) называется ЭММ МОБ (моделью Леонтьева) или моделью «затраты-выпуск».

Модель позволяет решить следующие задачи:

1. По заданным объемам валовой продукции x_i определить объемы конечной продукции отраслей y_j:

Y = X - AX = (E - A) · X. (6)

E – единичная матрица порядка n.

2. По заданным объемам конечной продукции y_j определить объемы валовой продукции отраслей x_i:

X = (E - A)^-1 · Y = B Y. (7)

В = (E - A)^-1 – матрица коэффициентов полных материальных затрат (обратная матрица Леонтьева). Элемент этой матрицы b_ij показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли x_i для того, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли y_j:

. (8)

Коэффициенты b_ij могут использоваться для определения влияния изменения объемов конечной продукции отраслей на величину валового выпуска некоторой отрасли:

, (9)

где Δx_i и Δy_j – изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции.

3. По заданной матрице коэффициентов прямых затрат А определить матрицу коэффициентов полных затрат В.

Обратную матрицу В = (E - A)^-1 можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В = (E - A)^-1 = E + А + A² + A³ + … + A^k + …

Матрицы A², A³, … , A^k, … называются матрицами коэффициентов косвенных затрат 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Таким образом, полные затраты b_ij включают в себя прямые (выражены коэффициентами а_ij) и косвенные (С = B - A - E = A² + A³ + … + A^k + …) затраты.

Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта. Они не отражают сложных взаимосвязей, в частности, обратных связей.

Косвенные затраты относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства (или другие ингредиенты, входящие в данный продукт).

Например, на изготовление трактора в виде прямых затрат расходуется чугун, сталь и т.д., но для производства стали также нужен чугун. Затраты этого чугуна являются косвенными.

4. Задавая для ряда отраслей объемы x_i, а для остальных отраслей величины y_j, можно найти величины y_j первых отраслей и объемы x_i вторых отраслей. В этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели, а системой линейных уравнений (4).

2. Решение типовой задачи МОБ

Рассмотрим пример составления МОБ производства и распределения продукции для 3-х отраслевой ЭС, заданной матрицей коэффициентов прямых затрат А и вектором конечной продукции Y:

, .

Найти:

1. коэффициенты полных затрат: В = (b_ij);

2. плановые объемы валовой продукции: Х = (x_i) = (x₁, x₂, x₃);

3. величину межотраслевых потоков средств производства, т.е. значения x_ij, i=1, 2, 3; j = 1, 2, 3;

4. объемы условно-чистой продукции z_j;

5. матрицу косвенных затрат С = (с_ij) = B - A - E.

6. По заданному вектору увеличения выпуска конечной продукции ΔY=(Δy₁,Δy₂,Δy₃)=(20, 10, 5) определить изменение плана производства валовой продукции ΔX.

Результаты вычислений п.п. 1-4 представить в форме МОБ.

Используем уравнения МОБ

в развернутом виде:

в матричном виде: X = (E - A)^-1 · Y = B Y.

1. Находим матрицу полных затрат В = (E - A)^-1:

E - A = ;

Обращаем матрицу E - A, т.е. найдем В = (E - A)^-1.

Вычисляем определитель Δ=|E - A|=0,511.

Так как Δ≠0, то существует матрица В = (E - A)^-1, обратная заданной матрице E-A.

Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы K = E - A:

; ;

;

;

;

.

Составляем матрицу из алгебраических дополнений:

.

Транспонируем эту матрицу (получим приведенную матрицу) и делим ее на определитель Δ=0,511; в результате получаем обратную матрицу В = (E - A)^-1:

В = (E - A)^-1 = .

Рассмотрим другой способ нахождения обратной матрицы В = (E - A)^-1, присоединив к матрице E - A единичную матрицу и выполнив матричные преобразования:

Таким образом, матрица коэффициентов полных затрат

В = (E - A)^-1 = .

2. Находим объемы производства отраслей (валовая продукция):

X = B Y = .

Следовательно, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции, равны:

х₁=102,197; х₂=41,047; х₃=26,383.

3. Рассчитываем значения межотраслевых потоков x_ij=a_ij· x_j:

x₁₁=0,3·102,2=30,7; x₁₂=0,25·41,0=10,2; x₁₃=0,2·26,4=5,3;

x₂₁=0,15·102,2=15,3; x₂₂=0,12·41,0=4,9; x₂₃=0,03·26,4=0,8;

x₃₁=0,1·102,2=10,2; x₃₂=0,05·41,0=2,1; x₃₃=0,08·26,4=2,1.

4. Результаты вычислений представим в форме МОБ. Величина условно-чистой продукции z_j определяется из формулы (2) как разница между валовой продукцией отрасли x_j и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце:

.

Потребляющие отрасли (j) Производящие отрасли (i)	1	2	3	Конечный продукт yi	Валовой продукт xi
1	30,7	10,2	5,3	56	102,2
2	15,3	4,9	0,8	20	41,0
3	10,2	2,1	2,1	12	26,4
Условно-чистый продукт zj	46,0	23,8	18,2
Валовой продукт xj	102,2	41,0	26,4		169,6

Таким образом, на основе заданных матриц по уровню конечного продукта Y и коэффициентов прямых затрат A получен полностью сбалансированный план общего производства продукции и ее распределения в качестве средств производства между отраслями и в качестве продукции для конечного использования.

5. Найдем матрицу косвенных затрат по формуле: С = (с_ij) = B - A - E = =

6. Определяем изменение плана ΔX, которое потребуется при увеличении выпуска конечной продукции 1-й отрасли на 20 ед., 2-й – на 10 ед. и 3-й – на 5 ед.

ΔX = B ΔY =

Следовательно, потребуется увеличить выпуск валовой продукции 1-й отрасли на Δx₁=38,1 ед., 2-й отрасли – на Δx₂=18,2 ед., 3-й отрасли – на 10,6 ед.